Условия равновесия механической системы. Механическое равновесие

Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия тел, называется статикой. Из второго закона Ньютона следует, что, если векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю, то тело сохраняет свою скорость неизменной. В частности, если начальная скорость равна нулю, тело остается в покое. Условие неизменности скорости тела можно записать в виде:

или в проекциях на оси координат:

.

Очевидно, что тело может покоиться только по отношению к одной определенной системе координат. В статике изучают условия равновесия тел именно в такой системе. Необходимое условие равновесия можно получить также, рассмотрев движение центра масс системы материальных точек. Внутренние силы не влияют на движение центра масс. Ускорение центра масс определяется векторной суммой внешних сил. Но если эта сумма равна нулю, то ускорение центра масс , а, следовательно, скорость центра масс . Если в начальный момент , то центр масс тела остается в покое.

Таким образом, первое условие равновесия тел формулируется следующим образом: скорость тела не изменяется, если сумма внешних сил, приложенных в каждой точке, равна нулю. Полученное условие покоя центра масс является необходимым (но недостаточным) условием равновесия твердого тела.

Пример

Может быть так, что все силы, действующие на тело, уравновешены, тем не менее, тело будет ускоряться. Например, если приложить две равных и противоположно направленных силы (их называют парой сил) к центру масс колеса, то колесо будет покоиться, если его начальная скорость была равна нулю. Если же эти силы приложить к разным точкам, то колесо начнет вращаться (рис. 4.5). Это объясняется тем, что тело находится в равновесии, когда сумма всех сил равна нулю в каждой точке тела. Но если сумма внешних сил равна нулю, а сумма всех сил, приложенных к каждому элементу тела, не равна нулю, то тело не будет находиться в равновесии, возможно (как в рассмотренном примере) вращательное движение. Таким образом, если тело может вращаться относительно некоторой оси, то для его равновесия недостаточно равенства нулю равнодействующей всех сил.

Чтобы получить второе условие равновесия, воспользуемся уравнением вращательного движения , где – сумма моментов внешних сил относительно оси вращения. Когда , то и b = 0, а значит, угловая скорость тела не меняется . Если в начальный момент w = 0, то тело и в дальнейшем не будет вращаться. Следовательно, вторым условием механического равновесия является требование равенства нулю алгебраической суммы моментов всех внешних сил относительно оси вращения:

В общем случае произвольного числа внешних сил условия равновесия можно представить в следующем виде:

,

.

Эти условия необходимы и достаточны.

Пример

Равновесие бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным. Равновесие является устойчивым, если при малых смещениях тела из положения равновесия действующие на него силы и моменты сил стремятся вернуть тело в положение равновесия (рис. 4.6а). Равновесие неустойчиво, если действующие силы при этом уводят тело еще дальше от положения равновесия (рис. 4.6б). Если при малых смещениях тела действующие силы по-прежнему уравновешиваются, то равновесие безразличное (рис. 4.6в). Шар, лежащий на плоской горизонтальной поверхности, находится в состоянии безразличного равновесия. Шар, находящийся в верхней точке сферического выступа, – пример неустойчивого равновесия. Наконец, шар на дне сферического углубления находится в состоянии устойчивого равновесия.

Интересным примером равновесия тела на опоре является падающая башня в итальянском городе Пиза, которую по преданию использовал Галилей при изучении законов свободного падения тел. Башня имеет форму цилиндра радиусом 7 м. Вершина башни отклонена от вертикали на 4,5 м.

Пизанская башня получила известность благодаря тому, что она сильно наклонена. Башня «падает». Высота башни составляет 55,86 метров от земли на самой низкой стороне и 56,70 метров на самой высокой стороне. Её вес оценивается в 14700 тонн. Текущий наклон составляет около 5,5°. Вертикальная линия, проведенная через центр масс башни, пересекает основание приблизительно в 2,3 м от его центра. Таким образом, башня находится в состоянии равновесия. Равновесие нарушится и башня упадет, когда отклонение ее вершины от вертикали достигнет 14 м. По-видимому, это произойдет очень нескоро.

Полагали, что кривизна башни задумана зодчими изначально – ради демонстрации своего незаурядного умения. Но куда более вероятно другое: архитекторы знали, что строят на крайне ненадежном фундаменте, и потому заложили в конструкцию возможность легкого отклонения.

Когда возникла реальная угроза обрушения башни, за нее взялись современные инженеры. Ее затянули в стальной корсет из 18 тросов, фундамент утяжелили свинцовыми блоками и параллельно укрепили грунт, закачивая под землю бетон. С помощью всех этих мер удалось уменьшить угол наклона падающей башни на полградуса. Специалисты говорят, что теперь она сможет простоять еще как минимум 300 лет. С точки зрения физики принятые меры означают, что условия равновесия башни стали более надежными.

Для тела, имеющего неподвижную ось вращения, возможны все три вида равновесия. Безразличное равновесие возникает, когда ось вращения проходит через центр масс. При устойчивом и неустойчивом равновесии центр масс находится на вертикальной прямой, проходящей через ось вращения. При этом, если центр масс находится ниже оси вращения, состояние равновесия оказывается устойчивым (рис. 4.7а). Если же центр масс расположен выше оси – состояние равновесия неустойчиво (рис. 4.7б).

