Прямой поперечный изгиб сопромат. Плоский изгиб прямых стержней

Общие понятия.

Деформация изгиба заключается в искривлении оси прямого стержня или в изменении начальной кривизны прямого стержня (рис. 6.1) . Ознакомимся с основными понятиями, которые используются при рассмотрении деформации изгиба.

Стержни, работающие на изгиб, называют балками .

Чистым называется изгиб, при котором изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, возникающем в поперечном сечении балки.

Чаще, в поперечном сечении стержня наряду с изгибающим моментом возникает также и поперечная сила. Такой изгиб называют поперечным.

Плоским (прямым) называют изгиб, когда плоскость действия изгибающего момента в поперечном сечении проходит через одну из главных центральных осей поперечного сечения.

При косом изгибе плоскость действия изгибающего момента пересекает поперечное сечение балки по линии, не совпадающей ни с одной из главных центральных осей поперечного сечения.

Изучение деформации изгиба начнем со случая чистого плоского изгиба.

Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.

Как уже было сказано, при чистом плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних силовых факторов не равен нулю только изгибающий момент (рис. 6.1, в):

; (6.1)

Опыты, поставленные на эластичных моделях, показывают, что если на поверхность модели нанести сетку линий (рис. 6.1, а) , то при чистом изгибе она деформируется следующим образом (рис. 6.1, б) :

а) продольные линии искривляются по длине окружности;

б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;

в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).

Рис. .

Замеряя длину продольных линий (рис. 6.1, б), можно обнаружить, что верхние волокна при деформации изгиба балки удлиняются, а нижние укорачиваются. Очевидно, что можно найти такие волокна, длина которых остается неизменной. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (н. с.) . Нейтральный слой пересекает поперечное сечение балки по прямой, которая называется нейтральной линией (н. л.) сечения .

Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении, рассмотрим участок балки в деформированном и не деформированном состоянии (рис. 6.2).

Рис. .

Двумя бесконечно малыми поперечными сечениями выделим элемент длиной. До деформации сечения, ограничивающие элемент, были параллельны между собой (рис. 6.2, а), а после деформации они несколько наклонились, образуя угол. Длина волокон, лежащих в нейтральном слое, при изгибе не меняется. Обозначим радиус кривизны следа нейтрального слоя на плоскости чертежа буквой. Определим линейную деформацию произвольного волокна, отстоящего на расстоянии от нейтрального слоя.

Длина этого волокна после деформации (длина дуги) равна. Учитывая, что до деформации все волокна имели одинаковую длину, получим, что абсолютное удлинение рассматриваемого волокна

Его относительная деформация

Очевидно, что, так как длина волокна, лежащего в нейтральном слое не изменилась. Тогда после подстановки получим

(6.2)

Следовательно, относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.

Введем предположение, что при изгибе продольные волокна не надавливают друг на друга. При таком предположении каждое волокно деформируется изолировано, испытывая простое растяжение или сжатие, при котором. С учетом (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальные напряжения прямо пропорциональны расстояниям рассматриваемых точек сечения от нейтральной оси.

Подставим зависимость (6.3) в выражение изгибающего момента в поперечном сечении (6.1)

Вспомним, что интеграл представляет собой момент инерции сечения относительно оси

Или

(6.4)

Зависимость (6.4) представляет собой закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя) с действующим в сечении моментом. Произведение носит название жесткости сечения при изгибе, Н· м 2 .

Подставим (6.4) в (6.3)

(6.5)

Это и есть искомая формула для определения нормальных напряжений при чистом изгибе балки в любой точке ее сечения.

Для того, чтобы установить, где в поперечном сечении находится нейтральная линия подставим значение нормальных напряжений в выражение продольной силы и изгибающего момента

Поскольку,

то

(6.6)

(6.7)

Равенство (6.6) указывает, что ось – нейтральная ось сечения – проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Равенство (6.7) показывает что и - главные центральные оси сечения.

Согласно (6.5) наибольшей величины напряжения достигают в волокнах наиболее удаленных от нейтральной линии

Отношение представляет собой осевой момент сопротивления сечения относительно его центральной оси, значит

Значение для простейших поперечных сечений следующее:

Для прямоугольного поперечного сечения

, (6.8)

где - сторона сечения перпендикулярная оси;

Сторона сечения параллельная оси;

Для круглого поперечного сечения

, (6.9)

где - диаметр круглого поперечного сечения.

