Как решить уравнение где х в степени. Показательные уравнения

На данном уроке мы рассмотрим решение более сложных показательных уравнений, вспомним основные теоретические положения касательно показательной функции.

1. Определение и свойства показательной функции, методика решения простейших показательных уравнений

Напомним определение и основные свойства показательной функции. Именно на свойствах базируется решение всех показательных уравнений и неравенств.

Показательная функция - это функция вида , где основание степени и Здесь х - независимая переменная, аргумент; у - зависимая переменная, функция.

Рис. 1. График показательной функции

На графике показаны возрастающая и убывающая экспоненты, иллюстрирующие показательную функцию при основании большем единицы и меньшем единицы, но большим нуля соответственно.

Обе кривые проходят через точку (0;1)

Свойства показательной функции :

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна, при возрастает, при убывает.

Монотонная функция принимает каждое свое значение при единственном значении аргумента.

При когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция возрастает от нуля не включительно до плюс бесконечности. При наоборот, когда аргумент возрастает от минус до плюс бесконечности, функция убывает от бесконечности до нуля не включительно.

2. Решение типовых показательных уравнений

Напомним, как решать простейшие показательные уравнения. Их решение основано на монотонности показательной функции. К таким уравнениям сводятся практически все сложные показательные уравнения.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью.

Методика решения:

Уравнять основания степеней;

Приравнять показатели степеней.

Перейдем к рассмотрению более сложных показательных уравнений, наша цель - свести каждое из них к простейшему.

Освободимся от корня в левой части и приведем степени к одинаковому основанию:

Для того чтобы свести сложное показательное уравнение к простейшим, часто используется замена переменных.

Воспользуемся свойством степени:

Вводим замену. Пусть , тогда

Умножим полученное уравнение на два и перенесем все слагаемые в левую часть:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его. Получаем:

Приведем степени к одинаковому показателю:

Вводим замену:

Пусть , тогда . При такой замене очевидно, что у принимает строго положительные значения. Получаем:

Решать подобные квадратные уравнения мы умеем, выпишем ответ:

Чтобы удостовериться в правильности нахождения корней, можно выполнить проверку по теореме Виета, т. е. найти сумму корней и их произведение и сверить с соответствующими коэффициентами уравнения.

Получаем:

3. Методика решения однородных показательных уравнений второй степени

Изучим следующий важный тип показательных уравнений:

Уравнения такого типа называют однородными второй степени относительно функций f и g. В левой его части стоит квадратный трехчлен относительно f с параметром g или квадратный трехчлен относительно g с параметром f.

Методика решения:

Данное уравнение можно решать как квадратное, но легче поступить по-другому. Следует рассмотреть два случая:

В первом случае получаем

Во втором случае имеем право разделить на старшую степень и получаем:

Следует ввести замену переменных , получим квадратное уравнение относительно у:

Обратим внимание, что функции f и g могут быть любыми, но нас интересует тот случай, когда это показательные функции.

4. Примеры решения однородных уравнений

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда :

Получаем:

Вводим замену: (согласно свойствам показательной функции)

Получили квадратное уравнение:

Определяем корни по теореме Виета:

Первый корень не удовлетворяет промежутку значений у, отбрасываем его, получаем:

Воспользуемся свойствами степени и приведем все степени к простым основаниям:

Несложно заметить функции f и g:

Поскольку показательные функции приобретают строго положительные значения, имеем право сразу делить уравнение на , не рассматривая случай, когда .

На этапе подготовки к заключительному тестированию учащимся старших классов необходимо подтянуть знания по теме «Показательные уравнения». Опыт прошлых лет свидетельствует о том, что подобные задания вызывают у школьников определенные затруднения. Поэтому старшеклассникам, независимо от уровня их подготовки, необходимо тщательно усвоить теорию, запомнить формулы и понять принцип решения таких уравнений. Научившись справляться с данным видом задач, выпускники смогут рассчитывать на высокие баллы при сдаче ЕГЭ по математике.

Готовьтесь к экзаменационному тестированию вместе со «Школково»!

При повторении пройденных материалов многие учащиеся сталкиваются с проблемой поиска нужных для решения уравнений формул. Школьный учебник не всегда находится под рукой, а отбор необходимой информации по теме в Интернете занимает долгое время.

Образовательный портал «Школково» предлагает ученикам воспользоваться нашей базой знаний. Мы реализуем совершенно новый метод подготовки к итоговому тестированию. Занимаясь на нашем сайте, вы сможете выявить пробелы в знаниях и уделить внимание именно тем заданиям, которые вызывают наибольшие затруднения.

Преподаватели «Школково» собрали, систематизировали и изложили весь необходимый для успешной сдачи ЕГЭ материал в максимально простой и доступной форме.