Особым случаем равновесия является равновесие тела на опоре. В этом случае упругая сила опоры приложена не к одной точке, а распределена по основанию тела. Тело находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через центр масс тела, проходит через площадь опоры, то есть внутри контура, образованного линиями, соединяющими точки опоры. Если же эта линия не пересекает площадь опоры, то тело опрокидывается.

Основные типы точек равновесия

Пусть задана линейная однородная система второго порядка с постоянными коэффициентами: \[\left\{ \begin{array}{l} \frac{{dx}}{{dt}} = {a_{11}}x + {a_{12}}y\\ \frac{{dy}}{{dt}} = {a_{21}}x + {a_{22}}y \end{array} \right..\] Данная система уравнений является автономной , поскольку правые части уравнений не содержат в явном виде независимой переменной \(t.\)

В матричной форме система уравнений записывается как \[ {\mathbf{X"} = A\mathbf{X},\;\;\text{где}\;\;\mathbf{X} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right),}\;\; {A = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right).} \] Положения равновесия находятся из решения стационарного уравнения \ Это уравнение имеет единственное решение \(\mathbf{X} = \mathbf{0},\) если матрица \(A\) является невырожденной , т.е. при условии \(\det A \ne 0.\) В случае вырожденной матрицы система имеет бесконечное множество точек равновесия.

Классификация положений равновесия определяется собственными значениями \({\lambda _1},{\lambda _2}\) матрицы \(A.\) Числа \({\lambda _1},{\lambda _2}\) находятся из решения характеристического уравнения \[{\lambda ^2} - \left({{a_{11}} + {a_{22}}} \right)\lambda + {a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}} = 0.\] В общем случае, когда матрица \(A\) является невырожденной, существует \(4\) различных типа точек равновесия:

Устойчивость положений равновесия определяется общими теоремами об устойчивости . Так, если действительные собственные значения (или действительные части комплексных собственных значений) отрицательны, то точка равновесия является асимптотически устойчивой . Примерами таких положений равновесия являются и устойчивый фокус .

Если действительная часть хотя бы одного собственного числа положительна, то соответствующее положение равновесия является неустойчивым . Например, это может быть .

Наконец, в случае чисто мнимых корней (точка равновесия является центром ) мы имеем дело с классической устойчивостью в смысле Ляпунова .

Наша дальнейшая цель состоит в том, чтобы изучить поведение решений вблизи положений равновесия. Для систем \(2\)-го порядка это удобно делать графически с помощью фазового портрета , представляющего собой совокупность фазовых траекторий на координатной плоскости. Стрелки на фазовых траекториях показывают направление перемещения точки (т.е. некоторого конкретного состояния системы) с течением времени.

Рассмотрим подробнее каждый тип точки равновесия и соответствующие фазовые портреты.

Устойчивый и неустойчивый узел

Собственные значения \({{\lambda _1},{\lambda _2}}\) точек типа "узел" удовлетворяют условиям: \[{\lambda _1},{\lambda _2} \in \Re,\;\;{\lambda _1} \cdot {\lambda _2} > 0.\] Здесь могут возникнуть следующие частные случаи.

Корни \({{\lambda _1},{\lambda _2}}\) различны \(\left({{\lambda _1} \ne {\lambda _2}} \right)\) и отрицательны \(\left({{\lambda _1}
Построим схематический фазовый портрет такой точки равновесия. Пусть для определенности \(\left| {{\lambda _1}} \right|
Поскольку оба собственных значения отрицательны, то решение \(\mathbf{X} = \mathbf{0}\) является асимптотически устойчивым . Такое положение равновесия называется устойчивым узлом . При \(t \to \infty\) фазовые кривые стремятся к началу координат \(\mathbf{X} = \mathbf{0}.\)

Уточним направление фазовых траекторий. Поскольку \[ {x\left(t \right) = {C_1}{V_{11}}{e^{{\lambda _1}t}} + {C_2}{V_{12}}{e^{{\lambda _2}t}},}\;\; {y\left(t \right) = {C_1}{V_{21}}{e^{{\lambda _1}t}} + {C_2}{V_{22}}{e^{{\lambda _2}t}},} \] то производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) равна \[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{C_1}{V_{21}}{\lambda _1}{e^{{\lambda _1}t}} + {C_2}{V_{22}}{\lambda _2}{e^{{\lambda _2}t}}}}{{{C_1}{V_{11}}{\lambda _1}{e^{{\lambda _1}t}} + {C_2}{V_{12}}{\lambda _2}{e^{{\lambda _2}t}}}}.\] Разделим числитель и знаменатель на \({{e^{{\lambda _1}t}}}:\) \[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{C_1}{V_{21}}{\lambda _1} + {C_2}{V_{22}}{\lambda _2}{e^{\left({{\lambda _2} - {\lambda _1}} \right)t}}}}{{{C_1}{V_{11}}{\lambda _1} + {C_2}{V_{12}}{\lambda _2}{e^{\left({{\lambda _2} - {\lambda _1}} \right)t}}}}.\] В данном случае \({\lambda _2} - {\lambda _1}
В случае \({C_1} = 0\) производная при любом \(t\) равна \[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{V_{22}}}}{{{V_{12}}}},\] т.е. фазовая траектория лежит на прямой, направленной вдоль собственного вектора \({\mathbf{V}_2}.\)

