Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Онлайн калькулятор

НОД - это наибольший общий делитель.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел необходимо:

определить множители, общие для обоих чисел;
найти произведение общих множителей.

Пример нахождения НОД:

Найдем НОД чисел 315 и 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Выпишем множители, общие для обоих чисел:

3. Найдем произведение общих множителей:

НОД(315; 245) = 5 * 7 = 35.

Ответ: НОД(315; 245) = 35.

Нахождение НОК

НОК - это наименьшее общее кратное.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел необходимо:

разложить числа на простые множители;
выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
допишем к ним недостающие множители из разложения второго числа;
найти произведение получившихся множителей.

Пример нахождения НОК:

Найдем НОК чисел 236 и 328:

1. Разложим числа на простые множители:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Выпишем множители, входящие в разложение одного из чисел и допишем к ним недостающие множители из разложения второго числа:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Найдем произведение получившихся множителей:

НОК(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Ответ: НОК(236; 328) = 19352.

Для нахождения НОД (наибольшего общего делителя) двух чисел необходимо:

2. Найти (подчеркнуть) все общие простые множители в полученных разложениях.

3. Найти произведение общих простых множителей.

Для нахождения НОК (наименьшего общего кратного) двух чисел необходимо:

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Разложение одного из них дополнить теми множителями разложения другого числа, которых нет в разложении первого.

3. Вычислить произведение полученных множителей.

Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a 1 , a 2 , …, a k равен числу d k , которое находится при последовательном вычислении НОД(a 1 , a 2)=d 2 , НОД(d 2 , a 3)=d 3 , НОД(d 3 , a 4)=d 4 , …,НОД(d k-1 , a k)=d k .

Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.

Пример.

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

Решение.

В этом примере a 1 =78 , a 2 =294 , a 3 =570 , a 4 =36 .

Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d 2 двух первых чисел 78 и 294 . При делении получаем равенства 294=78·3+60 ; 78=60·1+18 ;60=18·3+6 и 18=6·3 . Таким образом, d 2 =НОД(78, 294)=6 .

Теперь вычислим d 3 =НОД(d 2 , a 3)=НОД(6, 570) . Опять применим алгоритм Евклида:570=6·95 , следовательно, d 3 =НОД(6, 570)=6 .

Осталось вычислить d 4 =НОД(d 3 , a 4)=НОД(6, 36) . Так как 36 делится на 6 , тоd 4 =НОД(6, 36)=6 .

Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d 4 =6 , то есть,НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Ответ:

НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.

Пример.

Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.

Решение.

Разложим числа 78 , 294 , 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13 ,294=2·3·7·7 , 570=2·3·5·19 , 36=2·2·3·3 . Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3 . Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6 .

Ответ:

НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

К началу страницы

Нахождение НОД отрицательных чисел

Если одно, несколько или все числа, наибольший делитель которых нужно найти, являются отрицательными числами, то их НОД равен наибольшему общему делителю модулей этих чисел. Это связано с тем, что противоположные числа a и −a имеют одинаковые делители, о чем мы говорили при изучении свойств делимости.

Пример.

Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140 .

Решение.

Модуль числа −231 равен 231 , а модуль числа −140 равен 140 , иНОД(−231, −140)=НОД(231, 140) . Алгоритм Евклида дает нам следующие равенства:231=140·1+91 ; 140=91·1+49 ; 91=49·1+42 ; 49=42·1+7 и 42=7·6 . Следовательно,НОД(231, 140)=7 . Тогда искомый наибольший общий делитель отрицательных чисел−231 и −140 равен 7 .

Ответ:

НОД(−231, −140)=7 .

Пример.

Определите НОД трех чисел −585 , 81 и −189 .

Решение.

При нахождении наибольшего общего делителя отрицательные числа можно заменить их абсолютными величинами, то есть, НОД(−585, 81, −189)=НОД(585, 81, 189) . Разложения чисел 585 , 81 и 189 на простые множители имеют соответственно вид585=3·3·5·13 , 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7 . Общими простыми множителями этих трех чисел являются 3 и 3 . Тогда НОД(585, 81, 189)=3·3=9 , следовательно,НОД(−585, 81, −189)=9 .

