Усиление когерентных волн происходит если. Когерентные волны
КОГЕРЕНТНОСТЬ (от лат. cohaerentio – связь, сцепление) – согласованное протекание в пространстве и во времени нескольких колебательных или волновых процессов, при котором разность их фаз остается постоянной. Это означает, что волны (звук , свет , волны на поверхности воды и пр.) распространяются синхронно, отставая одна от другой на вполне определенную величину. При сложении когерентных колебаний возникает интерференция ; амплитуду суммарных колебаний определяет разность фаз.
Гармонические колебания описывает выражение
A (t ) = A 0 cos(w t + j ),
где A 0 – начальная амплитуда колебания, A (t ) – амплитуда в момент времени t , w – частота колебания, j – его фаза.
Колебания когерентны, если их фазы j 1, j 2 ... меняются беспорядочно, но их разность Dj = j 1 – j 2 ... остается постоянной. Если же разность фаз меняется, колебания остаются когерентными, пока она по величине не станет сравнима с p .
Распространяясь от источника колебаний, волна через какое-то время t может «забыть» первоначальное значение своей фазы и стать некогерентной самой себе. Изменение фазы обычно происходит постепенно, и время t 0, в течение которого величина Dj остается меньше p , называется временнóй когерентностью. Ее величина непосредственно связана с надежностью источника колебаний: чем стабильнее он работает, тем больше временнáя когерентность колебания.
За время t 0 волна, двигаясь со скоростью с , проходит расстояние l = t 0c , которое называется длиной когерентности,или длинойцуга, то есть отрезка волны, имеющего неизменную фазу. В реальной плоской волне фаза колебаний меняется не только вдоль направления распространения волны, но и в плоскости, перпендикулярной ему. В этом случае говорят о пространственной когерентности волны.
Первое определение когерентности дал Томас Юнг в 1801 при описании законов интерференции света, проходящего через две щели: «интерферируют две части одного и того же света». Суть этого определения состоит в следующем.
Обычные источники оптического излучения состоят из множества атомов, ионов или молекул, самопроизвольно испускающих фотоны. Каждый акт испускания длится 10 –5 – 10 –8 секунды; следуют они беспорядочно и со случайно распределенными фазами как в пространстве, так и во времени. Такое излучение некогерентно, на освещенном им экране наблюдается усредненная сумма всех колебаний, а картина интерференции отсутствует. Поэтому для получения интерференции от обычного источника света его луч раздваивают при помощи пары щелей, бипризмы или зеркал, поставленных под небольшим углом одно к другому, а затем сводят вместе обе части. Фактически здесь речь идет о согласованности, когерентности двух лучей одного акта излучения, происходящего случайным образом.
Когерентность лазерного излучения имеет другую природу. Атомы (ионы, молекулы) активного вещества лазера испускают вынужденное излучение, вызванное пролетом постороннего фотона, «в такт», с одинаковыми фазами, равными фазе первичного, вынуждающего излучения (см . ЛАЗЕР).
В наиболее широкой трактовке под когерентностью сегодня понимают совместное протекание двух или нескольких случайных процессов в квантовой механике, акустике, радиофизике и пр.
Сергей Транковсий
КОГЕРЕНТНЫЕ ВОЛНЫ. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН.
Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. Степень согласования может быть различной. Соответственно вводится понятие степени когерентности двух волн.
Пусть в данную точку пространства приходят две световые волны одинаковой частоты, которые возбуждают в этой точке колебания одинакового направления (обе волны поляризованы одинаковым образом):
Е = А 1 соs(wt + a 1),
Е = A 2 cos(wt + a 2), тогда амплитуда результирующего колебания
А 2 = А 1 2 +А 2 2 + 2А 1 А 2 соsj, (1)
где j = a 1 - a 2 = const.
Если частоты колебаний в обеих волнах w одинаковы, а разность фаз j возбуждаемых колебаний остается постоянной во времени, то такие волны называются когерентными.
Приналожении когерентных волн они дают устойчивое колебание с неизменной амплитудой А = соnst, определяемой выражением (1) и в зависимости от разности фаз колебаний лежащей в пределах
|а 1 –А 2 ê £ A £ а 1 +А 2.
Т.о., когерентные волны при интерференции друг с другом дают устойчивое колебание с амплитудой не больше суммы амплитуд интерферирующих волн.
Если j = p, тогда соsj = -1 и а 1 = А 2 , a амплитуда суммарного колебания равна нулю, и интерферирующие волны полностью гасят друг друга.