Теперь рассмотрим поведение фазовых траекторий при \(t \to -\infty.\) Очевидно, что координаты \(x\left(t \right),y\left(t \right)\) стремятся к бесконечности, а производная \(\large\frac{{dy}}{{dx}}\normalsize\) при \({C_2} \ne 0\) принимает следующий вид: \[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{C_1}{V_{21}}{\lambda _1}{e^{\left({{\lambda _1} - {\lambda _2}} \right)t}} + {C_2}{V_{22}}{\lambda _2}}}{{{C_1}{V_{11}}{\lambda _1}{e^{\left({{\lambda _1} - {\lambda _2}} \right)t}} + {C_2}{V_{12}}{\lambda _2}}} = \frac{{{V_{22}}}}{{{V_{12}}}},\] т.е. фазовые кривые в бесконечно удаленных точках становятся параллельными вектору \({\mathbf{V}_2}.\)

Соответственно, при \({C_2} = 0\) производная равна \[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{V_{21}}}}{{{V_{11}}}}.\] В этом случае фазовая траектория определяется направлением собственного вектора \({\mathbf{V}_1}.\)

С учетом рассмотренных свойств фазовых траекторий, фазовый портрет устойчивого узла имеет вид, показанный схематически на рисунке \(1.\)

Аналогичным образом можно исследовать поведение фазовых траекторий и для других типов положений равновесия. Далее, опуская детальный анализ, проведем основные качественные характеристики других точек равновесия.

Корни \({{\lambda _1},{\lambda _2}}\) различны \(\left({{\lambda _1} \ne {\lambda _2}} \right)\) и положительны \(\left({{\lambda _1} > 0, {\lambda _2}} > 0\right).\)
В этом случае точка \(\mathbf{X} = \mathbf{0}\) называется неустойчивым узлом . Ее фазовый портрет показан на рисунке \(2.\)

Заметим, что в случае как устойчивого, так и неустойчивого узла фазовые траектории касаются прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине собственному значению \(\lambda.\)

Дикритический узел

Пусть характеристическое уравнение имеет один нулевой корень кратности \(2,\) т.е. рассмотрим случай \({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda} \ne 0.\) При этом система имеет базис из двух собственных векторов, т.е. геометрическая кратность собственного значения \(\lambda\) равна \(2.\) В терминах линейной алгебры это означает, что размерность собственного подпространства матрицы \(A\) равна \(2:\) \(\dim \ker A = 2.\) Такая ситуация реализуется в системах вида \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = \lambda x,}\;\; {\frac{{dy}}{{dt}} = \lambda y.} \] Направление фазовых траекторий зависит от знака \(\lambda.\) Здесь возможны следующие два случая:

Случай \({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda} Такое положение равновесия называется устойчивым дикритическим узлом (рисунок \(3\)) .

Случай \({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda} > 0.\) Данная комбинация собственных значений соответствует неустойчивому дикритическому узлу (рисунок \(4\)).

Вырожденный узел

Пусть собственные значения матрицы \(A\) снова являются совпадающими: \({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda} \ne 0.\) В отличие от предыдущего случая дикритического узла предположим, что геометрическая кратность собственного значения (или другими словами размерность собственного подпространства) равна теперь \(1.\) Это означает, что матрица \(A\) имеет лишь один собственный вектор \({\mathbf{V}_1}.\) Второй линейно независимый вектор, необходимый для составления базиса, определяется как вектор \({\mathbf{W}_1},\) присоединенный к \({\mathbf{V}_1}.\)

В случае \({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda} точка равновесия называется устойчивым вырожденным узлом (рисунок \(5\)).

При \({\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda} > 0\) положение равновесия называется неустойчивым вырожденным узлом (рисунок \(6\)).

Положение равновесия является при условиях \[{\lambda _1},{\lambda _2} \in \Re,\;\;{\lambda _1} \cdot {\lambda _2} 0.\) Собственные значения \({\lambda _1}\) и \({\lambda _2}\) ассоциируются с соответствующими собственными векторами \({\mathbf{V}_1}\) и \({\mathbf{V}_2}.\) Прямые, направленные вдоль собственных векторов \({\mathbf{V}_1},\) \({\mathbf{V}_2},\) называются сепаратрисами . Они являются асимптотами для остальных фазовых траекторий, имеющих форму гипербол. Каждой из сепаратрис можно сопоставить определенное направление движения. Если сепаратриса связана с отрицательным собственным значением \({\lambda _1} 0,\) т.е. для сепаратрисы, связанной с вектором \({\mathbf{V}_2},\) движение направлено от начала координат. Схематически фазовый портрет седла показан на рисунке \(7.\)