Ответ:

НОД(−585, 81, −189)=9 .

35. Корені многочлена. Теорема Безу. (33 и выше)

36. Кратні корені, критерій кратності кореня.

Наименьшее общее кратное двух чисел непосредственно связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Эта связь между НОД и НОК определяется следующей теоремой.

Теорема.

Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b , деленному на наибольший общий делитель чисел a и b , то есть, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) .

Доказательство.

Пусть М – какое-нибудь кратное чисел a и b . То есть, М делится на a , и по определению делимости существует некоторое целое число k такое, что справедливо равенство M=a·k . Но М делится и на b , тогда a·k делится на b .

Обозначим НОД(a, b) как d . Тогда можно записать равенства a=a 1 ·d и b=b 1 ·d , причем a 1 =a:d и b 1 =b:d будут взаимно простыми числами . Следовательно, полученное в предыдущем абзаце условие, что a·k делится на b , можно переформулировать так: a 1 ·d·k делится на b 1 ·d , а это в силу свойств делимости эквивалентно условию, что a 1 ·k делится на b 1 .

Также нужно записать два важных следствия из рассмотренной теоремы.

Общие кратные двух чисел совпадают с кратными их наименьшего общего кратного.

Это действительно так, так как любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M=НОК(a, b)·t при некотором целом значении t .

Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обоснование этого факта достаточно очевидно. Так как a и b взаимно простые, то НОД(a, b)=1 , следовательно, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b .

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

Нахождение наименьшего общего кратного трех и большего количества чисел можно свести к последовательному нахождению НОК двух чисел. Как это делается, указано в следующей теореме.a 1 , a 2 , …, a k совпадают с общими кратными чисел m k-1 и a k , следовательно, совпадают с кратными числа m k . А так как наименьшим положительным кратным числа m k является само число m k , то наименьшим общим кратным чисел a 1 , a 2 , …, a k является m k .

Список литературы.

Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
Виноградов И.М. Основы теории чисел.
Михелович Ш.Х. Теория чисел.
Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Одной из задач, вызывающих проблему у современных школьников, привыкших к месту и не к месту использовать калькуляторы, встроенные в гаджеты, является нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух и более чисел.

Невозможно решить никакую математическую задачу, если неизвестно, о чём собственно спрашивают. Для этого нужно знать, что означает то или иное выражение , используемое в математике.

Необходимо знать:

Если некое число можно использовать для подсчёта различных предметов, например, девять столбов, шестнадцать домов, то оно является натуральным. Самым маленьким из них будет единица.
Когда натуральное число делится на другое натуральное число, то говорят, что меньшее число - это делитель большего.
Если два и более различных числа делятся на некое число без остатка, то говорят, что последнее будет их общим делителем (ОД).
Самый большой из ОД именуется наибольшим общим делителем (НОД).
В таком случае, когда у числа есть только два натуральных делителя (оно само и единичка), оно называется простым. Самое маленькое среди них — двойка, к тому же она и единственное чётное в их ряду.
В случае если у двух чисел максимальным общим делителем является единица, то они будут взаимно простыми.
Число, у которого больше чем два делителя, именуется составным.
Процесс когда находятся все простые множители, которые при умножении между собой дадут в произведении начальное значение в математике называют разложением на простые множители. Причём одинаковые множители в разложении могут встречаться неоднократно.

В математике приняты следующие записи:

Делители Д (45) = (1;3;5;9;45).
ОД (8;18) = (1;2).
НОД (8;18) = 2.

Различные способы найти НОД

Проще всего ответить на вопрос как найти НОД в том случае, когда меньшее число является делителем большего. Оно и будет в подобном случае наибольшим общим делителем.

Например, НОД (15;45) = 15, НОД (48;24) = 24.

Но такие случаи в математике являются весьма редкими, поэтому для того, чтобы находить НОД используются более сложные приёмы, хотя проверять этот вариант перед началом работы все же весьма рекомендуется.

Способ разложения на простые сомножители

Если необходимо найти НОД двух или более различных чисел , достаточно разложить каждое из них на простые сомножители, а затем произвести процесс умножения тех из них, которые имеются в каждом из чисел.