Основные определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для лучшего усвоения материала рекомендуем попрактиковаться в выполнении заданий. Внимательно просмотрите представленные на данной странице примеры показательных уравнений с решением, чтобы понять алгоритм вычисления. После этого приступайте к выполнению задач в разделе «Каталоги». Вы можете начать с самых легких заданий или сразу перейти к решению сложных показательных уравнений с несколькими неизвестными или . База упражнений на нашем сайте постоянно дополняется и обновляется.

Те примеры с показателями, которые вызвали у вас затруднения, можно добавить в «Избранное». Так вы можете быстро найти их и обсудить решение с преподавателем.

Чтобы успешно сдать ЕГЭ, занимайтесь на портале «Школково» каждый день!

Показательными называются уравнения, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: а х = а b , где а> 0, а 1, х - неизвестное.

Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные уравнения: а>0, b>0.

При решении показательных уравнений пользуются также следующими свойствами показательной функции: y = a x , a > 0, a1:

Для представления числа в виде степени используют основное логарифмическое тождество: b = , a > 0, a1, b > 0.

Задачи и тесты по теме "Показательные уравнения"

Показательные уравнения
Уроков: 4 Заданий: 21 Тестов: 1
Показательные уравнения - Важные темы для повторения ЕГЭ по математике
Заданий: 14
Системы показательных и логарифмических уравнений - Показательная и логарифмическая функции 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 15 Тестов: 1
§2.1. Решение показательных уравнений
Уроков: 1 Заданий: 27
§7 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства - Раздел 5. Показательная и логарифмическая функции 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 17

Для успешного решения показательных уравнений Вы должны знать основные свойства степеней, свойства показательной функции, основное логарифмическое тождество.

При решении показательных уравнений используют два основных метода:

переход от уравнения a f(x) = a g(x) к уравнению f(x) = g(x);
введение новых прямых.

Примеры.

1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. Решаются приведением обеих частей уравнения к степени с одинаковым основанием.

3 x = 9 x – 2 .

Решение:

3 x = (3 2) x – 2 ;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Ответ: 4.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения за скобки общего множителя.

Решение:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Ответ: 3.

3. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.

Решение:

2 2x + 2 x – 12 = 0
Обозначаем 2 x = у.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = - 4; y 2 = 3.
a) 2 x = - 4.Уравнение не имеет решений, т.к. 2 х > 0.
б) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Ответ: log 2 3.

4. Уравнения, содержащие степени с двумя различными (не сводящимися друг к другу) основаниями.

3 × 2 х + 1 - 2 × 5 х – 2 = 5 х + 2 х – 2 .

3× 2 х + 1 – 2 х – 2 = 5 х – 2 × 5 х – 2
2 х – 2 ×23 = 5 х – 2
×23
2 х – 2 = 5 х – 2
(5/2) х– 2 = 1
х – 2 = 0
х = 2.

Ответ: 2.

5. Уравнения, однородные относительно a x и b x .

Общий вид: .

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x .

Решение:

3 2x – 2,5 × 2 x × 3 x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Обозначим (3/2) x = y.
y 2 – 2,5y + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

Ответ: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Примеры:

\(4^x=32\)
\(5^{2x-1}-5^{2x-3}=4,8\)
\((\sqrt{7})^{2x+2}-50\cdot(\sqrt{7})^{x}+7=0\)

Как решать показательные уравнения

При решении любое показательное уравнение мы стремимся привести к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\), а затем сделать переход к равенству показателей, то есть:

\(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Например: \(2^{x+1}=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Важно! Из той же логики следуют два требования для такого перехода:
- число в слева и справа должно быть одинаковым;
- степени слева и справа должны быть «чистыми» , то есть не должно быть никаких , умножений, делений и т.д.

Например:

Для привидения уравнения к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) применяются и .

Пример . Решить показательное уравнение \(\sqrt{27}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)
Решение:

\(\sqrt{27}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)

Мы знаем, что \(27 = 3^3\). С учетом этого преобразуем уравнение.

\(\sqrt{3^3}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)

По свойству корня \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\) получим, что \(\sqrt{3^3}=({3^3})^{\frac{1}{2}}\). Далее, используя свойство степени \((a^b)^c=a^{bc}\), получаем \({(3^3)}^{\frac{1}{2}}=3^{3 \cdot \frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}\).

\(3^{\frac{3}{2}}\cdot 3^{x-1}=(\frac{1}{3})^{2x}\)

Также мы знаем, что \(a^b·a^c=a^{b+c}\). Применив это к левой части, получим: \(3^{\frac{3}{2}}·3^{x-1}=3^{\frac{3}{2}+ x-1}=3^{1,5 + x-1}=3^{x+0,5}\).

\(3^{x+0,5}=(\frac{1}{3})^{2x}\)

Теперь вспомним, что: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Эту формулу можно использовать и в обратную сторону: \(\frac{1}{a^n} =a^{-n}\). Тогда \(\frac{1}{3}=\frac{1}{3^1} =3^{-1}\).

\(3^{x+0,5}=(3^{-1})^{2x}\)

Применив свойство \((a^b)^c=a^{bc}\) к правой части, получим: \((3^{-1})^{2x}=3^{(-1)·2x}=3^{-2x}\).

\(3^{x+0,5}=3^{-2x}\)

И вот теперь у нас основания равны и нет никаких мешающих коэффициентов и т.д. Значит, можем делать переход.

Пример . Решить показательное уравнение \(4^{x+0,5}-5·2^x+2=0\)
Решение:

\(4^{x+0,5}-5·2^x+2=0\)		Вновь пользуемся свойством степени \(a^b \cdot a^c=a^{b+c}\) в обратном направлении.
\(4^x·4^{0,5}-5·2^x+2=0\)		Теперь вспоминаем, что \(4=2^2\).
\((2^2)^x·(2^2)^{0,5}-5·2^x+2=0\)		Используя свойства степени, преобразовываем: \((2^2)^x=2^{2x}=2^{x·2}=(2^x)^2\) \((2^2)^{0,5}=2^{2·0,5}=2^1=2.\)
\(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\)		Смотрим внимательно на уравнение, и видим, что тут напрашивается замена \(t=2^x\).

\(t_1=2\) \(t_2=\frac{1}{2}\)		Однако мы нашли значения \(t\), а нам нужны \(x\). Возвращаемся к иксам, делая обратную замену.
\(2^x=2\) \(2^x=\frac{1}{2}\)		Преобразовываем второе уравнение, используя свойство отрицательной степени…
\(2^x=2^1\) \(2^x=2^{-1}\)		…и дорешиваем до ответа.
\(x_1=1\) \(x_2=-1\)

Ответ : \(-1; 1\).

Остается вопрос - как понять, когда какой метод применять? Это приходит с опытом. А пока вы его не наработали, пользуйтесь общей рекомендацией для решения сложных задач – «не знаешь, что делать – делай, что можешь». То есть, ищите как вы можете преобразовать уравнение в принципе, и пробуйте это делать – вдруг чего и выйдет? Главное при этом делать только математически обоснованные преобразования.

Показательные уравнения, не имеющие решений

Разберем еще две ситуации, которые часто ставят в тупик учеников:
- положительное число в степени равно нулю, например, \(2^x=0\);
- положительное число в степени равно отрицательному числу, например, \(2^x=-4\).

Давайте попробуем решить перебором. Если икс - положительное число, то с ростом икса вся степень \(2^x\) будет только расти:

\(x=1\); \(2^1=2\)
\(x=2\); \(2^2=4\)
\(x=3\); \(2^3=8\).

\(x=0\); \(2^0=1\)

Тоже мимо. Остаются отрицательные иксы. Вспомнив свойство \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), проверяем:

\(x=-1\); \(2^{-1}=\frac{1}{2^1} =\frac{1}{2}\)
\(x=-2\); \(2^{-2}=\frac{1}{2^2} =\frac{1}{4}\)
\(x=-3\); \(2^{-3}=\frac{1}{2^3} =\frac{1}{8}\)

Несмотря на то, что число с каждым шагом становится меньше, до нуля оно не дойдет никогда. Так что и отрицательная степень нас не спасла. Приходим к логичному выводу:

Положительное число в любой степени останется положительным числом.

Таким образом, оба уравнения выше не имеют решений.

Показательные уравнения с разными основаниями

В практике порой встречаются показательные уравнения с разными основаниями, не сводимыми к друг к другу, и при этом с одинаковыми показателями степени. Выглядят они так: \(a^{f(x)}=b^{f(x)}\), где \(a\) и \(b\) – положительные числа.

Например:

\(7^{x}=11^{x}\)
\(5^{x+2}=3^{x+2}\)
\(15^{2x-1}=(\frac{1}{7})^{2x-1}\)

Такие уравнения легко можно решить делением на любую из частей уравнения (обычно делят на правую часть, то есть на \(b^{f(x)}\). Так делить можно, потому что положительное число в любой степени положительно (то есть, мы не делим на ноль). Получаем:

\(\frac{a^{f(x)}}{b^{f(x)}}\) \(=1\)

Пример . Решить показательное уравнение \(5^{x+7}=3^{x+7}\)
Решение:

\(5^{x+7}=3^{x+7}\)		Здесь у нас не получиться ни пятерку превратить в тройку, ни наоборот (по крайней мере, без использования ). А значит мы не можем прийти к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\). При этом показатели одинаковы. Давайте поделим уравнение на правую часть, то есть на \(3^{x+7}\) (мы можем это делать, так как знаем, что тройка ни в какой степени не будет нулем).
\(\frac{5^{x+7}}{3^{x+7}}\) \(=\)\(\frac{3^{x+7}}{3^{x+7}}\)		Теперь вспоминаем свойство \((\frac{a}{b})^c=\frac{a^c}{b^c}\) и используем его слева в обратном направлении. Справа же просто сокращаем дробь.
\((\frac{5}{3})^{x+7}\) \(=1\)		Казалось бы, лучше не стало. Но вспомните еще одно свойство степени: \(a^0=1\), иначе говоря: «любое число в нулевой степени равно \(1\)». Верно и обратное: «единица может быть представлена как любое число в нулевой степени». Используем это, делая основание справа таким же как слева.
\((\frac{5}{3})^{x+7}\) \(=\) \((\frac{5}{3})^0\)		Вуаля! Избавляемся от оснований.
		Пишем ответ.

Ответ : \(-7\).

Иногда «одинаковость» показателей степени не очевидна, но умелое использование свойств степени решает этот вопрос.

Пример . Решить показательное уравнение \(7^{ 2x-4}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)
Решение:

\(7^{ 2x-4}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)		Уравнение выглядит совсем печально… Мало того, что основания нельзя свести к одинаковому числу (семерка ни в какой степени не будет равна \(\frac{1}{3}\)), так еще и показатели разные… Однако давайте в показателе левой степени двойку.
\(7^{ 2(x-2)}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)		Помня свойство \((a^b)^c=a^{b·c}\) , преобразовываем слева: \(7^{2(x-2)}=7^{2·(x-2)}=(7^2)^{x-2}=49^{x-2}\).
\(49^{x-2}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)		Теперь, вспоминая свойство отрицательной степени \(a^{-n}=\frac{1}{a}^n\), преобразовываем справа: \((\frac{1}{3})^{-x+2}=(3^{-1})^{-x+2}=3^{-1(-x+2)}=3^{x-2}\)
\(49^{x-2}=3^{x-2}\)		Аллилуйя! Показатели стали одинаковы! Действуя по уже знакомой нам схеме, решаем до ответа.

Ответ : \(2\).

Показательные уравнения. Как известно — в состав ЕГЭ входят простые уравнения. Некоторые мы уже рассмотрели – это логарифмические, тригонометрические, рациональные. Здесь представлены показательные уравнения.

В недавней статье мы поработали с показательными выражениями, будет полезно. Сами уравнения решаются просто и быстро. Требуется лишь знать свойства показателей степени и... Об этом далее.

Перечислим свойства показателей степени:

Нулевая степень любого числа равна единице.

Следствие из данного свойства:

Ещё немного теории.

Показательным уравнением называется уравнение содержащее переменную в показателе, то есть это уравнение вида:

f (x ) выражение, которое содержит переменную

Методы решения показательных уравнений

1. В результате преобразований уравнение можно привести к виду:

Тогда применяем свойство:

2. При получении уравнения вида a f ( x ) = b используется определение логарифма, получим:

3. В результате преобразований можно получить уравнение вида:

Применяется логарифмирование:

Выражаем и находим х.

В задачах вариантов ЕГЭ достаточно будет использовать первый способ.

То есть, необходимо представить левую и правую части в виде степеней с одинаковым основанием, а далее приравниваем показатели и решаем обычное линейное уравнение.

Рассмотрим уравнения:

Найдите корень уравнения 4 1–2х = 64.

Необходимо сделать так, чтобы в левой и правой частях были показательные выражения с одним основанием. 64 мы можем представить как 4 в степени 3. Получим:

4 1–2х = 4 3

1 – 2х = 3

– 2х = 2

х = – 1

Проверка:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Ответ: –1

Найдите корень уравнения 3 х–18 = 1/9.

Известно, что

Значит 3 х-18 = 3 -2

Основания равны, можем приравнять показатели:

х – 18 = – 2

х = 16

Проверка:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Ответ: 16

Найдите корень уравнения:

Представим дробь 1/64 как одну четвёртую в третьей степени:

2х – 19 = 3

2х = 22

х = 11

Проверка:

Ответ: 11

Найдите корень уравнения:

Представим 1/3 как 3 –1 , а 9 как 3 в квадрате, получим:

(3 –1) 8–2х = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 –8+2х = 3 2

Теперь можем приравнять показатели:

– 8+2х = 2

2х = 10

х = 5

Проверка:

Ответ: 5

26654. Найдите корень уравнения:

Решение:

Ответ: 8,75

Действительно, в какую бы степень мы не возвели положительное число a, мы никак не можем получить число отрицательное.

Любое показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к решению одного или нескольких простейших. В данной рубрике мы ещё рассмотрим решение некоторых уравнений, не пропустите! На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.