Устойчивый и неустойчивый фокус

Пусть теперь собственные значения \({\lambda _1},{\lambda _2}\) являются комплексными числами , действительные части которых не равны нулю. Если матрица \(A\) состоит из действительных чисел, то комплексные корни будут представляться в виде комплексно-сопряженных чисел: \[{\lambda _{1,2}} = \alpha \pm i\beta .\] Выясним, какой вид имеют фазовые траектории в окрестности начала координат. Построим комплексное решение \({\mathbf{X}_1}\left(t \right)\) соответствующее собственному числу \({\lambda _1} = \alpha + i\beta:\) \[ {{\mathbf{X}_1}\left(t \right) = {e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} } = {{e^{\left({\alpha + i\beta } \right)t}}\left({\mathbf{U} + i\mathbf{W}} \right),} \] где \({\mathbf{V}_1} = \mathbf{U} + i\mathbf{W}\) − комплекснозначный собственный вектор, ассоциированный с числом \({\lambda _1},\) \(\mathbf{U}\) и \(\mathbf{W}\) − действительные векторные функции. В результате преобразований получаем \[ {{\mathbf{X}_1}\left(t \right) = {e^{\alpha t}}{e^{i\beta t}}\left({\mathbf{U} + i\mathbf{W}} \right) } = {{e^{\alpha t}}\left({\cos \beta t + i\sin \beta t} \right)\left({\mathbf{U} + i\mathbf{W}} \right) } = {{e^{\alpha t}}\left({\mathbf{U}\cos \beta t + i\mathbf{U}\sin \beta t + i\mathbf{W}\cos \beta t - \mathbf{W}\sin \beta t} \right) } = {{e^{\alpha t}}\left({\mathbf{U}\cos \beta t + - \mathbf{W}\sin \beta t} \right) } + {i{e^{\alpha t}}\left({\mathbf{U}\sin \beta t + \mathbf{W}\cos \beta t} \right).} \] Действительная и мнимая части в последнем выражении образуют общее решение системы, которое имеет вид: \[ {\mathbf{X}\left(t \right) = {C_1}\text{Re}\left[ {{\mathbf{X}_1}\left(t \right)} \right] + {C_2}\text{Im}\left[ {{\mathbf{X}_1}\left(t \right)} \right] } = {{e^{\alpha t}}\left[ {{C_1}\left({\mathbf{U}\cos \beta t - \mathbf{W}\sin \beta t} \right)} \right. } + {\left. {{C_2}\left({\mathbf{U}\sin \beta t + \mathbf{W}\cos \beta t} \right)} \right] } = {{e^{\alpha t}}\left[ {\mathbf{U}\left({{C_1}\cos \beta t + {C_2}\sin \beta t} \right)} \right. } + {\left. {\mathbf{W}\left({{C_2}\cos \beta t - {C_1}\sin \beta t} \right)} \right].} \] Представим постоянные \({C_1},{C_2}\) в виде \[{C_1} = C\sin \delta ,\;\;{C_2} = C\cos \delta ,\] где \(\delta\) − некоторый вспомогательный угол. Тогда решение записывается как \[ {\mathbf{X}\left(t \right) = C{e^{\alpha t}}\left[ {\mathbf{U}\left({\sin \delta \cos \beta t + \cos \delta \sin \beta t} \right)} \right. } + {\left. {\mathbf{W}\left({\cos\delta \cos \beta t - \sin \delta \sin \beta t} \right)} \right] } = {C{e^{\alpha t}}\left[ {\mathbf{U}\sin \left({\beta t + \delta } \right)} \right. + \left. {\mathbf{W}\cos \left({\beta t + \delta } \right)} \right].} \] Таким образом, решение \(\mathbf{X}\left(t \right)\) раскладывается по базису, заданному векторами \(\mathbf{U}\) и \(\mathbf{W}:\) \[\mathbf{X}\left(t \right) = \mu \left(t \right)\mathbf{U} + \eta \left(t \right)\mathbf{W},\] где коэффициенты разложения \(\mu \left(t \right),\) \(\eta \left(t \right)\) определяются формулами: \[ {\mu \left(t \right) = C{e^{\alpha t}}\sin \left({\beta t + \delta } \right),}\;\; {\eta \left(t \right) = C{e^{\alpha t}}\cos\left({\beta t + \delta } \right).} \] Отсюда видно, что фазовые траектории представляют собой спирали. При \(\alpha устойчивым фокусом . Соответственно, при \(\alpha > 0\) мы имеем неустойчивый фокус .

Направление закручивания спиралей можно определить по знаку коэффициента \({a_{21}}\) в исходной матрице \(A.\) Действительно, рассмотрим производную \(\large\frac{{dy}}{{dt}}\normalsize,\) например, в точке \(\left({1,0} \right):\) \[\frac{{dy}}{{dt}}\left({1,0} \right) = {a_{21}} \cdot 1 + {a_{22}} \cdot 0 = {a_{21}}.\] Положительный коэффициент \({a_{21}} > 0\) соответствует закручиванию спиралей против часовой стрелки, как показано на рисунке \(8.\) При \({a_{21}}
Таким образом, с учетом направления закручивания спиралей, всего существует \(4\) различных вида фокуса. Схематически они показаны на рисунках \(8-11.\)

Если собственные значения матрицы \(A\) являются число мнимыми числами, то такое положение равновесия называется центром . Для матрицы с действительными элементами мнимые собственные значения будут комплексно-сопряженными. В случае центра фазовые траектории формально получаются из уравнения спиралей при \(\alpha = 0\) и представляют собой эллипсы , т.е. описывают периодическое движение точки на фазовой плоскости. Положения равновесия типа "центр" являются устойчивыми по Ляпунову.

