Як вирішувати рівняння та нерівності з параметрами. Навчальний посібник "рівняння та нерівності з параметрами"

Нерівність

(a, b, c, …,, x)>(a, b, c, …, x), (1)

де a, b, c, …,- Параметри, а x - дійсна змінна величина, називається нерівністю з одним невідомим, що містить параметри.

Будь-яка система значень параметрів а = а 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , при деякій функції

(a, b, c, …,, x) та

(a, b, c, …,, x

мають сенс у ділянці дійсних чисел, називається системою допустимих значень параметрів.

називається допустимим значенням х, якщо

(a, b, c, …,, x) та

(a, b, c, …,, x

приймають дійсні значення за будь-якої допустимої системи значень параметрів.

Багато всіх допустимих значень х називається областю визначення нерівності (1).

Число х 0 називається приватним розв'язком нерівності (1), якщо нерівність

(a, b, c, …,, x 0 )>(a, b, c, …, x 0 )

Правильно за будь-якої системі допустимих значень параметрів.

Сукупність усіх окремих рішень нерівності (1) називається загальним рішенням цієї нерівності.

Вирішити нерівність (1) - означає вказати, за яких значеннях параметрів існує загальне рішення і яке воно.

Дві нерівності

(a, b, c, …,, x)>(a, b, c, …, x) та (1)

(a, b, c, …,, x)>(a, b, c, …, x) (2)

називаються рівносильними, якщо вони мають однакові загальні рішення при тому самому безлічі систем допустимих значень параметрів.

Алгоритм рішення.

Знаходимо область визначення даної нерівності.

Зводимо нерівність до рівняння.

Висловлюємо як функцію від х.

У системі координат хОа будуємо графіки функцій а = (х) тих значень х, які входять у область визначення даного нерівності.

Знаходимо безліч точок, що задовольняють цій нерівності.

Досліджуємо вплив параметра на результат.

знайдемо абсциси точок перетину графіків.

задаємо пряму а = соnst і зрушуватимемо її від - до +

Записуємо відповідь.

Це лише один з алгоритмів розв'язання нерівностей з параметрами, з використанням системи координат хОа. Можливі інші методи рішення, з використанням стандартної системи координат хОy.

3. Приклади

I. Для всіх допустимих значень параметра вирішити нерівність

В області визначення параметра а, визначеного системою нерівностей

дана нерівність рівносильна системі нерівностей

Якщо рішення вихідної нерівності заповнюють відрізок.

Відповідь:, .

ІІ. При яких значеннях параметра має рішення система

Знайдемо коріння тричлена лівої частини нерівності -

Прямі, задані рівностями (*), розбивають координатну площину аОх на чотири області, у кожній з яких квадратний тричлен

зберігає постійний знак. Рівняння (2) задає коло радіуса 2 з центром на початку координат. Тоді рішенням вихідної системи буде перетин заштрихований

ної області з колом, де, а значення і знаходяться із системи

а значення і знаходяться із системи

Вирішуючи ці системи, отримуємо, що

ІІІ. Вирішити нерівність залежно від значень параметра а.

Знаходимо область допустимих значень -

Побудуємо графік функції у системі координат хОу.

при нерівність рішень немає.

для вирішення х задовольняє співвідношенню, де

На цьому уроці ми вивчимо алгоритм розв'язання нерівностей із параметрами та навчимося застосовувати його при вирішенні такого типу завдань.

Визначення перше.

Вирішити нерівність з параметром — означає для кожного значення параметра знайти безліч усіх розв'язків цієї нерівності або довести, що розв'язків немає.

Розглянемо лінійні нерівності.

Визначення друге.

Нерівності виду а ікс плюс бе більше нуля, більше або дорівнює нулю, менше нуля, менше або дорівнює нулю, де aі бе - дійсні числа, ікс- Змінна, називаються нерівностями першого ступеня (лінійними нерівностями).

Алгоритм розв'язання лінійної нерівності з параметром, наприклад, нерівності а ікс плюс бе більше нуля, де aі бе - дійсні числа, ікс- Змінна. Розглянемо такі випадки:

Перший випадок:aбільше нуля, тоді ікс більше мінус бе ділене на а.

Отже, безліч розв'язків нерівності є відкритий числовий промінь від мінус бе ділене на а до плюс нескінченності.

Другий випадок:aменше нуля, тоді ікс менше мінус бе ділене на а

і, отже, безліч рішень нерівності є відкритий числовий промінь від мінус нескінченності до мінус бе ділене на а.

Третій випадок: aі нулю, тоді нерівність набуде вигляду: нуль помножений на ікс плюс б більше за нуль і для бебольшенуля будь-яке дійсне число є рішення нерівності, а при беменшим чи рівним нулю нерівність немає рішень.

Інші нерівності вирішуються аналогічно.

Розглянемо приклади.

Завдання 1

Вирішити нерівність а іксменше або дорівнює одиниці.

Рішення

Залежно від знаку aрозглянемо три випадки.

Перший випадок: якщо aбільше нуля, то ікс менше або одно ділене на а;

Другий випадок: якщо aменше нуля, то ікс більше або одно ділене на а;

Третій випадок: якщо aодно нулю, то нерівність набуде вигляду: нуль помножене на ікс менше, або одно одиниці і, отже, будь-яке дійсне число є рішенням вихідної нерівності.

Таким чином, якщо абільше за нуль, то ікс належить променю від мінус нескінченності до одиниці, поділеної на а.

Якщо a aодно нулю,

то x

Відповідь: якщо абільше за нуль, то ікс належить променю від мінус нескінченності до одиниці, поділеної на а;

якщо aменше нуля, то ікс належить променю від одиниці, поділеної на а, до плюс нескінченності, і якщо aодно нулю,

то xікс належить безлічі дійсних чисел.