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно записать в виде

(6.10)

Все полученные формулы получены для случая чистого изгиба прямого стержня. Действие же поперечной силы приводит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют свою силу. Однако практика расчетов показывает, что и при поперечном изгибе балок и рам, когда в сечении кроме изгибающего момента действует еще продольная сила и поперечная сила, можно пользоваться формулами, приведенными для чистого изгиба. Погрешность при этом получается незначительной.

Определение поперечных сил и изгибающих моментов.

Как уже было сказано, при плоском поперечном изгибе в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора и.

Перед определением и определяют реакции опор балки (рис. 6.3, а), составляя уравнения равновесия статики.

Для определения и применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например, на расстоянии от левой опоры. Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части (рис. 6.3, б). Взаимодействие частей балки заменим внутренними усилиями и.

Установим следующие правила знаков для и:

• Поперечная сила в сечении положительна, если ее векторы стремятся вращать рассматриваемое сечение по часовой стрелке ;
• Изгибающий момент в сечении положителен, если он вызывает сжатие верхних волокон.

Рис. .

Для определения данных усилий используем два уравнения равновесия:

1. ; ; .

2. ;

Таким образом,

а) поперечная сила в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на поперечную ось сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения;

б) изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов (вычисленных относительно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

При практическом вычислении руководствуются обычно следующим:

1. Если внешняя нагрузка стремится повернуть балку относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке, (рис. 6.4, б) то в выражении для она дает положительное слагаемое.
2. Если внешняя нагрузка создает относительно рассматриваемого сечения момент, вызывающий сжатие верхних волокон балки (рис. 6.4, а), то в выражении для в этом сечении она дает положительное слагаемое.

Рис. .

Построение эпюр и в балках.

Рассмотрим двухопорную балку (рис. 6.5, а) . На балку действует в точке сосредоточенный момент, в точке - сосредоточенная сила и на участке - равномерно распределенная нагрузка интенсивностью.

Определим опорные реакции и (рис. 6.5, б) . Равнодействующая распределенной нагрузки равна, а линия действия ее проходит через центр участка. Составим уравнения моментов относительно точек и.

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянии от точки А (рис. 6.5, в) .

(рис. 6.5, г). Расстояние может изменяться в пределах ().

Значение поперечной силы не зависит от координаты сечения, следовательно, во всех сечениях участка поперечные силы одинаковы и эпюра имеет вид прямоугольника. Изгибающий момент

Изгибающий момент изменяется по линейному закону. Определим ординаты эпюры для границ участка.

Определим поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечений, расположенном на участке на расстоянии от точки (рис. 6.5, д). Расстояние может изменяться в пределах ().

Поперечная сила изменяется по линейному закону. Определим для границ участка.

Изгибающий момент

Эпюра изгибающих моментов на этом участке будет параболической.

Чтобы определить экстремальное значение изгибающего момента, приравниваем к нулю производную от изгибающего момента по абсциссе сечения:

Отсюда

Для сечения с координатой значение изгибающего момента будет составлять

В результате получаем эпюры поперечных сил (рис. 6.5, е) и изгибающих моментов (рис. 6.5, ж).

Дифференциальные зависимости при изгибе.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Эти зависимости позволяют установить некоторые особенности эпюр изгибающих моментов и поперечных сил:

Н а участках, где нет распределенной нагрузки, эпюры ограничены прямыми, параллельными нулевой линии эпюры, а эпюры в общем случае – наклонными прямыми .

Н а участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра ограничена наклонными прямыми, а эпюра - квадратичными параболами с выпуклостью, обращенной в сторону, противоположную направлению действия нагрузки .

В сечениях, где, касательная к эпюре параллельна нулевой линии эпюры .

Н а участках, где, момент возрастает; на участках, где, момент убывает .

В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре будут скачки на величину приложенных сил, а на эпюре будут переломы .

В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре будут скачки на величину этих моментов.

Ординаты эпюры пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре.

При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий момент М х (рис. 1). Так как Q y =dM x /dz=0, то M x =const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент M х по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики

Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного материала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методами теории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом — законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон .

Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.

Рис.1. Связь внутреннего усилия и напряжения

Рис.2. Модель чистого изгиба

Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями (индекс г в дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2 это—нижние волокна), а другая часть—в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид: , выведем формулы для кривизны нейтрального слоя (—радиус кривизны) и нормальных напряжений . Предварительно отметим, что постоянство поперечного сечения призматического стержня и изгибающего момента (M х =сonst), обеспечивает постоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а ), нейтральный слой (п—п) описывается дугой окружности.

Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба (рис. 3, а) с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это условие не отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси Оу с главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии). Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого заранее неизвестно.

а ) расчетная схема, б ) деформации и напряжения

Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz , который в масштабе с искаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на рис. 3, б . Поскольку интерес представляют деформации элемента, определяемые относительным смещением его точек, одно из торцевых сечений элемента можно считать неподвижным. Ввиду малости считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.

Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у:

Из подобия треугольников С00 1 и 0 1 ВВ 1 следует, что

Продольная деформация оказалась линейной функцией расстояния от нейтрального слоя, что является прямым следствием закона плоских сечений

Эта формула не пригодна для практического использования, так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального слоя и положение нейтральной оси Ох , от которой отсчитывается координата у. Для определения этих неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия статики. Первое выражает требование равенства нулю продольной силы

Подставляя в это уравнение выражение (2)

и учитывая, что , получаем, что

Интеграл в левой части этого уравнения представляет собой статический момент поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси Ох, который может быть равным нулю только относительно центральной оси. Поэтому нейтральная ось Ох проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Вторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной). Подставляя в уравнение связки выражение для. напряжений, получим:

и учитывая, что где J x —главный центральный момент инерции относительно оси Ох, для кривизны нейтрального слоя получаем формулу

Рис.4. Распределение нормальных напряжений

которая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году. Для согласования знаков изгибающего момента М х и нормальных напряжений в правой части формулы (5) ставится знак минус, так как при M х >0 нормальные напряжения при y >0 оказываются сжимающими. Однако в практических расчетах удобнее, не придерживаясь формального правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак ставить по смыслу. Нормальные напряжения при чистом изгибе призматического стержня являются линейной функцией координаты у и достигают наибольших значений в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 4), т. е.

Здесь введена геометрическая характеристика , имеющая размерность м 3 и получившая название момента сопротивления при изгибе. Поскольку при заданном M х напряжения max ? тем меньше, чем больше W x , момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности поперечного сечения изгибе. Приведем примеры вычисления моментов сопротивления для простейших форм поперечных сечений. Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 5, а ) имеем J х =bh 3 /12,y max = h/2 и W x = J x /y max = bh 2 /6. Аналогично для круга (рис. 5,a J x =d 4 /64, y max =d/2 ) получаем W x =d 3 /32, для кругового кольцевого сечения (рис. 5, в), у которого

Прямой изгиб – это вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила.

Чистый изгиб – это частный случай прямого изгиба, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю.

Пример чистого изгиба – участок CD на стержне AB . Изгибающий момент – это величина Pa пары внешних сил, вызывающая изгиб. Из равновесия части стержня слева от поперечного сечения mn следует, что внутренние усилия, распределенные по этому сечению, статически эквивалентны моменту M , равному и противоположно направленному изгибающему моменту Pa .

Чтобы найти распределение этих внутренних усилий по поперечному сечению, необходимо рассмотреть деформацию стержня.

В простейшем случае стержень имеет продольную плоскость симметрии и подвергается действию внешних изгибающих пар сил, находящихся в этой плоскости. Тогда изгиб будет происходить в той же плоскости.

Ось стержня nn 1 – это линия, проходящая через центры тяжести его поперечных сечений.

Пусть поперечное сечение стержня – прямоугольник. Нанесем на его грани две вертикальные линии mm и pp . При изгибе эти линии остаются прямолинейными и поворачиваются так, что остаются перпендикулярными продольным волокнам стержня.