Возможны два вида центра, различающиеся направлением движения точек (рисунки \(12, 13\)). Как и в случае спиралей, направление движения можно определить, например, по знаку производной \(\large\frac{{dy}}{{dt}}\normalsize\) в какой-либо точке. Если взять точку \(\left({1,0} \right),\) то \[\frac{{dy}}{{dt}}\left({1,0} \right) = {a_{21}}.\] т.е. направление вращения определяется знаком коэффициента \({a_{21}}.\)

Итак, мы рассмотрели различные типы точек равновесия в случае невырожденной матрицы \(A\) \(\left({\det A \ne 0} \right).\) С учетом направления фазовых траекторий всего существует \(13\) различных фазовых портретов, показанных, соответственно, на рисунках \(1-13.\)

Теперь обратимся к случаю вырожденной матрицы \(A.\)

Вырожденная матрица

Если матрица является вырожденной, то у нее одно или оба собственных значения равны нулю. При этом возможны следующие частные случаи:

Случай \({\lambda _1} \ne 0, {\lambda _2} = 0\).
Здесь общее решение записывается в виде \[\mathbf{X}\left(t \right) = {C_1}{e^{{\lambda _1}t}}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{\mathbf{V}_2},\] где \({\mathbf{V}_1} = {\left({{V_{11}},{V_{21}}} \right)^T},\) \({\mathbf{V}_2} = {\left({{V_{12}},{V_{22}}} \right)^T},\) − собственные векторы, соответствующие числам \({\lambda _1}\) и \({\lambda _2}.\) Оказывается, что в данном случае вся прямая, проходящая через начало координат и направленная вдоль вектора \({\mathbf{V}_2},\) состоит из точек равновесия (эти точки не имеют специального названия). Фазовые траектории представляют собой лучи, параллельные другому собственному вектору \({\mathbf{V}_1}.\) В зависимости от знака \({\lambda _1}\) движение при \(t \to \infty\) происходит либо в направлении прямой \({\mathbf{V}_2}\) (рис.\(14\)), либо от нее (рис.\(15\)). Случай \({\lambda _1} = {\lambda _2} = 0, \dim \ker A = 2.\)
В этом случае размерность собственного подпространства матрицы равна \(2\) и, следовательно, существуют два собственных вектора \({\mathbf{V}_1}\) и \({\mathbf{V}_2}.\) Такая ситуация возможна при нулевой матрице \(A.\) Общее решение выражается формулой \[\mathbf{X}\left(t \right) = {C_1}{\mathbf{V}_1} + {C_2}{\mathbf{V}_2}.\] Отсюда следует, что любая точка плоскости является положением равновесия системы.

Случай \({\lambda _1} = {\lambda _2} = 0, \dim \ker A = 1.\)
Данный случай вырожденной матрицы отличается от предыдущего тем, что существует лишь \(1\) собственный вектор (Матрица \(A\) при этом будет ненулевой ). Для построения базиса в качестве второго линейно независимого вектора можно взять вектор \({\mathbf{W}_1},\) присоединенный к \({\mathbf{V}_1}.\) Общее решение системы записывается в виде \[\mathbf{X}\left(t \right) = \left({{C_1} + {C_2}t} \right){\mathbf{V}_1} + {C_2}{\mathbf{W}_1}.\] Здесь все точки прямой, проходящей через начало координат и направленной вдоль собственного вектора \({\mathbf{V}_1},\) являются неустойчивыми положениями равновесия. Фазовые траектории представляют собой прямые, параллельные \({\mathbf{V}_1}.\) Направление движения вдоль этих прямых при \(t \to \infty\) зависит от постоянной \({C_2}:\) при \({C_2} 0\) − в противоположную сторону (рис.\(16\)).

Напомним, что следом матрицы называется число, равное сумме диагональных элементов: \[ {A = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right),}\;\; {\text{tr}\,A = {a_{11}} + {a_{22}},}\;\; {\det A = {a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}.} \] Действительно, характеристическое уравнение матрицы имеет следующий вид: \[{\lambda ^2} - \left({{a_{11}} + {a_{22}}} \right)\lambda + {a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}} = 0.\] Его можно записать через определитель и след матрицы: \[{\lambda ^2} - \text{tr}\,A \cdot \lambda + \det A = 0.\] Дискриминант этого квадратного уравнения определяется соотношением \ Таким образом, бифуркационная кривая , разграничивающая различные режимы устойчивости, представляет собой параболу на плоскости \(\left({\text{tr}\,A,\det A} \right)\) (рис.\(17\)): \[\det A = {\left({\frac{\text{tr}\,A}{2}} \right)^2}.\] Выше параболы находятся точки равновесия типа фокус и центр. Точки типа "центр" расположены на положительной полуоси \(Oy,\) т.е. при условии \(\text{tr}\,A = 0.\) Ниже параболы находятся точки типа "узел" или "седло". Сама парабола содержит дикритические или вырожденные узлы.

Устойчивые режимы движения существуют в левом верхнем квадранте бифуркационной диаграммы. Остальные три квадранта соответствуют неустойчивым положениям равновесия.

Алгоритм построения фазового портрета

Для схематического построения фазового портрета линейной автономной системы \(2\)-го порядка с постоянными коэффициентами \[ {\mathbf{X"} = A\mathbf{X},}\;\; {A = \left({\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right),}\;\; {\mathbf{X} = \left({\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right)} \] необходимо выполнить следующие действия:

Найти собственные значения матрицы, решив характеристическое уравнение \[{\lambda ^2} - \left({{a_{11}} + {a_{22}}} \right)\lambda + {a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}} = 0.\]

Определить тип положения равновесия и характер устойчивости.

Примечание: Тип положения равновесия можно также определить на основе бифуркационной диаграммы (рис.\(17\)), зная след и определитель матрицы: \[ {\text{tr}\,A = {a_{11}} + {a_{22}},}\;\; {\det A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| } = {{a_{11}}{a_{22}} - {a_{12}}{a_{21}}.} \]

Найти уравнение изоклин : \[ {\frac{{dx}}{{dt}} = {a_{11}}x + {a_{12}}y}\;\; {\left(\text{вертикальная изоклина} \right),} \] \[ {\frac{{dy}}{{dt}} = {a_{21}}x + {a_{22}}y}\;\; {\left(\text{горизонтальная изоклина} \right).} \]

Если положение равновесия является узлом или , то необходимо вычислить собственные векторы и начертить параллельные им асимптоты, проходящие через начало координат.

Схематически начертить фазовый портрет.

Показать направление движения по фазовым траекториям (это зависит от устойчивости или неустойчивости точки равновесия). В случае фокуса следует определить направление закручивания траекторий. Это можно сделать, вычислив вектор скорости \(\left({\large\frac{{dx}}{{dt}}\normalsize,\large\frac{{dy}}{{dt}}\normalsize} \right)\)в произвольной точке, например, в точке \(\left({1,0} \right).\) Аналогичным образом определяется направление движения, если положение равновесия является центром .

«Физика - 10 класс»

Вспомните, что такое момент силы.
При каких условиях тело находится в покое?

Если тело находится в покое относительно выбранной системы отсчёта, то говорят, что это тело находится в равновесии. Здания, мосты, балки вместе с опорами, части машин, книга на столе и многие другие тела покоятся, несмотря на то что к ним со стороны других тел приложены силы. Задача изучения условий равновесия тел имеет большое практическое значение для машиностроения, строительного дела, приборостроения и других областей техники. Все реальные тела под влиянием приложенных к ним сил изменяют свою форму и размеры, или, как говорят, деформируются.

Во многих случаях, которые встречаются на практике, деформации тел при их равновесии незначительны. В этих случаях деформациями можно пренебречь и вести расчёт, считая тело абсолютно твёрдым .

Для краткости абсолютно твёрдое тело будем называть твёрдым телом или просто телом . Изучив условия равновесия твёрдого тела, мы найдём условия равновесия реальных тел в тех случаях, когда их деформации можно не учитывать.

Вспомните определение абсолютно твёрдого тела.

Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия абсолютно твёрдых тел, называется статикой .

В статике учитываются размеры и форма тел, в этом случае существенным является не только значение сил, но и положение точек их приложения.

Выясним вначале с помощью законов Ньютона, при каком условии любое тело будет находиться в равновесии. С этой целью разобьём мысленно всё тело на большое число малых элементов, каждый из которых можно рассматривать как материальную точку. Как обычно, назовём силы, действующие на тело со стороны других тел, внешними, а силы, с которыми взаимодействуют элементы самого тела, внутренними (рис. 7.1). Так, сила 1,2 - это сила, действующая на элемент 1 со стороны элемента 2. Сила же 2,1 действует на элемент 2 со стороны элемента 1. Это внутренние силы; к ним относятся также силы 1,3 и 3,1 , 2,3 и 3,2 . Очевидно, что геометрическая сумма внутренних сил равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона

12 = - 21 , 23 = - 32 , 31 = - 13 и т.д.

Статика - частный случай динамики, так как покой тел, когда на них действуют силы, есть частный случай движения ( = 0).

На каждый элемент в общем случае может действовать несколько внешних сил. Под 1 , 2 , 3 и т. д. будем понимать все внешние силы, приложенные соответственно к элементам 1, 2, 3, ... . Точно так же через " 1 , " 2 , " 3 и т. д. обозначим геометрическую сумму внутренних сил, приложенных к элементам 2, 2, 3, ... соответственно (эти силы не показаны на рисунке), т. е.

" 1 = 12 + 13 + ... , " 2 = 21 + 22 + ... , " 3 = 31 + 32 + ... и т.д.

Если тело находится в покое, то ускорение каждого элемента равно нулю. Поэтому согласно второму закону Ньютона будет равна нулю и геометрическая сумма всех сил, действующих на любой элемент. Следовательно, можно записать:

1 + "1 = 0, 2 + "2 = 0, 3 + "3 = 0. (7.1)

Каждое из этих трёх уравнений выражает условие равновесия элемента твёрдого тела.

Первое условие равновесия твёрдого тела.

Выясним, каким условиям должны удовлетворять внешние силы, приложенные к твёрдому телу, чтобы оно находилось в равновесии. Для этого сложим уравнения (7.1):

(1 + 2 + 3) + ("1 + "2 + "3) = 0.

В первых скобках этого равенства записана векторная сумма всех внешних сил, приложенных к телу, а во вторых - векторная сумма всех внутренних сил, действующих на элементы этого тела. Но, как известно, векторная сумма всех внутренних сил системы равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона любой внутренней силе соответствует сила, равная ей по модулю и противоположная по направлению. Поэтому в левой части последнего равенства останется только геометрическая сумма внешних сил, приложенных к телу:

1 + 2 + 3 + ... = 0 . (7.2)

В случае абсолютно твёрдого тела условие (7.2) называют первым условием его равновесия .

Оно является необходимым, но не является достаточным.

Итак, если твёрдое тело находится в равновесии, то геометрическая сумма внешних сил, приложенных к нему, равна нулю.