Завдання 2

Розв'язати нерівність модуль ікс мінус два більше мінус квадрата різниці а та одиниці.

Рішення

Зауважимо, що модуль ікс мінус два більше або дорівнює нулю для будь-якого дійсного іксі мінус квадрат різниці а і одиниці менше або дорівнює нулю для будь-якого значення параметра a. Отже, якщо aодно одиниці, то будь-яке ікс— дійсне число, відмінне від двох, є рішенням нерівності, а якщо aне одно одному, то будь-яке дійсне число є рішенням нерівності.

Відповідь: якщо aодно одному, то ікс належить об'єднанню двох відкритих числових променів від мінус нескінченності до двох і від двох до плюс нескінченності,

а якщо aналежить об'єднанню двох відкритих числових променів від мінус нескінченності до одиниці та від одного до плюс нескінченності, то іксналежить безлічі дійсних чисел.

Завдання 3

Вирішити нерівність три помножене на різницю чотирьох а і ікс менше двох а ікс плюс три.

Рішення

Після елементарних перетворень даної нерівності, отримаємо нерівність: ікс помножене на суму двох а і трьох більше трьох помножене на різницю чотирьох а та одного.

Перший випадок: якщо два плюс три більше нуля, тобто aбільше мінус трьох других, то ікс більше дробу, чисельник якого — три помножене на різницю чотирьох і одиниці, а знаменник — два плюс три.

Другий випадок: якщо два плюс три менше нуля, тобто aменше мінус трьох других, то ікс менше дробу, чисельник якого — три помножене на різницю чотирьох і одного, а знаменник два а плюс три.

Третій випадок: якщо два а плюс три дорівнює нулю, тобто aодно мінус три других,

будь-яке дійсне число є рішенням вихідної нерівності.

Отже, якщо належить окритому числовому променю від мінус трьох других до плюс нескінченності, то ікс

належить відкритому числовому променю від дробу, чисельник якого - три помножене на різницю чотирьох а і одного, а знаменник - два а плюс три, до плюс нескінченності.

Якщо ж належить відкритому числовому променю від мінус нескінченності до мінус трьох других, то ікс належить відкритому числовому променю від мінус нескінченності до дробу, чисельник якого — три помножене на різницю чотирьох а та одиниці, а знаменник — два а плюс три;

якщо aі мінус трьом других, то іксналежить безлічі дійсних чисел.

Відповідь: якщо а належить відкритому числовому променю від мінус трьох других до плюс нескінченності, то ікс

належить відкритому числовому променю від дробу, чисельник якого — три помножене на різницю чотирьох а і одиниці, а знаменник — два плюс три до плюс нескінченності;

якщо а належить відкритого числового променя від мінус нескінченності до мінус трьох других, то ікс належить відкритого числового променя від мінус нескінченності до дробу, чисельник якого — три помножене на різницю чотирьох а і одиниці, а знаменник два плюс три;

якщо aі мінус трьом других, то іксналежить безлічі дійсних чисел.

Завдання 4

Для всіх допустимих значень параметра авирішити нерівність квадратний корінь із ікс мінус а плюс квадратний корінь із двох а мінус ікс плюс квадратний корінь із а мінус один плюс квадратний корінь із трьох мінус а більше нуля.

Рішення

Знайдемо область визначення параметра а. Вона визначається системою нерівностей, вирішивши яку знаходимо, що належить відрізку від однієї до трьох.

Ця нерівність рівнозначна системі нерівностей, вирішуючи яку знаходимо, що ікс належить відрізку від а до двох а.

Якщо належить відрізку від одиниці до трьох, то рішенням вихідної нерівності є відрізок від а до двох а.

Відповідь: якщо належить відрізку від одного до трьох, тоікс належить відрізку від а до двох а.

Завдання 5

Знайти все а, при яких нерівність

кв. знаменник – п'ять мінус ікс не має рішення.

Рішення

Перше. Обчислимо область визначення даної нерівності. Вона визначається системою нерівностей, розв'язанням якої є два числа: ікс дорівнює мінус одиниці та ікс дорівнює двом.

Друге. Знайдемо всі значення а, у яких ця нерівність має рішення. Для цього знайдемо все а, При яких ікс дорівнює мінус одиниці та ікс дорівнює двом - це вирішення даної нерівності. Розглянемо та вирішимо сукупність двох систем. Рішенням є об'єднання двох числових променів від мінус нескінченності до мінус однієї другої, і від одиниці до плюс нескінченності.

Значить, ця нерівність має рішення, якщо належить об'єднанню двох числових променів від мінус

нескінченності до мінус однієї другої, і від одиниці до плюс нескінченності.

Третє. Отже, ця нерівність не має рішення, якщо належить інтервалу від мінус однієї другої до одиниці.

Відповідь: нерівність немає рішення, якщо належить інтервалу від мінус однієї другої до одиниці.

Державна бюджетна загальноосвітня установа

Самарської області середня загальноосвітня

школа №2 ім. В. Маскіна ж.-д. ст. Клявліне

муніципального району Клявлинський

Самарської області

« Рівняння

і

нерівності

з параметрами»

навчальний посібник

Клявліне

Навчальний посібник

«Рівняння та нерівності з параметрами»для учнів 10-11 класів

цей посібник є додатком до програми елективного курсу «Рівняння та нерівності з параметрами», яка пройшла зовнішню експертизу (науково-методичною експертною радою міністерства освіти та науки Самарської області від 19 грудня 2008 року балу рекомендована до використання в освітніх установах Самарської області)

Автори

Ромаданова Ірина Володимирівна

вчитель математики МОУ Клявлінської середньої загальноосвітньої

школи №2 ім. В.Маскіна Клявлинського району Самарської області

Сербаєва Ірина Олексіївна

Вступ……………………………………………………………3-4

Лінійні рівняння та нерівності з параметрами……………..4-7

Квадратні рівняння та нерівності з параметрами……………7-9

Дробно-раціональні рівняння з параметрами……………..10-11

Ірраціональні рівняння та нерівності з параметрами……11-13

Тригонометричні рівняння та нерівності з параметрами.14-15

Показові рівняння та нерівності з параметрами………16-17

Логарифмічні рівняння та нерівності з параметрами…...16-18

Завдання ЄДІ………………………………………………………...18-20

Завдання для самостійної роботи…………………………...21-28

Вступ.