В случае некогерентных волн j непрерывно изменяется, принимая с равной вероятностью любые значения, вследствие чего среднее по времени значение
А 2 > = <А 1 2 > + <А 2 2 >,
откуда интенсивность, наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности:
В случае когерентных волн, соsj имеет постоянное во времени значение (но свое для каждой точки пространства), так что
I = I 1 + I 2 + 2Ö I 1 × I 2 cosj (2)
В тех точках пространства, для которых соsj >0, I> I 1 +I 2 ; в точках, для которых соsj<0, Iинтерференцией волн. Особенно отчетливо проявляется интерференция в том случае, когда интенсивности обеих интерферирующих волн одинаковы: I 1 =I 2 . Тогда согласно (2) в максимумах I = 4I 1 , в минимумах же I = 0. Для некогерентных волн при том же условии получается всюду одинаковая интенсивность I = 2I 1 .
Все естественные источники света (Солнце, лампочки накаливания и т.д.) не когерентны.
Некогерентность естественных источников света обусловлена тем, что излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых многими атомами. Отдельные атомы излучают цуги волн длительностью порядка 10 -8 с и протяженностью около 3 м. Фаза нового цуга никак не связана с фазой предыдущего цуга. В испускаемой телом световой волне излучение одной группы атомов через время порядка 10 -8 с сменяется излучением другой группы, причем фаза результирующей волны претерпевает случайные изменения.
Некогерентными и не могущими интерферировать др. с др. являются волны, испускаемые различными естественными источниками света. А можно ли вообще для света создать условия, при которых наблюдались бы интерференционные явления? Как, пользуясь обычными некогерентными излучателями света, создать взаимно когерентные источники?
Когерентные световые волны можно получить, разделив (с помощью отражений или преломлений) волну, излучаемую одним источником света, на две части, Если заставить эти две волны пройти разные оптические пути, а потом наложить их др. на др., наблюдается интерференция. Разность оптических длин путей, проходимых интерферирующими волнами, не должна быть очень большой, так как складывающиеся колебания должны принадлежать одному и тому же результирующему цугу волн. Если эта разность ³1м, наложатся колебания, соответствующие разным цугам, и разность фаз между ними будет непрерывно изменяться хаотическим образом.
Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О (рис.2).
До точки Р первая волна проходит в среде показателем преломления n 1 путь S 1 , вторая волна проходит в среде с показателем преломления n 2 путь S 2 . Если в точке О фаза колебания равна wt, то первая волна возбудит в точке Р колебание А 1 соsw(t – S 1 /V 1), а вторая волна -колебание А 2 соsw(t – S 2 /V 2), где V 1 и V 2 - фазовые скорости. Следовательно, разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке Р, будет равна
j = w(S 2 /V 2 – S 1 /V 1) = (wc)(n 2 S 2 – n 1 S 1).
Заменим w/с через 2pn/с = 2p/lо (lо - длина волны в),тогда
j = (2p/lо)D, где (3)
D= n 2 S 2 – n 1 S 1 = L 2 - L 1
есть величина, равная разности оптических длин, проходимых волнами путей, и называется оптической разностью хода.
Из (3) видно, что если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме:
D = ±mlо (m = 0,1,2), (4)
то разность фаз оказывается кратной 2p и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить с одинаковой фазой. Т.о., (4) есть условие интерференционного максимума.
Если оптическая разность хода D равна полуцелому числу длин волн в вакууме:
D = ± (m + 1/2)lо (m =0, 1,2, ...), (5)
то j = ± (2m + 1)p, так что колебания в точке Р находятся в противофазе. Следовательно, (5) есть условие интерференционного минимума.
Принцип получения когерентных световых волн разделением волны на две части, проходящие различные пути, может быть практически осуществлен различными способами - с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел.
Впервые интерференционную картину от двух источников света наблюдал в 1802 году английский ученый Юнг. В опыте Юнга (рис.3) свет от точечного источника (малое отверстие S) проходит через две равноудаленные щели (отверстия) А 1 и А 2 , являющиеся как бы двумя когерентными источниками (две цилиндрические волны). Интерференционная картина наблюдается на экране Ё, расположенном на некотором расстоянии l параллельно А 1 А 2 . Начало отсчета выбрано в точке 0, симметричной относительно щелей.