Если сумма внешних сил равна нулю, то равна нулю и сумма проекций этих сил на оси координат. В частности, для проекций внешних сил на ось ОХ можно записать:

F 1x + F 2x + F 3x + ... = 0. (7.3)

Такие же уравнения можно записать и для проекций сил на оси OY и OZ.

Второе условие равновесия твёрдого тела.

Убедимся, что условие (7.2) является необходимым, но недостаточным для равновесия твёрдого тела. Приложим к доске, лежащей на столе, в различных точках две равные по модулю и противоположно направленные силы так, как показано на рисунке 7.2. Сумма этих сил равна нулю:

+ (-) = 0. Но доска тем не менее будет поворачиваться. Точно так же две одинаковые по модулю и противоположно направленные силы поворачивают руль велосипеда или автомобиля (рис. 7.3).

Какое же ещё условие для внешних сил, кроме равенства нулю их суммы, должно выполняться, чтобы твёрдое тело находилось в равновесии? Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии.

Найдём, например, условие равновесия стержня, шарнирно закреплённого на горизонтальной оси в точке О (рис. 7.4). Это простое устройство, как вам известно из курса физики основной школы, представляет собой рычаг первого рода.

Пусть к рычагу приложены перпендикулярно стержню силы 1 и 2 .

Кроме сил 1 и 2 , на рычаг действует направленная вертикально вверх сила нормальной реакции 3 со стороны оси рычага. При равновесии рычага сумма всех трёх сил равна нулю: 1 + 2 + 3 = 0.

Вычислим работу, которую совершают внешние силы при повороте рычага на очень малый угол α. Точки приложения сил 1 и 2 пройдут пути s 1 = ВВ 1 и s 2 = CC 1 (дуги ВВ 1 и СС 1 при малых углах α можно считать прямолинейными отрезками). Работа А 1 = F 1 s 1 силы 1 положительна, потому что точка В перемещается по направлению действия силы, а работа А 2 = -F 2 s 2 силы 2 отрицательна, поскольку точка С движется в сторону, противоположную направлению силы 2 . Сила 3 работы не совершает, так как точка её приложения не перемещается.

Пройденные пути s 1 и s 2 можно выразить через угол поворота рычага а, измеренный в радианах: s 1 = α|ВО| и s 2 = α|СО|. Учитывая это, перепишем выражения для работы так:

А 1 = F 1 α|BO|, (7.4)
А 2 = -F 2 α|CO|.

Радиусы ВО и СО дуг окружностей, описываемых точками приложения сил 1 и 2 , являются перпендикулярами, опущенными из оси вращения на линии действия этих сил

Как вы уже знаете, плечо силы - это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Будем обозначать плечо силы буквой d. Тогда |ВО| = d 1 - плечо силы 1 , а |СО| = d 2 - плечо силы 2 . При этом выражения (7.4) примут вид

А 1 = F 1 αd 1 , А 2 = -F 2 αd 2 . (7.5)

Из формул (7.5) видно, что работа каждой из сил равна произведению момента силы на угол поворота рычага. Следовательно, выражения (7.5) для работы можно переписать в виде

А 1 = М 1 α, А 2 = М 2 α, (7.6)

а полную работу внешних сил можно выразить формулой

А = А 1 + А 2 = (М 1 + М 2)α. α, (7.7)

Так как момент силы 1 положителен и равен М 1 = F 1 d 1 (см. рис. 7.4), а момент силы 2 отрицателен и равен М 2 = -F 2 d 2 , то для работы А можно записать выражение

А = (М 1 - |М 2 |)α.

Когда тело приходит в движение, его кинетическая энергия увеличивается. Для увеличения кинетической энергии внешние силы должны совершать работу, т. е. в этом случае А ≠ 0 и соответственно М 1 + М 2 ≠ 0.

Если работа внешних сил равна нулю, то кинетическая энергия тела не изменяется (остаётся равной нулю) и тело остаётся неподвижным. Тогда

М 1 + М 2 = 0 . (7.8)

Уравнение (7 8) и есть второе условие равновесия твёрдого тела .

При равновесии твёрдого тела сумма моментов всех внешних сил, действующих на него относительно любой оси, равна нулю.

Итак, в случае произвольного числа внешних сил условия равновесия абсолютно твёрдого тела следующие:

1 + 2 + 3 + ... = 0, (7.9)
М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0 .

Второе условие равновесия можно вывести из основного уравнения динамики вращательного движения твёрдого тела. Согласно этому уравнению где М - суммарный момент сил, действующих на тело, М = М 1 + М 2 + М 3 + ... , ε - угловое ускорение. Если твёрдое тело неподвижно, то ε = 0, и, следовательно, М = 0. Таким образом, второе условие равновесия имеет вид М = М 1 + М 2 + М 3 + ... = 0.

Если тело не абсолютно твёрдое, то под действием приложенных к нему внешних сил оно может и не оставаться в равновесии, хотя сумма внешних сил и сумма их моментов относительно любой оси равны нулю.

Приложим, например к концам резинового шнура две силы, равные по модулю и направленные вдоль шнура в противоположные стороны. Под действием этих сил шнур не будет находиться в равновесии (шнур растягивается), хотя сумма внешних сил равна нулю и нулю равна сумма их моментов относительно оси, проходящей через любую точку шнура.

Виды равновесия

Для того чтобы судить о поведении тела в реальных условиях, мало знать, что оно находится в равновесии. Надо еще оценить это равновесие. Различают устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесие.

Равновесие тела называют устойчивым , если при отклонении от него возникают силы, возвращающие тело в положение равновесия (рис. 1 положение 2). В устойчивом равновесии центр тяжести тела занимает наинизшее из всех близких положений. Положение устойчивого равновесия связано с минимумом потенциальной энергии по отношению ко всем близким соседним положениям тела.

Равновесие тела называют неустойчивым , если при самом незначительном отклонении от него равнодействующая действующих на тело сил вызывает дальнейшее отклонение тела от положения равновесия (рис. 1 положение 1). В положении неустойчивого равновесия высота центра тяжести максимальна и потенциальная энергия максимальна по отношению к другим близким положениям тела.

Равновесие, при котором смещение тела в любом направлении не вызывает изменения действующих на него сил и равновесие тела сохраняется, называют безразличным (рис. 1 положение 3).

Безразличное равновесие связано с неизменной потенциальной энергией всех близких состояний, и высота центра тяжести одинакова во всех достаточно близких положениях.

Тело, имеющее ось вращения (например, однородная линейка, которая может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О, изображенная на рисунке 2), находится в равновесии, если вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела, проходит через ось вращения. Причем если центр тяжести С выше оси вращения (рис. 2,1), то при любом отклонении от положения равновесия потенциальная энергия уменьшается и момент силы тяжести относительно оси О отклоняет тело дальше от положения равновесия. Это неустойчивое положение равновесия. Если центр тяжести находится ниже оси вращения (рис. 2,2), то равновесие устойчивое. Если центр тяжести и ось вращения совпадают (рис. 2,3), то положение равновесия безразличное.

равновесие физика смещение

Тело, имеющее площадь опоры, находится в равновесии, если вертикальная прямая, проходящая через центр тяжести тела не выходит за пределы площади опоры этого тела, т.е. за пределы контура образованного точками соприкосновения тела с опорой Равновесие в этом случае зависит не только от расстояния между центром тяжести и опорой (т.е. от его потенциальной энергии в гравитационном поле Земли), но и от расположения и размеров площади опоры этого тела.

На рисунке 2 изображено тело, имеющее форму цилиндра. Если его наклонить на малый угол, то оно возвратится в исходное положение 1 или 2. Если же его отклонить на угол (положение 3), то тело опрокинется. При заданной массе и площади опоры устойчивость тела тем выше, чем ниже расположен его центр тяжести, т.е. чем меньше угол между прямой, соединяющей центр тяжести тела и крайнюю точку соприкосновения площади опоры с горизонтальной плоскостью.

В состоянии равновесия тело находится в покое (вектор скорости равен нулю) в выбранной системе отсчета либо движется равномерно прямолинейно или вращается без касательного ускорения.

Определение через энергию системы [ | ]

Так как энергия и силы связаны фундаментальными зависимостями , это определение эквивалентно первому. Однако определение через энергию может быть расширено для того, чтобы получить информацию об устойчивости положения равновесия.

Виды равновесия [ | ]

Различают три вида равновесия тел: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Равновесие называется устойчивым, если после небольших внешних воздействий тело возвращается в исходное состояние равновесия. Равновесие называется неустойчивым, если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил отлична от нуля и направлена от положения равновесия. Равновесие называется безразличным, если при небольшом смещении тела из положения равновесия равнодействующая приложенных к нему сил равна нулю .

Приведём пример для системы с одной степенью свободы . В этом случае достаточным условием положения равновесия будет являться наличие локального экстремума потенциальной энергии в исследуемой точке. Как известно, условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю её первой производной . Чтобы определить, когда эта точка является минимумом или максимумом, необходимо проанализировать её вторую производную. Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами:

• неустойчивое равновесие;
• устойчивое равновесие;
• безразличное равновесие.

Неустойчивое равновесие [ | ]

В случае, когда вторая производная отрицательна, потенциальная энергия системы находится в состоянии локального максимума. Это означает, что положение равновесия неустойчиво . Если система будет смещена на небольшое расстояние, то она продолжит своё движение за счёт сил, действующих на систему. Т. е. при выведении тела из равновесия оно не возвращается на исходную позицию.

Устойчивое равновесие [ | ]

Вторая производная > 0: потенциальная энергия в состоянии локального минимума, положение равновесия устойчиво (см. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия). Если систему сместить на небольшое расстояние, она вернётся назад в состояние равновесия. Равновесие устойчиво, если центр тяжести тела занимает наинизшее положение по сравнению со всеми возможными соседними положениями. При таком равновесии выведенное из равновесия тело возвращается на первоначальное место.

Безразличное равновесие [ | ]

Вторая производная = 0: в этой области энергия не варьируется, а положение равновесия является безразличным . Если система будет смещена на небольшое расстояние, она останется в новом положении. Если отклонить или сдвинуть тело оно останется в равновесии.

Устойчивость в системах с большим числом степеней свободы [ | ]

Если система имеет несколько степеней свободы, то может оказаться, что при отклонениях вдоль конкретного направления равновесие устойчиво, но если равновесие неустойчиво хотя бы в одном направлении, то оно неустойчиво и в целом. Простейшим примером такой ситуации является точка равновесия типа «седловина» или «перевал».

Равновесие системы с несколькими степенями свободы будет устойчивым только в том случае, если оно устойчиво по всем направлениям.