Рівняння та нерівності з параметрами.

Якщо у рівнянні чи нерівності деякі коефіцієнти задані не конкретними числовими значеннями, а позначені літерами, вони називаються параметрами,а саме рівняння чи нерівність параметричним.

Для того, щоб вирішити рівняння або нерівність із параметрами необхідно:

Виділити особливе значення- це значення параметра, в якому або при переході через яке змінюється рішення рівняння або нерівності.

Визначити допустимі значення– це значення параметра, у яких рівняння чи нерівність має сенс.

Вирішити рівняння або нерівність з параметрами означає:

1) визначити, за яких значеннях параметрів існують рішення;

2) кожної допустимої системи значень параметрів знайти відповідне безліч рішень.

Вирішити рівняння з параметром можна такими методами: аналітичним чи графічним.

Аналітичний метод передбачає завдання дослідження рівняння розглядом кількох випадків, жоден з яких не можна упустити.

Рішення рівняння та нерівності з параметрами кожного виду аналітичним методом передбачає докладний аналіз ситуації та послідовне дослідження, в ході якого виникає необхідність «акуратного звернення»із параметром.

Графічний метод передбачає побудову графіка рівняння, яким можна визначити, як впливає відповідно, рішення рівняння зміна параметра. Графік часом дозволяє аналітично сформулювати необхідні та достатні умови для вирішення поставлених завдань. Графічний метод рішення особливо ефективний тоді, коли потрібно встановити, скільки коренів має рівняння в залежності від параметра і має безперечну перевагу побачити це наочно.

§ 1. Лінійні рівняння та нерівності.

Лінійне рівняння а x = b , записане в загальному вигляді, можна розглядати як рівняння з параметрами, де x – невідоме , a , b - Параметри. Для цього рівняння особливим або контрольним значенням параметра є те, при якому перетворюється на нуль коефіцієнт при невідомому.

При розв'язанні лінійного рівняння з параметром розглядаються випадки, коли параметр дорівнює своєму особливому значенню і відрізняється від нього.

Особливим значенням параметра a є значення а = 0.

b = 0 є особливим значенням параметра b .

При b ¹ 0 рівняння рішень немає.

При b = 0 рівняння набуде вигляду: 0х = 0. Рішенням цього рівняння є будь-яке дійсне число.

Нерівності виду ах > b і ax < b (а ≠ 0)називаються лінійними нерівностями. Безліч рішень нерівності ах >b- Проміжок

(; +), якщо a > 0 , і (-;) , якщо а< 0 . Аналогічно для нерівності

ах< b безліч рішень – проміжок(-;), якщо a > 0, і (; +), якщо а< 0.

приклад 1. Вирішити рівняння ах = 5

Рішення: Це лінійне рівняння

Якщо а = 0, то рівняння 0 × х = 5рішення немає.

Якщо а¹ 0, х =- вирішення рівняння.

Відповідь: при а¹ 0, х =

при а = 0 рішення немає.

приклад 2. Вирішити рівняння ах - 6 = 2а - 3х.

Рішення:Це лінійне рівняння, ах - 6 = 2а - 3х (1)

ах + 3х = 2а +6

Переписавши рівняння у вигляді (а+3)х = 2(а+3), розглянемо два випадки:

а=-3і а¹ -3.

Якщо а=-3, то будь-яке дійсне число хє коренем рівняння (1). Якщо ж а¹ -3 , рівняння (1) має єдиний корінь х = 2.

Відповідь:При а = -3, х R ; при а ¹ -3 Х = 2.

приклад 3. При яких значеннях параметра асеред коренів рівняння

2ах – 4х – а 2 + 4а - 4 = 0є коріння більше 1 ?

Рішення: Розв'яжемо рівняння 2ах – 4х – а 2 + 4а - 4 = 0- Лінійне рівняння

2(а - 2) х = а 2 - 4а +4

2(а - 2) х = (а - 2) 2

При а = 2рішенням рівняння 0х = 0буде будь-яке число, у тому числі й більше 1.

При а¹ 2 х =
. За умовою х > 1, тобто
>1, а > 4.

Відповідь:При а (2) U (4;∞).

Приклад 4 . Для кожного значення параметра азнайти кількість коренів рівняння ах = 8.

Рішення. ах = 8- Лінійне рівняння.

y = a- Сімейство горизонтальних прямих;

y = - графіком є ​​гіпербола. Збудуємо графіки цих функцій.

Відповідь: Якщо а = 0, то рівняння рішень немає. Якщо а ≠ 0то рівняння має одне рішення.

Приклад 5 . За допомогою графіків з'ясувати, скільки коренів має рівняння:

|х| = ах - 1.

y =| х | ,

y = ах - 1- Графіком є ​​пряма, що проходить через точку (0;-1).

Збудуємо графіки цих функцій.

Відповідь:Прі |а|>1- один корінь

при | а|≤1 - Рівняння коренів не має.

приклад 6 . Розв'язати нерівність ах + 4 > 2х + а 2

Рішення : ах + 4 > 2х + а 2
(а – 2) х >а 2 - 4. Розглянемо три випадки.