Плоская св. S O
A 2 S 2 l
Усиление и ослабление света в произвольной точке Р экрана зависит от оптической разности хода лучей D =L 2 – L 1 . Для получения различимой интерференционной картины расстояние между источниками А 1 А 2 =d должно быть значительно меньше расстояния до экрана l . Расстояние х, в пределах которого образуются интерференционные полосы, значительно меньше l . При этих условиях можно положить S 2 – S 1 » 2l . Тогда S 2 – S 1 » xd/l . Умножив на n,
D = nxd/l . (6)
Подставив (6) в (4) получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях х, равных
х max = ± ml l/d (m = 0, 1,2,.,.). (7)
Здесь l = l 0 /n - длина волны в среде, заполняющей пространство между источниками и экраном.
Координаты минимумов интенсивности будут:
х min = ±(m +1/2)ll/d (m = 0,1,2,...). (8)
Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами - шириной интерференционной полосы. Из (7) и (8) следует, что расстояние между полосами и ширина полосы имеют одинаковое значение, равное
Dх = l l/d. (9)
Измеряя параметры, входящие в (9), можно определить длину волны оптического излучения l. Согласно (9) Dх пропорционально 1/d, поэтому чтобы интерференционная картина была четко различима, необходимо соблюдение упоминавшегося выше условия: d<< l . Главный максимум, соответствующий m = 0, проходит через точку 0. Вверх и вниз от него на равных расстояниях друг от друга располагаются максимумы (минимумы) первого (m =1), второго (m = 2) порядков и т.д.
Такая картина справедлива при освещении экрана монохроматическим светом (l 0 = const). При освещении белым светом интерференционные максимумы (и минимумы) для каждой длины волны будут, согласно формуле (9), смещены друг относительно друга и иметь вид радужных полос. Только для m = 0 максимумы для всех длин волн совпадают, и в середине экрана будет наблюдаться светлая полоса, по обе стороны от которой симметрично расположатся спектрально окрашенные полосы максимумов первого, второго порядков и т д. (ближе к центральной светлой полосе будут находиться зоны фиолетового цвета, дальше – зоны красного цвета).
Интенсивность интерференционных полос не остается постоянной, а изменяется вдоль экрана по закону квадрата косинуса.
Наблюдать интерференционную картину можно с помощью зеркала Френеля, зеркала Лойда, бипризмы Френеля и других оптических устройств, а также при отражении света от тонких прозрачных пленок.
Лекция 13. Интерференция света
Модуль 2.3 Волновая оптика
Основные понятия : интерференция волн, когерентность, оптическая разность хода, разность фаз колебаний, ширина интерференционной полосы, полосы равного наклона, полосы равной толщины.
План лекции
1. Интерференция волн. Принцип суперпозиции для волн. Когерентные волны.
2. Интерференция света от двух точечных источников.
3. Простые интерференционные схемы.
4. Полосы равного наклона и равной толщины. Отражение от тонких пленок и плоскопараллельных пластинок. Кольца Ньютона. Интерферометры.
Краткое содержание
Волновые свойства света наиболее отчетливо обнаруживают себя в интерференции и дифракции. Эти явления характерны для волн любой природы и сравнительно просто наблюдаются на опыте для волн на поверхности воды или для звуковых волн. Наблюдать же интерференцию и дифракцию световых волн можно лишь при определенных условиях. Свет, испускаемый обычными (нелазерными) источниками, не бывает строго монохроматическим. Поэтому для наблюдения интерференции свет от одного источника нужно разделить на два пучка и затем наложить их друг на друга. Существующие экспериментальные методы получения когерентных пучков из одного светового пучка можно разделить на два класса.
В методе деления волнового фронта пучок пропускается, например, через два близко расположенных отверстия в непрозрачном экране. Такой метод пригоден лишь при достаточно малых размерах источника.
В другом методе пучок делится на одной или нескольких частично отражающих, частично пропускающих поверхностях. Этот метод деления амплитуды может применяться и при протяженных источниках.
Если частоты волн одинаковые, то зависимость от времени будет определяться только разностью начальных фаз колебаний и , каждая из которых в волнах от независимых источников случайным (хаотичным) образом меняется во времени. Если удастся каким либо образом согласовать колебания так, чтобы эта разность не зависела от времени, или медленно менялась во времени, то интенсивность результирующей волны уже не будет равна сумме интенсивностей падающих волн и можно записать:
Такие «согласованные» по фазе волны называют когерентными.
Таким образом, две волны будут когерентными, если слагаемое , описывающее перераспределение интенсивности в пространстве, не обращается в нуль.
Когерентными являются, например, одинаково поляризованные волны, если их частоты одинаковы, а разность начальных фаз не зависит от времени. Так как начальная фаза каждого цуга волн – случайная функция времени, то для получения когерентных колебаний необходимо как-то разделить одну световую волну от источника на две, и тогда разность начальных фаз будет равна нулю. Знак усреднения можно снять и записать
где. Величину можно рассматривать как разность расстояний, пройденных волнами от источника до места встречи. Эту разность, умноженную на показатель преломления среды, называют оптической разностью хода 
, а - разностью их фаз в момент встречи. Таким образом, в зависимости от разности фаз или, что тоже самое, в зависимости от разности хода интенсивность в различных точках пространства может изменяться от минимального значения
Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебательных или волновых процессов. Степень согласования может быть различной. Соответственно вводится понятие степени когерентности двух волн.
Пусть в данную точку пространства приходят две световые волны одинаковой частоты, которые возбуждают в этой точке колебания одинакового направления (обе волны поляризованы одинаковым образом):
Е = А 1 соs(wt + a 1),
Е = A 2 cos(wt + a 2), тогда амплитуда результирующего колебания
А 2 = А 1 2 +А 2 2 + 2А 1 А 2 соsj, (1)
где j = a 1 - a 2 = const.
Если частоты колебаний в обеих волнах w одинаковы, а разность фаз j возбуждаемых колебаний остается постоянной во времени, то такие волны называются когерентными.
Приналожении когерентных волн они дают устойчивое колебание с неизменной амплитудой А = соnst, определяемой выражением (1) и в зависимости от разности фаз колебаний лежащей в пределах |а 1 –А 2 ê £ A £ а 1 +А 2.
Т.о., когерентные волны при интерференции друг с другом дают устойчивое колебание с амплитудой не больше суммы амплитуд интерферирующих волн.
Если j = p, тогда соsj = -1 и а 1 = А 2 , a амплитуда суммарного колебания равна нулю, и интерферирующие волны полностью гасят друг друга.
В
случае некогерентных волн j
непрерывно изменяется, принимая с равной
вероятностью
любые значения, вследствие чего среднее
по времени значение
А 2 > = <А 1 2 > + <А 2 2 >,
откуда интенсивность, наблюдаемая при наложении некогерентных волн, равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности:
I = I 1 + I 2 .
В случае когерентных волн, соsj имеет постоянное во времени значение (но свое для каждой точки пространства), так что
I = I 1 + I 2 + 2Ö I 1 × I 2 cosj (2)
В тех точках пространства, для которых соsj >0, I> I 1 +I 2 ; в точках, для которых соsj<0, IПри наложении когерентных световых волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних местах возникают максимумы, а в других - минимумы интенсивности. Это явление называется интерференцией волн. Особенно отчетливо проявляется интерференция в том случае, когда интенсивности обеих интерферирующих волн одинаковы: I 1 =I 2 . Тогда согласно (2) в максимумах I = 4I 1 , в минимумах же I = 0. Для некогерентных волн при том же условии получается всюду одинаковая интенсивность I = 2I 1 .
Все естественные источники света (Солнце, лампочки накаливания и т.д.) не когерентны.
Некогерентность естественных источников света обусловлена тем, что излучение светящегося тела слагается из волн, испускаемых многими атомами. Отдельные атомы излучают цуги волн длительностью порядка 10 -8 с и протяженностью около 3 м. Фаза нового цуга никак не связана с фазой предыдущего цуга. В испускаемой телом световой волне излучение одной группы атомов через время порядка 10 -8 с сменяется излучением другой группы, причем фаза результирующей волны претерпевает случайные изменения.
Некогерентными и не могущими интерферировать др. с др. являются волны, испускаемые различными естественными источниками света. А можно ли вообще для света создать условия, при которых наблюдались бы интерференционные явления? Как, пользуясь обычными некогерентными излучателями света, создать взаимно когерентные источники?
Когерентные световые волны можно получить, разделив (с помощью отражений или преломлений) волну, излучаемую одним источником света, на две части, Если заставить эти две волны пройти разные оптические пути, а потом наложить их др. на др., наблюдается интерференция. Разность оптических длин путей, проходимых интерферирующими волнами, не должна быть очень большой, так как складывающиеся колебания должны принадлежать одному и тому же результирующему цугу волн. Если эта разность ³1м, наложатся колебания, соответствующие разным цугам, и разность фаз между ними будет непрерывно изменяться хаотическим образом.
Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О (рис.2).