Дальнейшая теория изгиба основана на допущении, что не только линии mm и pp , но все плоское поперечное сечение стержня остается после изгиба плоским и нормальным к продольным волокнам стержня. Следовательно, при изгибе поперечные сечения mm и pp поворачиваются относительно друг друга вокруг осей, перпендикулярных плоскости изгиба (плоскости чертежа). При этом продольные волокна на выпуклой стороне испытывают растяжение, а волокна на вогнутой стороне – сжатие.

Нейтральная поверхность – это поверхность, не испытывающая деформации при изгибе. (Сейчас она расположена перпендикулярно чертежу, деформированная ось стержня nn 1 принадлежит этой поверхности).

Нейтральная ось сечения – это пересечение нейтральной поверхности с любым с любым поперечным сечением (сейчас тоже расположена перпендикулярно чертежу).

Пусть произвольное волокно находится на расстоянии y от нейтральной поверхности. ρ – радиус кривизны изогнутой оси. Точка O – центр кривизны. Проведем линию n 1 s 1 параллельно mm . ss 1 – абсолютное удлинение волокна.

Относительное удлинение ε x волокна

Из этого следует, что деформации продольных волокон пропорциональны расстоянию y от нейтральной поверхности и обратно пропорциональны радиусу кривизны ρ .

Продольное удлинение волокон выпуклой стороны стержня сопровождается боковым сужением , а продольное укорочение вогнутой стороны – боковым расширением , как в случае простого растяжения и сжатия. Из-за этого вид всех поперечных сечений меняется, вертикальные стороны прямоугольника становятся наклонными. Деформация в боковом направлении z :

μ – коэффициент Пуассона.

Вследствие такого искажения все прямые линии поперечного сечения, параллельные оси z , искривляются так, чтоб остаться нормальными к боковым сторонам сечения. Радиус кривизны этой кривой R будет больше, чем ρ в таком же отношении, в каком ε x по абсолютной величине больше чем ε z , и мы получим

Этим деформациям продольных волокон отвечают напряжения

Напряжение в любом волокне пропорционально его расстоянию от нейтральной оси n 1 n 2 . Положение нейтральной оси и радиус кривизны ρ – две неизвестные в уравнении для σ x – можно определить из условия, что усилия, распределенные по любому поперечному сечению, образуют пару сил, которая уравновешивает внешний момент M .

Все вышесказанное также справедливо, если стержень не имеет продольную плоскость симметрии, в которой действует изгибающий момент, лишь бы только изгибающий момент действовал в осевой плоскости, которая заключает в себе одну из двух главных осей поперечного сечения. Эти плоскости называются главными плоскостями изгиба .

Когда имеется плоскость симметрии и изгибающий момент действует в этой плоскости, прогиб происходит именно в ней. Моменты внутренних усилий относительно оси z уравновешивают внешний момент M . Моменты усилий относительно оси y взаимно уничтожаются.

Чистым изгибом называется такой вид изгиба, при котором имеет место действие только изгибающего момента (рис. 3.5, а). Мысленно проведем плоскость сечения I-I перпендикулярно продольной оси балки на расстоянии * от свободного конца балки, к которому приложен внешний момент m z . Осуществим действия, аналогичные тем, которые были выполнены нами при определении напряжений и деформаций при кручении, а именно:

• 1) составим уравнения равновесия мысленно отсеченной части детали;
• 2) определим деформацию материала детали исходя из условий совместности деформаций элементарных объемов данного сечения;
• 3) решим уравнения равновесия и совместности деформаций.

Из условия равновесия отсеченного участка балки (рис. 3.5, б)

получим, что момент внутренних сил M z равен моменту внешних сил т: М = т.

Рис. 3.5.

Момент внутренних сил создается нормальными напряжениями o v , направленными вдоль оси х. При чистом изгибе нет внешних сил, поэтому сумма проекций внутренних сил на любую координатную ось равна нулю. На этом основании запишем условия равновесия в виде равенств

где А - площадь поперечного сечения балки (стержня).

При чистом изгибе внешние силы F x , F, F v а также моменты внешних сил т х, т у равны нулю. Поэтому остальные уравнения равновесия тождественно равны нулю.

Из условия равновесия при о^О следует, что

нормальные напряжение с х в поперечном сечении принимают как положительные, так и отрицательные значения. (Опыт показывает, что при изгибе материал нижней стороны бруса на рис. 3.5, а растянут, а верхней - сжат.) Следовательно, в поперечном сечении при изгибе есть такие элементарные объемы (переходного слоя от сжатия к растяжению), в которых удлинение или сжатие отсутствует. Это - нейтральный слой. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной линией.