Відповідь. х > а + 2при а > 2; х<а + 2, при а< 2; при а=2рішень немає.

§ 2. Квадратні рівняння та нерівності

Квадратне рівняння– це рівняння виду ах ² + b х + с = 0 , де а≠ 0,

а, b , з - Параметри.

Для вирішення квадратних рівнянь з параметром можна використовувати стандартні способи розв'язання застосування таких формул:

1 ) дискримінанта квадратного рівняння: D = b ² - 4 ac , (
²- ас)

2) формул коренів квадратного рівняння:х 1 =
х 2 =
,

(х 1,2 =
)

Квадратними називаються нерівності виду

a х 2 + b х + с > 0,a х 2 + b х + с< 0, (1), (2)

a х 2 + b х + з ≥ 0,a х 2 + b х + с ≤ 0,(3), (4)

Безліч рішень нерівності (3) виходить об'єднанням множин рішень нерівності (1) і рівняння , a х 2 + b х + з = 0.Аналогічно є безліч рішень нерівності (4).

Якщо дискримінант квадратного тричлена a х 2 + b х + с менше нуля, то при а >0 тричлен позитивний при всіх х R.

Якщо квадратний тричлен має коріння (х 1 < х 2 ), то при а > 0 він позитивний на множині(-; х 2 )
(х 2; +) і негативний на інтервалі

(х 1; х 2 ). Якщо а< 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1; х 2 ) і від'ємний при всіх х (-; х 1 )
(х 2; +).

приклад 1. Вирішити рівняння ах² - 2 (а - 1)х - 4 = 0.

Це квадратне рівняння

Рішення: Особливе значення а = 0.

При а = 0отримаємо лінійне рівняння 2х - 4 = 0. Воно має єдине коріння х = 2.

При а ≠ 0.Знайдемо дискримінант.

D = (а-1)² + 4а = (а+1)²

Якщо а = -1,то D = 0 - Один корінь.

Знайдемо корінь, підставивши замість а = -1.

-х ² + 4х - 4 = 0,тобто х² -4х + 4 = 0,знаходимо, що х = 2.

Якщо а ≠ - 1, то D >0 . За формулою коріння отримаємо:х=
;

х 1 =2, х 2 = -.

Відповідь:При а = 0 і а = -1рівняння має один корінь х = 2;при а ≠ 0 та

а ≠ - 1 рівняння має два кореніх 1 =2, х 2 =-.

приклад 2. Знайдіть кількість коренів цього рівняння х²-2х-8-а = 0залежно від значень параметра а.

Рішення. Перепишемо це рівняння у вигляді х²-2х-8=а

y = х²-2х-8- графіком є ​​парабола;

y =а- Сімейство горизонтальних прямих.

Побудуємо графіки функцій.

Відповідь: При а<-9 , Рівняння рішень не має; при а=-9 рівняння має одне рішення; при а>-9, Рівняння має два рішення.

приклад 3. При яких анерівність (а - 3) х 2 - 2ах + 3а - 6 >0виконується всім значень х?

Рішення.Квадратний тричлен позитивний при всіх значеннях, якщо

а-3 > 0 та D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, звідки випливає, щоa > 6 .

Відповідь.a > 6

§ 3. Дробно-раціональні рівняння з параметром,

що зводяться до лінійних

Процес розв'язання дробових рівнянь виконується за звичайною схемою: дробове замінюється цілим шляхом множення обох частин рівняння на загальний знаменник лівої та правої його частин. Після чого вирішується ціле рівняння, виключаючи стороннє коріння, тобто числа, які перетворюють знаменник на нуль.

У разі рівнянь із параметром це завдання складніше. Тут, щоб «виключити» стороннє коріння, потрібно знайти значення параметра, що обертає загальний знаменник на нуль, тобто вирішити відповідні рівняння щодо параметра.

приклад 1. Вирішити рівняння
= 0

Рішення: Д.З: х +2 ≠ 0 , х ≠ -2

х – а = 0, х = а.

Відповідь:При а ≠ - 2, х = а

При а = -2коріння немає.

Приклад 2 . Вирішити рівняння
-
=
(1)

Це дробораціональне рівняння

Рішення:Значення а = 0є особливим. При а = 0рівняння втрачає сенс і, отже, немає коріння. Якщо а ≠ 0,то після перетворень рівняння набуде вигляду: х² + 2 (1-а) х + а² - 2а – 3 = 0 (2)- квадратне рівняння.

Знайдемо дискримінант = (1 - а) ² - (а ² - 2а - 3) = 4, знаходимо коріння рівняннях 1 = а + 1, х 2 = а – 3.

При переході від рівняння (1) до рівняння (2) розширилася сфера визначення рівняння (1), що могло призвести до появи сторонніх коренів. Тому необхідна перевірка.

Провірка.Виключимо зі знайдених значень хтакі, за яких

х 1+1=0, х1+2=0, х2+1=0, х2+2=0.

Якщо х 1 +1=0, тобто (а+1) + 1=0, то а = -2.Таким чином,

при а=-2 , х 1 -

Якщо х 1 +2=0, тобто (а+1)+2=0,то а = - 3. Таким чином, при а = - 3, х 1 - сторонній корінь рівняння. (1).

Якщо х 2 +1=0, тобто (а - 3) + 1 = 0, то а = 2. Таким чином, при а = 2 х 2 - сторонній корінь рівняння (1).

Якщо х 2 +2=0, тобто ( а - 3) + 2 = 0,то а=1. Таким чином, при а = 1,

х 2 - сторонній корінь рівняння (1).

Відповідно до цього при а = - 3отримуємо х = - 3 - 3 = -6;

при а = - 2 х = -2 – 3= - 5;

при а = 1 х = 1 + 1 = 2;

при а = 2 х = 2 +1 = 3.