До точки Р первая волна проходит в среде показателем преломления n 1 путь S 1 , вторая волна проходит в среде с показателем преломления n 2 путь S 2 . Если в точке О фаза колебания равна wt, то первая волна возбудит в точке Р колебание А 1 соsw(t – S 1 /V 1), а вторая волна -колебание А 2 соsw(t – S 2 /V 2), где V 1 и V 2 - фазовые скорости. Следовательно, разность фаз колебаний, возбуждаемых волнами в точке Р, будет равна
j = w(S 2 /V 2 – S 1 /V 1) = (w/c)(n 2 S 2 – n 1 S 1).
Заменим w/с через 2pn/с = 2p/lо (lо - длина волны в), тогдаj = (2p/lо)D, где (3)
D= n 2 S 2 – n 1 S 1 = L 2 - L 1
есть величина, равная разности оптических длин, проходимых волнами путей, и называется оптической разностью хода.
Из (3) видно, что если оптическая разность хода равна целому числу длин волн в вакууме:
D = ±mlо (m = 0,1,2), (4)
то разность фаз оказывается кратной 2p и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить с одинаковой фазой. Т.о., (4) есть условие интерференционного максимума.
Если оптическая разность хода D равна полуцелому числу длин волн в вакууме:
D = ± (m + 1/2)lо (m =0, 1,2, ...) (5)
то j = ± (2m + 1)p, так что колебания в точке Р находятся в противофазе. Следовательно, (5) есть условие интерференционного минимума.
Принцип получения когерентных световых волн разделением волны на две части, проходящие различные пути, может быть практически осуществлен различными способами - с помощью экранов и щелей, зеркал и преломляющих тел.
Впервые интерференционную картину от двух источников света наблюдал в 1802 году английский ученый Юнг. В опыте Юнга (рис.3) свет от точечного источника (малое отверстие S) проходит через две равноудаленные щели (отверстия) А 1 и А 2 , являющиеся как бы двумя когерентными источниками (две цилиндрические волны). Интерференционная картина наблюдается на экране Ё, расположенном на некотором расстоянии l параллельно А 1 А 2 . Начало отсчета выбрано в точке 0, симметричной относительно щелей.
Усиление и ослабление света в произвольной точке Р экрана зависит от оптической разности хода лучей D =L 2 – L 1 . Для получения различимой интерференционной картины расстояние между источниками А 1 А 2 =d должно быть значительно меньше расстояния до экрана l . Расстояние х, в пределах которого образуются интерференционные полосы, значительно меньше l . При этих условиях можно положить S 2 – S 1 » 2l . Тогда S 2 – S 1 » xd/l . Умножив на n,
Подучим D = nxd/l . (6)
Подставив (6) в (4) получим, что максимумы интенсивности будут наблюдаться при значениях х, равных х max = ± ml l/d (m = 0, 1,2,.,.).(7)
Здесь l = l 0 /n - длина волны в среде, заполняющей пространство между источниками и экраном.
Координаты минимумов интенсивности будут:
х min = ±(m +1/2)ll/d (m = 0,1,2,...). (8)
Расстояние между двумя соседними максимумами интенсивности называется расстоянием между интерференционными полосами, а расстояние между соседними минимумами - шириной интерференционной полосы. Из (7) и (8) следует, что расстояние между полосами и ширина полосы имеют одинаковое значение, равное Dх = l l/d. (9)
Измеряя параметры, входящие в (9), можно определить длину волны оптического излучения l. Согласно (9) Dх пропорционально 1/d, поэтому чтобы интерференционная картина была четко различима, необходимо соблюдение упоминавшегося выше условия: d<< l . Главный максимум, соответствующий m = 0, проходит через точку 0. Вверх и вниз от него на равных расстояниях друг от друга располагаются максимумы (минимумы) первого (m =1), второго (m = 2) порядков и т.д.
Такая картина справедлива при освещении экрана монохроматическим светом (l 0 = const). При освещении белым светом интерференционные максимумы (и минимумы) для каждой длины волны будут, согласно формуле (9), смещены друг относительно друга и иметь вид радужных полос. Только для m = 0 максимумы для всех длин волн совпадают, и в середине экрана будет наблюдаться светлая полоса, по обе стороны от которой симметрично расположатся спектрально окрашенные полосы максимумов первого, второго порядков и т д. (ближе к центральной светлой полосе будут находиться зоны фиолетового цвета, дальше – зоны красного цвета).
Интенсивность интерференционных полос не остается постоянной, а изменяется вдоль экрана по закону квадрата косинуса.
Наблюдать интерференционную картину можно с помощью зеркала Френеля, зеркала Лойда, бипризмы Френеля и других оптических устройств, а также при отражении света от тонких прозрачных пленок.
14.ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА ПРИ ОТРАЖЕНИИ ОТ ТОНКИХ ПЛАСТИНОК. ПОЛОСЫ РАВНОЙ ТОЛЩИНЫ И РАВНОГО НАКЛОНА. Большой практический интерес представляет интерференция в тонких пластинках и пленках.
Пусть на тонкую плоскопараллельную пластину толщиной b, изготовленную из прозрачного вещества с показателем преломления n, из воздуха (n возд » 1) падает плоская световая волна, которую можно рассматривать как параллельный пучок лучей (рис.4), под углом Q 1 к перпендикуляру.
На поверхности пластины в точке А луч разделится на два параллельных луча света, из которых один образуется за счет отражения от верхней поверхности пластинки, а второй – от нижней поверхности. Разность хода, приобретаемая лучами 1 и 2 до того, как они сойдутся в точке С, равна
D = nS 2 – S 1 ± l 0 /2
где S 1 - длина отрезка АВ, а S 2 – суммарная длина отрезков АО и ОС, а член ± l 0 /2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела двух сред с различными показателями преломления.
Из геометрического рассмотрения получается формула для оптической разности хода дучей1и2:
D = 2bÖ(n 2 – sin 2 Q 1) = 2bn соsQ 2 ,
а с учетом потери полуволны для оптической разности хода получим
D = 2bÖ(n 2 – sin 2 Q 1) ± l 0 /2 = 2bn соsQ 2 ± l 0 /2. (10)
Вследствие ограничений, накладываемых временной и пространственной когерентностью, интерференция при освещении пластинки например солнечным светом наблюдается только в том случае, если толщина пластинки не превышает нескольких сотых миллиметра. При освещении светом с большей степенью когерентности (например, лазером) интерференция, наблюдается и при отражении от более толстых пластинок или пленок.
Практически интерференцию от плоскопараллельной пластинки наблюдают, поставив на пути отраженных пучков линзу, которая собирает лучи в одной из точек экрана, расположенного в фокальной плоскости линзы (рис.5). Освещенность в произвольной точке Р экрана зависит от значения величины D, определенной по формуле (10). При D = mlо получаются максимумы, при D = (m + 1/2)lо - минимумы интенсивности (m - целое число).
Пусть тонкая плоскопараллельная пластинка освещается рассеянным монохроматическим светом (рис.5). Расположим параллельно пластинке линзу, в фокальной плоскости которой поместим экран. В рассеянном свете имеются лучи самых разнообразных направлений. Лучи, параллельные плоскости рисунка и падающие на пластинку под углом в), после отражения от обеих поверхностей пластинки соберутся линзой в точке Р и создадут в этой точке освещенность, определяемую значением оптической разности хода.
Лучи, идущие в других плоскостях, но падающие на пластинку под тем же углом Q 1 ¢ соберутся линзой в других точках, отстоящих от центра экрана О на такое же расстояние, как и точка Р. Освещенность во всех этих точках будет одинакова. Т.о. лучи, падающие на пластинку под одинаковым углом Q 1 ¢, создадут на экране совокупность одинаково освещенных точек, расположенных по окружности с центром в точке О. Аналогично, лучи, падающие под другим углом Q" 1 создадут на экране совокупность одинаково (но иначе, поскольку А иная) освещенных точек, расположенных по окружности другого радиуса.
В результате на экране возникнет система чередующихся светлых и темных круговых полос с общим центром в точке O ). Каждая полоса образована лучами, падающими на пластинку под одинаковым углом Q 1 . Поэтому получающиеся в описанных условиях интерференционные полосы носят назв. полос равного наклона. При ином расположении линзы относительно пластинки (экран во всех случаях должен совпадать с фокальной плоскостью линзы) форма полос равного наклона будет другой. Роль линзы может играть хрусталик глаза, а экрана - сетчатка глаза.
Согласно (10) положение максимумов зависит от lо. Поэтому в белом свете получается совокупность смещенных др. относительно др. полос, образованных лучами разных цветов, и интерференционная картина приобретает радужную окраску.
Интерференционная картина от тонкого прозрачного клина переменной толщины была изучена еще Ньютоном. Пусть на такой клин (рис.6) падает параллельный пучок лучей.
Рис.6.