Условия совместности деформаций элементарных объемов при изгибе формируется на основе гипотезы плоских сечений: плоские до изгиба поперечные сечения балки (см. рис. 3.5, б) останутся плоскими и после изгиба (рис. 3.6).

В результате действия внешнего момента брус изгибается, а плоскости сечений I-I и II-II поворачиваются друг относительно друга на угол dy (рис. 3.6, б). При чистом изгибе деформация всех сечений вдоль оси балки одинакова, поэтому радиус р к кривизны нейтрального слоя балки вдоль оси х один и тот же. Так как dx = р K dip, то кривизна нейтрального слоя равна 1 / р к = dip / dx и постоянна по длине балки.

Нейтральный слой не деформируется, его длина до и после деформации равна dx. Ниже этого слоя материал растянут, выше - сжат.

Рис. 3.6.

Значение удлинения растянутого слоя, находящегося на расстоянии у от нейтрального, равно ydq. Относительное удлинение этого слоя:

Таким образом, в принятой модели получено линейное распределение деформаций в зависимости от расстояния данного элементарного объема до нейтрального слоя, т.е. по высоте сечения балки. Полагая, что нет взаимного надавливания параллельных слоев материала друг на друга (о у = 0, а, = 0), запишем закон Гука для линейного растяжения:

Согласно (3.13) нормальные напряжения в поперечном сечении балки распределены по линейному закону. Напряжение элементарного объема материала, наиболее удаленного от нейтрального слоя (рис. 3.6, в ), максимально и равно

? Задача 3.6

Определить предел упругости стального клинка толщиной / = 4 мм и длиной / = 80 см, если его изгиб в полуокружность не вызывает остаточной деформации.

Решение

Напряжение при изгибе o v = Еу / р к. Примем y max = t / 2и р к = / / к.

Предел упругости должен соответствовать условию с уп > c v = 1 / 2 кЕ t /1.

Ответ: о = ] / 2 к 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 МПа; предел текучести этой стали а т > 1800 МПа, что превышает а т самых прочных пружинных сталей. ?

? Задача 3 .7

Определить минимальный радиус барабана для намотки ленты толщиной / = 0,1 мм нагревательного элемента из никелевого сплава, при котором материал ленты пластически не деформируется. Модуль Е= 1,6 10 5 МПа, предел упругости о уп = 200 МПа.

Ответ: минимальный радиус р = V 2 ?ir/a yM = У? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 м. ?

1. При совместном решении первого уравнения равновесия (3.12) и уравнения совместности деформаций (3.13) получим

Значение Е / р к ф 0 и одинаково для всех элементов dA площади интегрирования. Следовательно, данное равенство удовлетворяется только при условии

Этот интеграл называют статическим моментом площади поперечного сечения относительно оси z? Каков физический смысл этого интеграла?

Возьмем пластинку постоянной толщины /, но произвольного профиля (рис. 3.7). Подвесим эту пластинку в точке С так, чтобы она находилась в горизонтальном положении. Обозначим символом у м удельный вес материала пластинки, тогда вес элементарного объема площадью dA равен dq = уJdA. Так как пластинка находится в состоянии равновесия, то из равенства нулю проекций сил на ось у получим

где G = у M tA - вес пластинки.

Рис. 3.7.

Сумма моментов сил всех сил относительно оси z , проходящей в любом сечении пластинки, также равна нулю:

Учитывая, что Y c = G, запишем

Таким образом, если интеграл вида J xdA по площади А равен

нулю, то х с = 0. Это означает, что точка С совпадает с центром тяжести пластинки. Следовательно, из равенства S z = J ydA = 0 при из-

гибе следует, что центр тяжести поперечного сечения балки находится на нейтральной линии.

Следовательно, значение у с поперечного сечения балки равно нулю.

• 1. Нейтральная линия при изгибе проходит через центр тяжести поперечного сечения балки.
• 2. Центр тяжести поперечного сечения является центром приведения моментов внешних и внутренних сил.