Пример 1

Рассмотрим, как находить НОД 36 и 90:

36 = 1*2*2*3*3;
90 = 1*2*3*3*5;

НОД (36;90) = 1*2*3*3 = 18.

Теперь посмотрим как находить то же самое в случае трёх чисел , возьмём для примера 54; 162; 42.

Как разложить 36 мы уже знаем, разберёмся с остальными:

162 = 1*2*3*3*3*3;
42 = 1*2*3*7;

Таким образом, НОД (36;162;42) = 1*2*3 = 6.

Следует заметить, что единицу в разложении писать совершенно необязательно.

Рассмотрим способ, как просто раскладывать на простые множители , для этого слева запишем необходимую нам цифру, а справа станем писать простые делители.

Разделять колонки можно, как знаком деления, так и простой вертикальной чертой.

36 / 2 продолжим наш процесс деления;
18 / 2 далее;
9 / 3 и ещё раз;
3 / 3 сейчас совсем элементарно;
1 — результат готов.

Искомое 36 = 2*2*3*3.

Евклидов способ

Этот вариант известен человечеству ещё со времён древнегреческой цивилизации, он во многом проще, и приписывается великому математику Евклиду, хотя весьма похожие алгоритмы применялись и ранее. Этот способ заключается в использовании следующего алгоритма , мы делим большее число с остатком на меньшее. Затем наш делитель делим на остаток и продолжаем так действовать по кругу пока не произойдёт деление нацело. Последнее значение и окажется искомым наибольшим общим делителем.

Приведём пример использования данного алгоритма :

попробуем выяснить какой НОД у 816 и 252:

816 / 252 = 3 и остаток 60. Сейчас 252 разделим на 60;
252 / 60 = 4 в остатке на этот раз окажется 12. Продолжим наш круговой процесс, разделим шестьдесят на двенадцать;
60 / 12 = 5. Поскольку на сей раз никакого остатка мы не получили, то у нас готов результат, двенадцать будет искомым для нас значением.

Итак, по завершении нашего процесса мы получили НОД (816;252) = 12.

Действия при необходимости определения НОД если задано более двух значений

Мы уже разобрались, что делать в случае, когда имеется два различных числа, теперь научимся действовать, если их имеется 3 и более .

При всей кажущейся сложности, данная задача проблем у нас уже не вызовет. Сейчас мы выбираем два любые числа и определяем искомое для них значение. Следующим шагом отыскиваем НОД у полученного результата и третьего из заданных значений. Затем снова действуем по уже известному нам принципу для четвёртого пятого и так далее.

Заключение

Итак, при кажущейся большой сложности поставленной перед нами изначально задачи, на самом деле все просто, главное уметь выполнять безошибочно процесс делений и придерживаться любого из двух описанных выше алгоритмов.

Хотя оба способа и являются вполне приемлемыми, в общеобразовательной школе гораздо чаще применяется первый способ . Это связано с тем, что разложение на простые множители понадобится при изучении следующей учебной темы - определение наибольшего общего кратного (НОК). Но все же стоит ещё раз заметить — применение алгоритма Евклида ни в коей мере не может считаться ошибочным.

Видео

С помощью видео вы сможете узнать, как найти наибольший общий делитель.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Решим задачу. У нас есть два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.

Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.

Получаем,

48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.

Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.

Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.

Определение наибольшего общего делителя

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка два числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Иногда для сокращения записи используют аббревиатуру НОД.

Некоторые пары чисел имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. Например, числа 24 и 35. Имеют НОД =1.

Как найти наибольший общий делитель

Для того чтобы найти наибольший общий делитель не обязательно выписывать все делители данных чисел.

Можно поступить иначе. Сначала разложить на простые множители оба числа.

48 = 2*2*2*2*3,
36 = 2*2*3*3.

Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.

48 = 2*2*2*2*3 ,
36 = 2*2*3 *3.

Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

Это правило можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.

Общая схема нахождения наибольшего общего делителя

1. Разложить числа на простые множители.
2. Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.
3. Посчитать произведение оставшихся множителей.