Теперь лучи, отразившиеся от разных поверхностей клина, не будут параллельными. Но и в этом случае отраженные волны будут когерентными во всем пространстве над клином , и при любом расстоянии экрана от клина на нем наблюдаться интерференционная картина в виде полос, параллельных вершине клина 0. Каждая из таких полос возникает в результате отражения от участков клина с одинаковой толщиной, вследствие чего их называют полосами равной толщины. Практически полосы равной толщины наблюдают, поместив вблизи клина линзу и за ней экран. Роль линзы может играть хрусталик, а роль экрана - сетчатка глаза. При наблюдении в белом свете полосы будут окрашенными, так что поверхность пластинки или пленки представляется имеющей радужную окраску. Такую окраску имеют, например, расплывшиеся по поверхности воды тонкие пленки нефти и масла, а также мыльные пленки. Заметим, что интерференция от тонких пленок может наблюдаться не только в отраженном, но и в проходящем свете.
Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона, Они наблюдаются при отражении света от соприкасающихся др. с др. плоскопараллельной толстой стеклянной пластинки и плоско-выпуклой линзы с большим радиусом кривизны (рис.7).
Роль тонкой пленки, от поверхности которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между пластинкой и линзой (вследствие большой толщины пластинки и линзы за счет отражений от других поверхностей интерференционные полосы не возникают). При нормальном падении света полосы равной толщины имеют вид концентрических окружностей, при наклонном падении - эллипсов. Найдем радиусы колец Ньютона, получающиеся при нормальном падении света на пластину. В этом случае sinQ 1 = О и D равна удвоенной толщине зазора (предполагается n 0 = 1). Из рис. 7 следует, что
R 2 = (R – b) 2 + r 2 » R 2 – 2Rb + r 2 , (12)
где R - радиус кривизны линзы, r - радиус окружности, всем точкам которой соответствует одинаковый зазор b. Считаем b 2 < 2Rb. Из (12) b = г 2 /2R. Чтобы учесть возникающее при отражении от пластинки изменение фазы на p, нужно к D = 2b = r 2 /R прибавить lо/2. В результате получится
D = r 2 /R + lо/2. (13)
В точках, для которых D = m"lо = 2m"(lо/2), возникают максимумы, в точках, для которых D = (m" + 1/2)lо = (2m"+ 1)(lо/2), - минимумы интенсивности.
Оба условия можно объединить в одно: D = mlо/2, причем четным значениям m будут соответствовать максимумы, а нечетным -минимумы интенсивности. Подставив сюда (13) и разрешив получившееся уравнение относительно r, найдем радиусы светлых и темных колец Ньютона:
r m = ÖRlо(m- 1)/2,(m =1,2,3,...). (14)
Четным m соответствуют радиусы светлых колец, нечетным m - радиусы темных колей. Значению m =1 соответствует г = 0, в этой точке наблюдается минимум интенсивности, обусловленный изменением фазы на p при отражении световой волны от пластинки.
Измеряя расстояния между полосами интерференционной картины для тонких пластин или радиусы колец Ньютона, можно определить длины волн световых лучей и, наоборот, по известной l найти радиус кривизны линзы.
Интерференцию можно наблюдать и в проходящем свете, причем в данном случае не наблюдается потери полуволны. Следовательно, оптическая разность хода для проходящего и отраженного света отличается на l 0 /2, т.е. максимумам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы в проходящем, и наоборот.
Другим практическим применением интерференции являются прецизионные измерения линейных размеров. Для этого служат приборы, называемые интерферометрами.
Интерферометры также позволяют определять незначительные изменения показателя преломления прозрачных тел (газов, жидкостей и твердых тел) в зависимости от давления, температуры, примесей и т.п.
Определение 1
Когерентность волн является необходимым условием наблюдения интерференции волн. Когерентность определяют как согласованность протекания во времени и пространстве нескольких колебаний или волновых процессов. Иногда используют понятие степени когерентности волн (степени согласованности). Когерентность подразделяют на временную и пространственную .
Временная когерентность
Этот тип когерентности характеризуют временем и длинной когерентности. Временную когерентность рассматривают тогда, когда точечный, но немонохромный. Так, например, полосы интерференции в интерферометре Майкельсона размываются с увеличением оптической разности хода волн вплоть до исчезновения. Причина этого связана с конечным временем и длиной когерентности источника света.
При рассмотрении вопроса о когерентности возможны два подхода: «фазовый» и «частотный» . Пусть частоты в формулах, которые описывают колебания в одной точке пространства, возбуждаемые двумя накладывающийся волнами:
равны между собой (${\omega }_1={\omega }_2$) и постоянны. Это фазовый подход. Интенсивность света в исследуемой точке пространства при этом определит выражение:
где $\delta \left(t\right)=\alpha_2\left(t\right)-\alpha_1\left(t\right).\ $Выражение $2\sqrt{I_1I_2}cos\delta \left(t\right)$ называют интерференционным членом . Любой прибор, который регистрирует интерференционную картину, имеет время инерции. Обозначим это время срабатывания прибора через $t_i$. Если за время $t_i$ $cos\delta \left(t\right)$ принимает значения равные от $-1$ до $+1$, то $\left\langle 2\sqrt{I_1I_2}cos\delta \left(t\right)\right\rangle =0$. При этом суммарная интенсивность в исследуемой точке будет равна:
при этом волны следует считать некогерентными. В том случае, если за время $t_i$ величина $cos\delta \left(t\right)$ почти не изменяется, то интерференцию можно обнаружить и волны следует считать когерентными. Это значит, что понятие когерентности относительно. Если инерционность прибора мала, то он может обнаружить интерференцию, тогда как прибор с большим временем инерции при тех же условиях интерференционную картину «не увидит».
Время когерентности ($t{kog}$) определяется как время, в течение которого случайное изменение фазы волны ($\alpha (t)$) примерно равно $\pi .$ За это время ($t{kog}$) колебание становится некогерентным себе. Если выполняется условие:
то прибор интерференции не фиксирует. При $t_i\ll t_{kog}$ интерференционная картина является четкой.
Расстояние, определяемое как:
называют длиной когерентности (длиной цуга ). Длиной когерентности называют такое расстояние, при перемещении по которому случайное изменение фазы примерно равно $\pi .$ При делении естественной световой волны на две части, с целью получения интерференционной картины требуется, чтобы оптическая разность хода ($\triangle $) была меньше, чем $l_{kog}.$
Время когерентности связано с интервалом частот ($\triangle \nu $) или длинами волн, которые представлены в волне света:
Соответственно:
В том случае, если разность оптического хода волн достигла значений около${\ l}_{kog},$ интерференционные полосы не различаются. Предельный порядок интерференции ($m_{pred}$) определим как:
Временная когерентность связывается с разбросом величин модуля волнового числа ($\overrightarrow{k}$).
Пространственная когерентность
В том случае, если источник света характеризуется как монохроматический, но протяженный, то говорят о пространственной когерентности. Пространственная когерентность характеризуется шириной, радиусом и углом когерентности.
Этот тип когерентности связан с вариативностью направлений $\overrightarrow{k}$. Направления вектора $\overrightarrow{k}$ характеризуют с помощью единичного вектора $\overrightarrow{e_k}$.
Расстояние ${\rho }_{kog}$ называют длинной пространственной когерентности (радиусом когерентности), его можно определить как:
где $\varphi $ -- угловой размер источника световых волн.
Замечание
Пространственная когерентность волны света около нагретого тела излучения всего несколько длин волн. С увеличением расстояния от источника света степень пространственной когерентности увеличивается.
Формула, с помощью которой устанавливаются угловые размеры протяженного источника, при которых интерференция возможна, имеет вид:
не являются когерентными.
Пример 1
Задание: Каков радиус когерентности световых волн, которые приходят от Солнца, если считать, что угловой размер данного источника равен $0,01 рад$. Длина волн света около $500 нм$.
Решение:
Для оценки радиуса когерентности применим формулу:
\[{\rho }_{kog}\sim \frac{\lambda }{\varphi }\left(1.1\right).\]
Проведем вычисления:
\[{\rho }_{kog}\sim \frac{500\cdot {10}^{-9}}{0,01}=5\cdot {10}^{-5}\left(м\right).\]
При данном радиусе когерентности невозможно наблюдать интерференцию солнечных лучей без специальных ухищрений. Это не позволяет сделать разрешающая способность глаза человека.
Ответ: ${\rho }_{kog}\sim 50\ мкм$.
Пример 2
Задание: Объясните, почему некогерентны волны, которые испускаются двумя несвязанными источниками света.
Решение:
Некогерентность естественных источников света можно понять, исследуя механизм возникновения излучения света атомами. В двух независимых источниках света атомы испускают волны независимо друг от друга. Каждый атом излучает конечное время примерно около ${10}^{-8}секунд$. За такой период времени возбужденный атом переходит в нормальное состояние, излучение им волны заканчивается. Возбужденный атом испускает свет уже с иной начальной фазой. При этом разности фаз излучений двух подобных атомов является переменной. Значит волны, которые спонтанно испускают атомы источника света, не когерентны. Только в интервале времени, примерно равном ${10}^{-8}с$ волны, которые излучают атомы, имеют почти неизменные амплитуды и фазы. Такая модель излучения справедлива для любого источника света, который имеет конечные размеры.