Задача 3.8

Задача 3.9

2. При совместном решении второго уравнения равновесия (3.12) и уравнения совместности деформаций (3.13) получим

Интеграл J z = J y 2 dA называется моментом инерции поперечного

сечения балки (стержня) относительно оси z, проходящей через центр тяжести поперечного сечения.

Таким образом, M z = Е J z / р к. Учитывая, что с х = Ее х = Еу / р к и Е / р к = а х / у, получим зависимость нормальных напряжений о х при изгибе:

1. Напряжение изгиба в данной точке сечения не зависит от модуля нормальной упругости Е, но зависит от геометрического параметра поперечного сечения J z и расстояния у от данной точки до центра тяжести поперечного сечения.

2. Максимальное напряжение при изгибе имеет место в элементарных объемах, наиболее удаленных от нейтральной линии (см. рис. 3.6, в):

где W z - момент сопротивления поперечного сечения относительно оси Z-

Условие прочности при чистом изгибе аналогично условию прочности при линейном растяжении:

где [а м | - допускаемое напряжение при изгибе.

Очевидно, что внутренние объемы материала, особенно вблизи нейтральной оси, практически не нагружены (см. рис. 3.6, в). Это противоречит требованию минимизировать материалоемкость конструкции. Ниже будут показаны некоторые способы преодоления данного противоречия.

10.1. Общие понятия и определения

Изгиб – это такой вид нагружения, при котором стержень загружен моментами в плоскостях, проходящих через продольную ось стержня.

Стержень, работающий на изгиб, называется балкой (или брусом). В дальнейшем будем рассматривать прямолинейные балки, поперечное сечение которых имеет хотя бы одну ось симметрии.

В сопротивлении материалов различают изгиб плоский, косой и сложный.

Плоский изгиб – изгиб, при котором все усилия, изгибающие балку, лежат в одной из плоскостей симметрии балки (в одной из главных плоскостей).

Главными плоскоcтями инерции балки называют плоскости, проходящие через главные оси поперечных сечений и геометрическую ось балки (ось x).

Косой изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции.

Сложный изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях.

10.2. Определение внутренних усилий при изгибе

Рассмотрим два характерных случая изгиба: в первом – консольная балка изгибается сосредоточенным моментом Mo; во втором – сосредоточенной силой F.

Используя метод мысленных сечений и составляя уравнения равновесия для отсеченных частей балки, определим внутренние усилия в том и другом случае:

Остальные уравнения равновесия, очевидно, тождественно равны нулю.

Таким образом, в общем случае плоского изгиба в сечении балки из шести внутренних усилий возникает два – изгибающий момент Мz и поперечная сила Qy (или при изгибе относительно другой главной оси – изгибающий момент Мy и поперечная сила Qz).

При этом, в соответствии с двумя рассмотренными случаями нагружения, плоский изгиб можно подразделить на чистый и поперечный.

Чистый изгиб – плоский изгиб, при котором в сечениях стержня из шести внутренних усилий возникает только одно – изгибающий момент (см. первый случай).

Поперечный изгиб – изгиб, при котором в сечениях стержня кроме внутреннего изгибающего момента возникает и поперечная сила (см. второй случай).

Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; поперечный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве случаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на прочность можно пренебречь.

При определении внутренних усилий будем придерживаться следующего правила знаков:

1) поперечная сила Qy считается положительной, если она стремится повернуть рассматриваемый элемент балки по часовой стрелке;

2) изгибающий момент Мz считается положительным, если при изгибе элемента балки верхние волокна элемента оказываются сжатыми, а нижние – растянутыми (правило зонта).

Таким образом, решение задачи по определению внутренних усилий при изгибе будем выстраивать по следующему плану: 1) на первом этапе, рассматривая условия равновесия конструкции в целом, определяем, если это необходимо, неизвестные реакции опор (отметим, что для консольной балки реакции в заделке можно и не находить, если рассматривать балку со свободного конца); 2) на втором этапе выделяем характерные участки балки, принимая за границы участков точки приложения сил, точки изменения формы или размеров балки, точки закрепления балки; 3) на третьем этапе определяем внутренние усилия в сечениях балки, рассматривая условия равновесия элементов балки на каждом из участков.