Можна записати відповідь.

Відповідь: 1) якщо а = -3,то х = -6; 2) якщо а=-2, то х = -5; 3) якщо а = 0, то коріння немає; 4) якщо а = 1, то х = 2; 5) якщо а=2, то х = 3; 6) якщо а ≠ -3, а ≠ -2, а ≠ 0, а ≠ 1, а ≠ 2, то х 1 = а + 1, х 2 = а-3.

§4. Ірраціональні рівняння та нерівності

Рівняння та нерівності, в яких змінна міститься під знаком кореня, називається ірраціональним.

Рішення ірраціональних рівнянь зводиться до переходу від ірраціонального рівняння до раціонального шляхом зведення в ступінь обох частин рівняння або заміни змінної. При зведенні обох частин рівняння на парний ступінь можлива поява сторонніх коренів. Тому при використанні зазначеного методу слід перевірити все знайдене коріння підстановкою у вихідне рівняння, враховуючи при цьому зміни значень параметра.

Рівняння виду
= g (x) рівносильно системі

Нерівність f(x) ≥ 0 випливає з рівняння f(x) = g2(x).

При вирішенні ірраціональних нерівностей будемо використовувати наступні рівносильні перетворення:

≤ g(x)


≥g(x)

приклад 1. Розв'яжіть рівняння
= х + 1 (3)

Це ірраціональне рівняння

Рішення: За визначенням арифметичного кореня рівняння (3) рівносильне системі
.

При а = 2перше рівняння системи має вигляд 0 х = 5, тобто немає рішень.

При а≠ 2 х=
. З'ясуємо, за яких значеньа знайдене значеннях задовольняє нерівностіх ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

звідки а ≤або а > 2.

Відповідь:При а?, а > 2 х=
, при < а ≤ 2 рівняння рішень немає.

приклад 2. Вирішити рівняння
= а (Додаток 4)

Рішення. y =

y = а- Сімейство горизонтальних прямих.

Побудуємо графіки функцій.

Відповідь: при а<0 -Рішень немає;

при а≥ 0 – одне рішення.

Приклад 3 . Вирішимо нерівність(а+1)
<1.

Рішення.О.Д.З. х ≤ 2. Якщо а+1 ≤0, то нерівність виконується за всіх допустимих значеннях х. Якщо ж а+1>0, то

(а+1)
<1.

<

звідки х (2-
2

Відповідь. х (- ;2при а (-;-1, х (2-
2

при а (-1;+).

§ 5. Тригонометричні рівняння та нерівності.

Наведемо формули розв'язків найпростіших тригонометричних рівнянь:

Sinx = a
x=(-1) n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)

Cos x = a
x = ± arccos a + 2 πn, n Z, ≤1. (2)

Якщо >1, то рівняння (1) і (2) рішень немає.

tg x = a
x = arctg a + πn, n Z, a R

ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Z, a R

Для кожної стандартної нерівності вкажемо безліч рішень:

1. sin x > a
arcsin a + 2 πn Z,

при a <-1, x R ; при a ≥ 1, рішень немає.

2. . sin x< a
π - arcsin a + 2 πnZ,

при а?-1, рішень немає; при а >1,x R

3. cos x > a
- arccos a + 2 πn < x < arccos a + 2 πn , n Z ,

при а<-1, x R ; при a ≥ 1 , рішень немає.

4. cos x arccos a+ 2 πnZ,

при а≤-1 , рішень немає; приa > 1, x R

5. tg x > a, arctg a + πnZ

6. tg x< a, -π/2 + πn Z

Приклад1. Знайти а, При яких дане рівняння має рішення:

Cos 2 x + 2(a-2) cosx + a 2 - 4a - 5 = 0.

Рішення.Запишемо рівняння у вигляді

зos 2 x + (2 a -4) cosx +(a - 5) (а +1) = 0,вирішуючи його як квадратне, отримуємо cosx = 5-аі cosx = -а-1.

Рівняння cosx = 5- а має рішення за умови -1≤ 5-а ≤1
4≤ а≤ 6, а рівняння cosx = - а-1 за умови -1≤-1-а ≤ 1
-2 ≤ а ≤0.

Відповідь. а -2; 0
4; 6

приклад 2. При яких bзнайдеться таке, що нерівність
+ b> 0 виконується за всіх х ≠πn , n Z .

Рішення.Покладемо а= 0. Нерівність виконується за b >0. Покажемо тепер, що жодне b ≤0 не задовольняє умови завдання. Дійсно, достатньо покласти х = π /2, якщо а <0, и х = - π /2 при а ≥0.

Відповідь.b> 0

§ 6. Показові рівняння та нерівності

1. Рівняння h(x) f ( x ) = h(x) g ( x) при h(x) > 0 рівносильно сукупності двох систем
і

2. У окремому випадку (h (x )= a ) рівняння а f(x) = а g (x ) при а> 0, рівносильно сукупності двох систем

і

3. Рівняння а f(x) = b , де а > 0, a ≠1, b>0, рівносильно рівнянню

f (x) = log a b. Випадок а=1 розглядаємо окремо.

Вирішення найпростіших показових нерівностей засноване на властивості ступеня. Нерівність видуf(a x ) > 0 за допомогою заміни змінноїt= a x зводиться до розв'язання системи нерівностей
а потім до розв'язання відповідних найпростіших показових нерівностей.

При розв'язанні нестрогої нерівності необхідно до безлічі рішень суворої нерівності приєднати коріння відповідного рівняння. Як і при вирішенні рівнянь у всіх прикладах, що містять вираз а f (x), припускаємо а> 0. Випадок а= 1 розглядаємо окремо.

Приклад 1 . При яких арівняння 8 х =
має тільки позитивне коріння?

Рішення. За властивістю показової функції з основою, великою одиниці, маємо х>0
8 х >1

>1

>0, звідкиa (1,5;4).

Відповідь. a (1,5;4).

приклад 2. Розв'язати нерівність a 2 ∙2 x > a

Рішення. Розглянемо три випадки:

1. а< 0 . Оскільки ліва частина нерівності позитивна, а права негативна, то нерівність виконується для будь-яких х R.

2. a=0. Рішень немає.

3. а > 0 . a 2 ∙2 x > a
2 x >
x > - log 2 a

Відповідь. х Rпри а > 0; рішень немає при a =0; х (- log 2 a; +) приа> 0 .

§ 7. Логарифмічні рівняння та нерівності

Наведемо деякі еквівалентності, які використовуються при вирішенні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

1. Рівняння log f (x) g (x) = log f (x) h (x) рівносильне системі

Зокрема, якщо а >0, а≠1, то

log a g (x) = log a h(x)

2. Рівняння log a g (x) = b
g(x)=a b ( а >0, a ≠ 1, g(x) >0).

3. Нерівність log f ( x ) g (x) ≤ log f ( x ) h(x) рівносильно сукупності двох систем:
і

Якщо а, b – числа, а >0, а ≠1, то

log a f(x) ≤ b

log a f(x) > b

приклад 1. Розв'яжіть рівняння

Рішення. Знайдемо ОДЗ: х > 0, х ≠ а 4 , a > 0, а≠ 1. Перетворимо рівняння

log х – 2 = 4 – log a x
log х + log a x- 6 = 0, звідки log a x = - 3

х = а-3 та log a x = 2
х = а 2 . Умова х = а 4
а – 3 = а 4 або а 2 = а 4 не виконується на ОДЗ.

Відповідь:х = а-3 х = а 2 при а (0; 1)
(1; ).

Приклад 2 . Знайдіть найбільше значення а, при якому рівняння

2 log -
+ a = 0 має рішення.

Рішення. Виконаємо заміну
= tі отримаємо квадратне рівняння 2t 2 – t + a = 0. Вирішуючи, знайдемоD = 1-8 a . Розглянемо D≥0, 1-8 а ≥0
а ≤.

При а = квадратне рівняння має коріньt= >0.

Відповідь. а =

Приклад 3 . Розв'язати нерівністьlog(x 2 – 2 x + a ) > - 3

Рішення. Розв'яжемо систему нерівностей

Коріння квадратних тричленів х 1,2 = 1 ±
і х 3,4 = 1 ±
.

Критичні значення параметра: а= 1 і а= 9.

Нехай Х 1 і Х 2 – безліч рішень першої та другої нерівностей, тоді

Х 1
Х 2 = Х - Вирішення вихідної нерівності.

При 0< a <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), приа> 1 Х 1 = (-;+).

При 0< a < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), приа≥9 Х 2 – рішень немає.

Розглянемо три випадки:

1. 0< a ≤1 Х = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < a < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. a≥ 9 Х – рішень немає.

Завдання ЄДІ

Високий рівень С1, С2

приклад 1. Знайдіть усі значення р, при яких рівняння

р ∙ ctg 2 x + 2sinx + p= 3 має хоча б один корінь.

Рішення.Перетворимо рівняння

р ∙ (
- 1) + 2sinx + p= 3, sinx = t, t
, t 0.

- p+ 2 t + p = 3, + 2 t = 3, 3 -2t = , 3t 2 - 2t 3 = p .

Нехай f(y) = 3 t 2 – 2 t 3 . Знайдемо безліч значень функціїf(x) на


. у / = 6 t – 6 t 2 , 6 t - 6 t 2 = 0, t 1 =0, t 2 = 1. f(-1) = 5, f(1) = 1.

При t
, E(f) =
,

При t
, E(f) =
, тобто при t


, E(f) =
.

Щоб рівняння 3t 2 – 2 t 3 = p (Отже, і це) мало хоча б один корінь необхідно і достатньоp E(f), тобто p
.

Відповідь.
.

приклад 2.

При яких значеннях параметраарівняння log
(4 x 2 – 4 a + a 2 +7) = 2 має рівно один корінь?

Рішення.Перетворимо рівняння на рівносильне даному:

4x 2 – 4 a + a 2+7 = (х 2+2) 2 .

Зазначимо, що й деяке число х є коренем отриманого рівняння, то число – х також є коренем цього рівняння. За умовою це неможливо, тому єдиним коренем є число 0.

Знайдемо а.

4∙ 0 2 - 4a + a 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

a 2 - 4a +7 = 4, a 2 - 4a +3 = 0, a 1 = 1, a 2 = 3.

Перевірка.

1) a 1 = 1. Тоді рівняння має вигляд:log
(4 x 2 +4) =2. Вирішуємо його

4x 2 + 4 = (х 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = х 4 + 4x 2 + 4, х 4 = 0, х = 0 - єдиний корінь.

2) a 2 = 3. Рівняння має вигляд:log
(4 x 2 +4) =2
х = 0 – єдиний корінь.

Відповідь. 1; 3

Високий рівень С4, С5

приклад 3. Знайдіть усі значення р,при яких рівняння

х 2 – ( р+ 3)х + 1= 0 має цілі коріння і це коріння є рішеннями нерівності: х 3 – 7 рх 2 + 2х 2 – 14 рх - 3х +21 р ≤ 0.

Рішення. Нехай х 1, х 2 - Цілі корені рівняння х 2 – (р + 3) х + 1 = 0. Тоді за формулою Вієта справедливі рівності х 1 + х 2 = р + 3, х 1 ∙ х 2 = 1. Добуток двох цілих чисел х 1 х 2 може дорівнювати одиниці тільки у двох випадках: х 1 = х 2 = 1 або х 1 = х 2 = - 1. Якщо х 1 = х 2 = 1, тор + 3 = 1+1 = 2
р = - 1; якщо х 1 = х 2 = - 1, тор + 3 = - 1 – 1 = - 2
р = - 5. Перевіримо чи є коріння рівняння х 2 – (р + 3) х + 1 = 0 в описаних випадках рішеннями даної нерівності. Для випадкур = - 1, х 1 = х 2 = 1 маємо

1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – вірно; для випадку р= - 5, х 1 = х 2 = - 1 маємо (-1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – вірно. Отже, умові завдання задовольняють лише р= - 1 і р = - 5.

Відповідь.р 1 = - 1 і р 2 = - 5.

приклад 4. Знайдіть усі позитивні значення параметра а, при яких число 1 належить області визначення функції

у = (а
- а
).

Серія «Вчимося вирішувати завдання з параметром»

IV. Квадратні рівняння та нерівності з параметром

IV.1. Основні поняття

Визначення. Функцію виду (1), де , , – дані функції параметра а, що розглядаються на перетині їх областей визначення, назвемо квадратичною функцією з параметром а.

приклади.

1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .

Визначення. Підобластю визначення квадратичної функції (1) з параметром абудемо розуміти безліч пар значень хі авиду ( х; а), при кожній з яких вираз не втрачає сенсу.

Встановимо області визначення функцій 1-10.

1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.

Якщо параметр приймає одне з числових значень , то функція (1) набуде вигляду однієї з функцій з числовими коефіцієнтами:

; ; ;
; ; ; ,

де k, b, c– дійсні числа.

Звернемо увагу на те, що при деяких значеннях параметра квадратична функція з параметром набуває вигляду або квадратичної функції без параметра, або - лінійної.

Так як квадратична функція з параметром найчастіше «породжує» сімейство квадратичних або лінійних функцій з числовими коефіцієнтами, то говорячи про графіки квадратичної функції з параметром, ми матимемо на увазі безліч графіків цього сімейства.

Визначення. аназивається рівняння виду (1) де , , – дані функції від параметра а, що розглядаються на перетині їхніх областей визначення.

Зокрема, деякі з коефіцієнтів чи вільний член можуть бути числами.

приклади.

, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
. (5)

Використовуючи визначення квадратичної функції параметра, можна дати таке визначення квадратного рівняння параметром.

Визначення. Квадратним рівнянням із параметром аназивається рівняння виду , де - квадратична функція з параметром а.

Якщо , то рівняння (1) є квадратним у сенсі, тобто. другого ступеня.
Якщо ж , то рівняння (1) стає лінійним.

За всіх допустимих значень параметра а, при яких і за відомими формулами отримуємо вирази коренів рівняння (1) через параметр.

Ті значення а, при яких слід розглядати окремо як особливі випадки.
Так, наприклад, рівняння (5) при набуде вигляду , звідки .

IV.2. Квадратні рівняння з параметром

№1. Розв'яжіть рівняння.

- Рівняння-слідство. Отримаємо: , .

У системі координат ( аОх) Завершуємо рішення. (Мал. 1)

Відповідь: 1. Якщо , то .

2. Якщо, то.

3. Якщо , , то , .

№2. Знайдіть значення параметра а, При якому рівняння має єдиний корінь. Якщо таких значень кілька, у відповіді запишіть їхню суму.

Це рівняння зводиться до рівносильної системи:

Наведемо її до вигляду: і вирішимо графічно в системі координат ( хОа). (Мал. 2).

Рівняння має єдиний корінь при , і .

№3. Знайдіть усі значення хтакі, що за будь-якого значення параметра а, Що не належить проміжку (0; 2], вираз не дорівнює виразу. (ЄДІ-2007).

Переформулюємо завдання: «Знайдіть усі значення хтакі, що за будь-якого значення параметра рівняння не має коріння».
Висловимо ачерез х:

1) Нехай. Тоді. Тому рівняння має коріння. Отже, не задовольняє умову.
2) Нехай. Тоді. Скористаємося системою координат ( хОа). (Мал. 3).

Умові задовольняють.

№4. Скільки коренів залежно від параметра амає рівняння?

Розкриємо модуль:

У системі координат ( хОу) побудуємо графік функції

і кілька прямих пучка паралельних прямих, що задаються рівнянням. (Мал. 4).

Відповідь: 1. Якщо , то коріння немає.

2. Якщо , то один корінь.

3. Якщо , то два корені.

IV.3. Квадратні нерівності з параметром

№5. Розв'яжіть нерівність .

1 спосіб.

Врахуємо, що . Тоді - вирішення цієї нерівності за будь-якого b.(Мал. 5).

Якщо, то переходимо до нерівності, безліч розв'язків якої зобразимо в системі координат ( bOx). (Мал. 6).

Сумісний рис. 5 та 6.

А тепер за рис. 7, розтинаючи його вертикальними прямими, легко отримати відповідь.

Відповідь: 1. Якщо , то .
2. Якщо, то.
3. Якщо , то

2 спосіб.

Розв'яжемо нерівність графічним методом у системі координат ( хОb):

. (Мал. 8).

Розглянемо два випадки.

1). Тоді нерівність набуде вигляду, звідки.
2), тоді.

p align="justify"> Графік функції і частина площини, що містить точки, координати яких задовольняють нерівності , зображені на малюнку 8.

1. Якщо , то .
2. Якщо, то. 3. Якщо, то.

3 спосіб.

Наведемо тепер графічне рішення у системі координат ( хОу). Для цього розкриємо модуль:

Розглянемо функцію .

Коріння квадратного тричлена .

Порівняємо і .

1), звідки.

Отримуємо сукупність. (Мал. 9)

2) , звідки. (Мал. 10).

Тоді тобто. .

3) , звідки. (Мал. 11).

Тоді тобто. .

Відповідь: 1. Якщо , то .

2. Якщо, то.
3. Якщо, то.

№6. Знайдіть усі значення параметра а, для яких найменше значення функції більше 2.

Достатньо знайти всі значення параметра а, для кожного з яких для будь-кого вірна нерівність . Перепишемо нерівність у вигляді ., ;

Вирішення нерівностей з параметром.

Нерівності, які мають вигляд ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются лінійними нерівностями.

Принципи розв'язання лінійних нерівностей із параметром дуже схожі з принципами розв'язання лінійних рівнянь із параметром.

приклад 1.

Вирішити нерівність 5х - а > ax + 3.

Рішення.

Для початку перетворимо вихідну нерівність:

5х – ах > a + 3, винесемо за дужки х у лівій частині нерівності:

(5 – а)х > a + 3. Тепер розглянемо можливі випадки для параметра а:

Якщо a> 5, то x< (а + 3) / (5 – а).

Якщо а = 5, то рішень немає.

Якщо а< 5, то x >(а + 3) / (5 – а).

Дане рішення і буде відповідати нерівності.

приклад 2.

Розв'язати нерівність х(а – 2) / (а – 1) – 2а/3 ≤ 2х – а за а ≠ 1.

Рішення.

Перетворимо вихідну нерівність:

х(а – 2) / (а – 1) – 2х ≤ 2а/3 – а;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Домножимо на (-1) обидві частини нерівності, отримаємо:

ах/(а – 1) ≥ а/3. Досліджуємо можливі випадки для параметра:

1 випадок. Нехай a/(а – 1) > 0 чи а € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Тоді x ≥ (а – 1)/3.

2 випадок. Нехай a/(а – 1) = 0, тобто. а = 0. Тоді x – будь-яке дійсне число.

3 випадок. Нехай a/(а – 1)< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Відповідь: х € [(а - 1) / 3; +∞) при € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);
х € [-∞; (а – 1)/3] при € (0; 1);
х € R при а = 0.

приклад 3.

Розв'язати нерівність |1 + х| ≤ аx щодо х.

Рішення.

З умови випливає, права частина нерівності ах має бути негативна, тобто. ах ≥ 0. За правилом розкриття модуля з нерівності |1 + x| ≤ аx маємо подвійну нерівність

Ах ≤ 1 + x ≤ аx. Перепишемо результат у вигляді системи:

(аx ≥ 1 + x;
(-ах ≤ 1 + x.

Перетворюємо на вигляд:

((а – 1)x ≥ 1;
((а + 1)х ≥ -1.

Досліджуємо отриману систему на інтервалах та в точках (Рис. 1):

При а ≤ -1 x € (-∞; 1/(а – 1)].

При -1< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

За а = 0 x = -1.

При 0< а ≤ 1 решений нет.

Графічний метод розв'язання нерівностей

Побудова графіків значно полегшує розв'язання рівнянь, що містять параметр. Використання графічного методу під час вирішення нерівностей з параметром ще наочніше і доцільніше.

Графічне вирішення нерівностей виду f(x) ≥ g(x) означає знаходження значень змінної х, при яких графік функції f(x) лежить вище за графік функції g(x). Для цього завжди необхідно знайти точки перетину графіків (якщо вони є).

приклад 1.

Вирішити нерівність | x + 5 |< bx.

Рішення.

Будуємо графіки функцій у = | x + 5 | і у = bx (Рис. 2). Розв'язанням нерівності будуть значення змінної х, у яких графік функції у = |x + 5| буде перебувати нижче графіка функції у = bx.

На малюнку видно:

1) За b > 1 прямі перетинаються. Абсцис точки перетину графіків цих функцій є рішення рівняння х + 5 = bx, звідки х = 5/(b – 1). Графік у = bx перебуває вище при х з інтервалу (5/(b – 1); +∞), отже це безліч і є розв'язання нерівності.

2) Аналогічно знаходимо, що за -1< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) При b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)).

4) При 0 ≤ b ≤ 1 графіки не перетинаються, а значить, і розв'язків у нерівності немає.

Відповідь: x € (-∞; 5/(b – 1)) при b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) при -1< b < 0;
рішень немає при 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) за b > 1.

приклад 2.

Розв'язати нерівність а(а + 1)х > (a + 1)(a + 4).

Рішення.

1) Знайдемо «контрольні» значення параметра а: а 1 = 0, а 2 = -1.

2) Вирішимо цю нерівність на кожному підмножині дійсних чисел: (-∞; -1); (-1); (-1; 0); (0); (0; +∞).

a) a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a = -1, тоді дана нерівність набуде вигляду 0х 0 - рішень немає;

c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, тоді ця нерівність має вигляд 0 · х > 4 – рішень немає;

e) a > 0, з цієї нерівності випливає, що х > (a + 4)/a.

приклад 3.

Вирішити нерівність | 2 - | x | |< a – x.

Рішення.

Будуємо графік функції у = | 2 - | x | | (Рис. 3)і розглядаємо всі можливі випадки розташування прямої у = -x + а.

Відповідь: рішень у нерівності немає при а ≤ -2;
x € (-∞; (а – 2)/2) при а € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) при a > 2.

При розв'язанні різних завдань, рівнянь і нерівностей з параметрами відкривається значна кількість евристичних прийомів, які потім успішно можуть бути застосовані в будь-яких інших розділах математики.

Завдання з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення та математичної культури. Саме тому, опанувавши методи розв'язання задач з параметрами, ви успішно впораєтеся і з іншими завданнями.

Залишились питання? Не знаєте, як розв'язувати нерівності?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.