10.3. Дифференциальные зависимости при изгибе

Установим некоторые взаимосвязи между внутренними усилиями и внешними нагрузками при изгибе, а также характерные особенности эпюр Q и M, знание которых облегчит построение эпюр и позволит контролировать их правильность. Для удобства записи будем обозначать: M≡Mz, Q≡Qy.

Выделим на участке балки с произвольной нагрузкой в месте, где нет сосредоточенных сил и моментов, малый элемент dx. Так как вся балка находится в равновесии, то и элемент dx будет находиться в равновесии под действием приложенных к нему поперечных сил, изгибающих моментов и внешней нагрузки. Поскольку Q и M в общем случае меняются вдоль

оси балки, то в сечениях элемента dx будут возникать поперечные силы Q и Q+dQ, а также изгибающие моменты M и M+dM. Из условия равновесия выделенного элемента получим

Первое из двух записанных уравнений дает условие

Из второго уравнения, пренебрегая слагаемым q·dx·(dx/2) как бесконечно малой величиной второго порядка, найдем

Рассматривая выражения (10.1) и (10.2) совместно можем получить

Соотношения (10.1), (10.2) и (10.3) называют дифференциальными зависимостями Д. И. Журавского при изгибе.

Анализ приведенных выше дифференциальных зависимостей при изгибе позволяет установить некоторые особенности (правила) построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил: а – на участках, где нет распределенной нагрузки q, эпюры Q ограничены прямыми, параллельными базе, а эпюры M – наклонными прямыми; б – на участках, где к балке приложена распределенная нагрузка q, эпюры Q ограничены наклонными прямыми, а эпюры M – квадратичными параболами.

При этом, если эпюру М строим «на растянутом волокне», то выпуклость параболы будет направлена по направлению действия q, а экстремум будет расположен в сечении, где эпюра Q пересекает базовую линию; в – в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенная сила на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении данной силы, а на эпюре М – перегибы, острием направленные в направлении действия этой силы; г – в сечениях, где к балке прикладывается сосредоточенный момент на эпюре Q изменений не будет, а на эпюре М – скачки на величину этого момента; д – на участках, где Q>0, момент М возрастает, а на участках, где Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормальные напряжения при чистом изгибе прямого бруса

Рассмотрим случай чистого плоского изгиба балки и выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая.

Отметим, что в теории упругости можно получить точную зависи-мость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов необходимо ввести некоторые допущения.

Таких гипотез при изгибе три:

а – гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) – сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой – сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

б – гипотеза о постоянстве нормальных напряжений – напряжения, действующие на одинаковом расстоянии y от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

в – гипотеза об отсутствии боковых давлений – соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Статическая сторона задачи

Чтобы определить напряжения в поперечных сечениях балки, рассмотрим, прежде всего, статическую сторон у задачи. Применяя метод мысленных сечений и составляя уравнения равновесия для отсеченной части балки, найдем внутренние усилия при изгибе. Как было показано ранее, единственным внутренним усилием, действующим в сечении бруса при чистом изгибе, является внутренний изгибающий момент, а значит здесь возникнут связанные с ним нормальные напряжения.

Связь между внутренними усилиями и нормальными напряжениями в сечении балки найдем из рассмотрения напряжений на элементарной площадке dA, выделенной в поперечном сечении A балки в точке с координатами y и z (ось y для удобства анализа направлена вниз):

Как видим, задача является внутренне статически неопределимой, так как неизвестен характер распределения нормальных напряжений по сечению. Для решения задачи рассмотрим геометрическую картину деформаций.

Геометрическая сторона задачи

Рассмотрим деформацию элемента балки длиной dx, выделенного из изгибаемого стержня в произвольной точке с координатой x. Учитывая принятую ранее гипотезу плоских сечений, после изгиба сечения балки повернуться относительно нейтральной оси (н.о.) на угол dϕ, при этом волокно ab, отстоящее от нейтральной оси на расстояние y, превратится в дугу окружности a1b1, а его длина изменится на некоторую величину. Здесь напомним, что длина волокон, лежащих на нейтральной оси, не изменяется, а потому дуга a0b0 (радиус кривизны которой обозначим ρ) имеет ту же длину, что и отрезок a0b0 до деформации a0b0=dx.

Найдем относительную линейную деформацию εx волокна ab изогнутой балки: