Презентація за темою розміщення та поєднання. Презентація до уроку з алгебри та початків аналізу на тему "Комбінаторика: переміщення, перестановки, поєднання"

«Завдання з комбінаторики» - Скільки можна вибрати одну книгу. Скільки способами можна сформувати екіпаж корабля, що складається з командира та інженера? Комбінаторика. Завдання № 2. К. Правило додавання Правило множення. Правило суми. Рішення: 30 + 40 = 70 (спосібами). Завдання №1. Завдання № 3. І. Нехай існує три кандидати на посаду командира та 2 на посаду інженера.

"Розміщення елементів" - Комбінаторика. Розміщення. Розміщення та поєднання. Формули: Для будь-яких натуральних чисел n і k, де n>k, справедливі рівності: Для числа виборів двох елементів з n даних: Поєднання. У комбінаториці поєднанням з n k називається набір k елементів, вибраних з даних n елементів.

«Статистичні характеристики» – математична статистика і т.д.. Статистичні дослідження. 5. Що таке статистика? 3. 9. Середнє арифметичне Розмах Мода Медіана. Етапи дослідницької діяльності. 2. 14. Є три види брехні: звичайна брехня, нахабна брехня і статистична. ».

«Комбінації» - Є літери А,В,С,Д. скласти всі комбінації лише з двох літер. Самостійна робота складалася з двох завдань. Завдання правильно вирішили 13 уч., а приклад-17. не впоралися з роботою 3 учні. Комбінаторні задачі. Завдання №1. Скільки учнів успішно вирішили самостійну працю. Роботу писали 30 уч.

"Перестановка елементів" - Прямий алгоритм лексикографічного перебору перестановок. Комбінаторика. Завдання про найбільшу зростаючу підпослідовність. Нумерація множини. Формальний опис алгоритму. Перестановки. Теорема про лексикографічний перебір перестановок. Перебір перестановок. Перебір перестановок елементарними транспозиціями.

«Комбінаторика 9 клас» - З 30 учасників зборів треба обрати голову та секретаря. Рішення: а) 3! = 1 · 2 · 3 = 6 б) 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. II. Позначення: P n Формула для обчислення перестановок: P n = A6 10 = n · (n -1) · (n-2) · … · 3 · 2 · 1 = n! 2-я група. Позначення Формула для обчислення поєднань: *. Відповіді та рішення. 2-я група.

Всього у темі 25 презентацій

КОМБІНАТОРИКА

Цілі уроку:

Дізнатись, що вивчає комбінаторика
Дізнатися, як виникла комбінаторика
Вивчити формули комбінаторики та навчитися застосовувати їх при вирішенні завдань

Народження комбінаторики як розділу математики пов'язане з працями Блеза Паскаля та П'єра Ферма з теорії азартних ігор.

Блез Паскаль

П'єр Ферма

Великий внесок у розвиток комбінаторних методів зробили Г.В. Лейбніц, Я. Бернуллі та Л. Ейлер.

Г.В. Лейбніц

Л. Ейлер.

Я. Бернуллі

Лемма. Нехай у множині A m елементів, а у множині B - n елементів. Тоді число всіх різних пар (a, b), де a in, b in B буде дорівнює mn. Доведення. Дійсно, з одним елементом з множини A ми можемо скласти n таких різних пар, а всього в множині A m елементів.

Розміщення, перестановки, поєднання Нехай у нас є безліч із трьох елементів a, b, c. Якими способами ми можемо вибрати із цих елементів два? ab,ac,bc,ba,ca,cb.

Перестановки Будемо переставляти їх усіма можливими способами (кількість об'єктів залишається незмінними, змінюється лише їхній порядок). Комбінації, що виходять, називаються перестановками, а їх число дорівнює Pn = n! =1 · 2 · 3 · ... · ( n-1) · n

Символ n! називається факторіалом і позначає добуток усіх цілих чисел від 1 до n. За визначенням вважають, що 0!=1 1!=1 Приклад всіх перестановок з n=3 об'єктів (різних фігур) - на зображенні. Відповідно до формули, їх має бути рівно P3=3!=1⋅2⋅3=6 так і виходить.

Зі зростанням кількості об'єктів кількість перестановок дуже швидко зростає і зображати їх наочно стає важко. Наприклад, кількість перестановок із 10 предметів - вже 3628800 (Більше 3 мільйонів!).

Розміщення Нехай є n різних об'єктів. Вибиратимемо з них m об'єктів і переставлятимемо всіма можливими способами між собою (тобто змінюється і склад обраних об'єктів, і їх порядок). Комбінації, що виходять, називаються розміщеннями з n об'єктів по m, а їх число дорівнює Aⁿm =n!(n−m)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)

Визначення. Розміщеннями множини з n різних елементів по m елементів (m ≤ n) називаються комбінації , які складені з даних n елементів m елементів і відрізняються або самими елементами, або порядком елементів.

Поєднання Нехай є n різних об'єктів. Вибиратимемо з них m об'єктів усілякими способами (тобто змінюється склад обраних об'єктів, але порядок не важливий). Комбінації, що виходять, називаються поєднаннями з n об'єктів по m, а їх число дорівнює Cmn=n!(n−m)!⋅m!

Приклад всіх поєднань з n = 3 об'єктів (різних фігур) по m = 2 - на малюнку знизу. Відповідно до формули, їх має бути рівно C23=3!(3−2)!⋅2!:3!=3. Ясно, що поєднань завжди менше ніж розміщень (оскільки при розміщеннях порядок важливий, а для поєднань - ні), причому саме в m! раз, тобто вірна формула зв'язку: Amn=Cmn⋅Pm.

Спосіб 1. В одній грі беруть участь 2 особи, отже, потрібно обчислити, скільки способів можна відібрати 2-х осіб з 15, причому порядок у таких парах не важливий. Скористаємося формулою для знаходження числа поєднань (вибірок, що відрізняються лише складом) з n різних елементів по m елементів

n!= 1⋅ 2 ⋅3⋅...⋅ n , при n=2, m=13.

Спосіб 2.Перший гравець зіграв 14 партій (з 2-м, 3-м, 4-м, і так до 15-го), 2-й гравець зіграв 13 партій (3-м, 4-м, і т.д. до 15-го) го, виключаємо те, що з першим партія вже була), третій гравець - 12 партій, 4-ий - 11 партій, 5 - 10 партій, 6 - 9 партій, 7 - 8 партій, 8 - 7 партій,

а 15-й уже грав із усіма.

Разом: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 партій

ВІДПОВІДЬ. 105 партій.

Вчитель математики Аксьонова Світлана Валеріївна

Бугрівська ЗОШ Всеволожського району Ленінградської області

1. Організаційний момент
Привітання учнів, повідомлення теми та мети уроку
2. Повторення та закріплення пройденого матеріалу
· Відповіді на запитання щодо домашнього завдання (розбір невирішених завдань).
· Контроль засвоєння матеріалу (письмовий опитування).
Варіант 1
1. Достовірна подія та її ймовірність.
2. а) У випадковому експерименті кидають дві гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що у сумі випаде 7 очок. Результат округліть до сотих.
б) У чемпіонаті з гімнастики беруть участь 40 спортсменок: 12 з Аргентини, 9 з Бразилії, решта - з Парагваю. Порядок, у якому виступають гімнастки, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсменка, яка виступає першою, виявиться з Парагваю.
в) У середньому із 500 садових насосів, що надійшли у продаж, 4 підтікають. Знайдіть ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає.
різновид 2
1. Неможлива подія та її ймовірність.
2. а) У випадковому експерименті кидають дві гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що у сумі випаде 9 очок. Результат округліть до сотих.
б) У чемпіонаті з гімнастики беруть участь 64 спортсменки: 20 з Японії, 28 з Китаю, решта - з Кореї. Порядок, у якому виступають гімнастки, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсменка, яка виступає першою, виявиться з Кореї.
в) Фабрика випускає сумки. У середньому на 170 якісних сумок припадає шість сумок із прихованими дефектами. Знайдіть ймовірність того, що куплена сумка виявиться якісною. Результат округліть до сотих.

Відповідь: варіант 1. 2. а) 0,17; б) 0,475; в) 0,992.
варіант 2. 2. а) 0,11; б) 0,25; в) 0,97.
3. Вивчення нового матеріалу
Клас поділено на групи, які займалися збором інформації, оформленням та поданням на уроці результатів своєї праці (виступ учнів із підсумками своєї роботи).
1 група(Знайти інформацію про те, які фактори (причини) сприяли появі науки комбінаторики, які вчені стояли біля витоків виникнення).
2 група(Знайти інформацію про те, чи існує комбінаторика в реальному житті, якщо так, то в яких галузях застосовується).

3 група (знайти інформацію у тому, які завдання називаються комбінаторними як і їх вирішити, розглянути кожен спосіб розв'язання і зробити добірку кількох завдань, вирішуваних конкретним методом).
3.1. 1 група.
Представникам різних спеціальностей доводиться вирішувати завдання, у яких розглядаються ті чи інші комбінації, складені з букв, цифр та інших об'єктів.
Під час розгляду найпростіших імовірнісних завдань нам доводилося підраховувати кількість різних результатів (комбінацій). Для небагатьох елементів такі обчислення зробити нескладно. В іншому випадку таке завдання становить значну складність. (слайд 1)

Комбінаторикоюназивають область математики, яка вивчає питання про кількість різних комбінацій (що задовольняють тим чи іншим умовам), які можна скласти з цих елементів.
Комбінаторика- Розділ математики, в якому вивчаються найпростіші «з'єднання». Перестановки - з'єднання, які можна становити з n предметів, змінюючи всіма можливими способами їх порядок; число їх Розміщення - з'єднання, що містять по m предметів у складі n даних, що відрізняються або порядком предметів, або самими предметами; число їх поєднання - з'єднання, що містять по m предметів з n, що відрізняються один від одного, принаймні одним предметом (У сучасному тлумачному словнику вид. «Велика Радянська Енциклопедія»).
Із завданнями, в яких доводилося вибирати ті чи інші предмети, розташовувати їх у певному порядку і відшукувати серед різних найкращих розташувань, люди зіткнулися ще в доісторичну епоху, обираючи найкраще становище мисливців під час полювання, воїнів - під час битви, інструментів - під час роботи . (слайд 2)

· Термін "комбінаторика" був введений в математичний побут Лейбніцем, який в 1666 опублікував свою працю "Міркування про комбінаторне мистецтво". (Слайд 3)
· Спочатку комбінаторика виникла в XVI у зв'язку з поширенням різних азартних ігор. (слайд 4)
…
3.1. 2 група.(слайд 1)
Чудово, що наука, яка розпочала розгляд азартних ігор, обіцяє стати найважливішим об'єктом людського знання. Адже здебільшого життєві питання є насправді завданнями з теорії ймовірностей.
П. Лаплас

Області застосування комбінаторики:
. навчальні заклади (складання розкладів) (слайд 2)
. сфера громадського харчування (складання меню)
. лінгвістика (розгляд варіантів комбінацій букв)
. географія (розмальовка карт) (слайд 3)
…
…
3.1. 3 група
Завдання, в яких йдеться про ті чи інші комбінації об'єктів, називаються комбінаторними.(слайд 1)
Правило складання: якщо деякий об'єкт А можна вибрати m способами, а інший об'єкт можна вибрати n способами, то вибір «або А, або В» можна здійснити m+n способами.
(слайд 2)
Наприклад:
· На тарілці лежать 5 яблук та 4 апельсини. Скільки можна вибрати один плід?
За умовою завдання яблуко можна вибрати п'ятьма способами, апельсин – чотирма. Оскільки в задачі йдеться про вибір «або яблуко, або апельсин», то його, згідно з правилом додавання, можна здійснити 5+4=9 способами.
· Давайте розглянемо таке завдання: скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 1,4,7, використовуючи в записі числа кожну з них не більше одного разу? (Слайд 3)
· Рішення: для того, щоб не пропустити і не повторити жодне з чисел, будемо записувати їх у порядку зростання. Спочатку запишемо числа, що починаються з цифри 1, потім цифри 4, і, нарешті, цифри 7:
14, 17, 41, 47, 71, 74.
Відповідь: 6.
Цей метод називається перебором варіантів.Таким чином, їх трьох даних цифр можна скласти лише 6 різних двоцифрових чисел.
Це завдання можна вирішити й іншим способом. Його назва - дерево можливі варіанти.Для цього завдання побудовано спеціальну схему. (слайд 4) (слайд 5)
Ставимо зірочку. Вона позначатиме кількість можливих варіантів.
Далі відводимо від зірочки 3 відрізки. За умови завдання дано 3 цифри - 1, 4, 7.
Ставимо ці цифри на кінцях відрізків. Вони означатимуть число десятків у цьому числі.
Далі від кожної цифри проводимо по 2 відрізки.
На кінцях цих відрізків записуємо також цифри 1, 4, 7. Вони позначатимуть число одиниць.
Розглянемо, які числа вийшли: 14, 17, 41, 47, 71, 74. Тобто всього вийшло 6 чисел.
Відповідь: 6.

Ця схема справді схожа на дерево, правда "вгору ногами" і без ствола.
Правило множення: якщо об'єкт А можна вибрати m способами і якщо після кожного такого вибору об'єкт можна вибрати n способами, то вибір пари (А,В) в зазначеному порядку можна здійснити m ∙ n методами. (слайд 6)
· Скільки двоцифрових чисел можна скласти із цифр 1,4,7, використовуючи в записі числа кожну з них не більше одного разу?
Це завдання можна вирішити по-іншому і набагато швидше, не будуючи дерева можливих варіантів. Міркуватимемо так. Першу цифру двозначного числа можна вибрати трьома способами. Так як після вибору першої цифри залишаться дві, то другу цифру можна вибрати з цифр, що залишилися, вже двома способами. Отже, загальна кількість шуканих трицифрових чисел дорівнює добутку 3∙2, тобто. 6.
· Скільки п'ятизначних чисел можна становити з цифр 5, 9, 0, 6?

За правилом множення отримуємо: 4∙4∙4∙4=256 чисел.
(Слайд 7)
Перестановки -з'єднання, кожне з яких містить n різних елементів, взятих у порядку.(слайд 8)
P n = n! = 1 · 2 · 3 · … · (n -2) · (n -1) · n
Завдання.(слайд 9)
Скільки можна розставити на полиці сім різних книг?
Рішення:
Число таких способів дорівнює числу перестановок із семи елементів,
тобто. P 7 = 7! = 1 · 2 · 3 · … · 7 = 5040.
Відповідь: 5040.
Завдання.(слайд 10)
Є 10 різних книг, три з яких – довідники. Скількими способами
Чи можна розставити ці книги на полиці так, щоб усі довідники стояли поряд?
Рішення:
Т.к. у довідники повинні стояти поруч, то розглядатимемо їх як одну книгу. Тоді на полиці треба розставити 10 – 3+1=8 книг. Це можна зробити P 8 методами. Для кожної з отриманих комбінацій можна зробити P 3 перестановок довідників.
Тому кількість способів розташування книг на полиці дорівнює добутку:
P 8 · P 3 = 8! · 3! = 40320 · 6 = 241920.
Відповідь: 241920.
…
…

Перестановки Розміщення Поєднання Ймовірність

МОУ ЗОШ № 30 м.Волгоград

Вчитель математики Склейнова Н.І.

Факторіал

Визначення 1

Факторіалом називається добуток перших n натуральних чисел

n! = 1 * 2 * 2 * ... (n-2) (n-1) n

2!=1*2=2

3!=1*2*3=6

4!= 1*2*3*4=24

5!=1*2*3*4*5=120

Перестановки

Визначення 2

Перестановкою з n елементів називається кожне розташування цих елементів у порядку Р = n!

Приклад 1

Скільки способами можуть бути розставлені 8 учасниць фінального забігу на восьми бігових доріжках?

Р 8 =8!=1*2*3*4*5*6*7*8= 40320(способів)

Розміщення

Визначення 3

Розміщенням з n елементів по k (k≤ n) називається будь-яка множина, що складається з будь-яких k елементів, взятих у певному порядку з даних n елементів

Приклад 2

Учні другого класу вивчають 8 предметів. Скільки способами можна скласти розклад на один день, щоб у ньому було 4 різних предмети?

А 8 4 =8*7*6*5= 1680 (способів)

А n k =

Поєднання

Визначення 4

Поєднанням з n елементів по k називається будь-яка множина, складена з k елементів, вибраних з даних n елементів

З n k =

Приклад 3

З 15 членів туристичної групи треба обрати трьох чергових. Скільки можна зробити цей вибір?

З 15 3 =15!/(3!*12!)=(13*14*15)/(1*2*3)= 455(способів)

Ймовірність

Визначення 5

Імовірністю події А називається відношення числа сприятливих для нього результатів N(А) випробування до всіх рівноможливих результатів N

Р(А) = N(А)/N

Приклад 4

З 25 екзаменаційних квитків з геометрії учень підготував 11 перших та 8 останніх квитків. Якою є ймовірність того, що на іспиті йому дістанеться квиток, який він не підготував?

Р(А)=(25-11-8)/25= 0,24

Складання ймовірностей

Визначення 6

Якщо подія означає, що настає одна з двох несумісних подій: А або В, то ймовірність події С дорівнює сумі ймовірностей подій А і В

Р(С)=Р(А)+Р(В)

Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1

Р(А)+Р( А )=1

Розмноження ймовірностей

Визначення 7

Якщо подія означає спільний наступ двох незалежних подій А і В, то ймовірність події С дорівнює добутку ймовірностей подій А і В

Р(С)=Р(А)*Р(В)

Ймовірність

Сума ймовірностей

Сума ймовірностей двох подій дорівнює сумі ймовірності добутку цих подій та ймовірності суми цих подій

Р (А) + Р (В) = Р (А * В) + Р (А + В)

Ймовірність суми

Імовірність суми двох подій дорівнює різниці суми ймовірностей цих подій та добутку ймовірностей цих подій

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)*Р(В)

Завдання 1

Рішення

Умова

Імовірність кожного влучення дорівнює 0,8.

Біатлоніст 5 разів стріляє по мішенях. Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайдіть ймовірність того, що біатлоніст перші 3 рази потрапив у мішені, а останні 2 рази схибив. Результат округліть до сотих.

Імовірність кожного промаху дорівнює 1-0,8 = 0,2 .

За формулою множення ймовірностей отримаємо

Р(А )=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2

Р(А )= 0,02048 0,02

Відповідь: 0,02

Завдання 2

Умова

Рішення

У казковій країні буває два типи погоди: хороша і відмінна, причому погода, встановившись вранці, тримається незмінною весь день. Відомо, що із ймовірністю 0,6 погода завтра буде такою самою, як і сьогодні. Сьогодні 18 вересня погода в Казковій країні хороша. Знайдіть ймовірність того, що 21 вересня у Казковій країні буде чудова погода.

Так як 18 вересня погода хороша, то 19 вересня з ймовірністю 0,6 хороша погода, а з ймовірністю 0,4 відмінна.

Якщо 19 вересня погода хороша, то 20 вересня ймовірність хорошої погоди дорівнює 0,6 * 0,6 = 0,36

Імовірність чудової погоди дорівнює 0,6 * 0,4 = 0,24

Аналогічно, якщо 19 вересня погода відмінна, то з ймовірністю 0,4 * 0,6 = 0,24 вона буде чудовою і 20 вересня. Хорошою 20 вересня погода буде із ймовірністю 0,4*0,4=0,16.

Розмірковуючи аналогічно, отримуємо, що ймовірність чудової погоди 21 вересня дорівнюватиме ймовірності суми: 0,6*0,24+ +0,6*0,24+0,4*0,16+0,6*0,24= 0,496

Завдання 3

Умова

Рішення

Автоматична лінія виготовляє батареї. Імовірність того, що готова батарея несправна, дорівнює 0,02. Перед упакуванням кожна батарея проходить систему контролю. Імовірність того, що система заблокує несправну батарею, дорівнює 0,98. Імовірність того, що система помилково заблокує справну батарейку, дорівнює 0,03. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана виготовлена батарея буде заблокована системою контролю.

Нехай подія А=(батарейка буде заблокована), тоді ймовірність настання цієї події можна знайти як поєднання перетинів подій.

Р(А) = 0,02 * 0,98 +0,98 * 0,03

Р(А)=0,98(0,02+0,03)

Р(А) = 0,98 * 0,05 = 0,049

Відповідь: 0,049

Література

Макарічев Ю.М. Алгебра: елементи статистики та теорії ймовірностей: навч. посібник для учнів загальноосвіт. Установ. Видавництво «Освіта», 2003

Мордковіч А.Г., Семенов П.В. Алгебра та початку математичного аналізу. Частина 1. Підручник для загальноосвітніх організацій. Видавництво «Мнемозина», 2015

Лисенка Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Підготовка до ЄДІ-2016. Видавництво ТОВ «Легіон», 2015

Висоцький І.Р., Ященко І.В. ЄДІ 2016. Математика. Теорія імовірності. Робочий зошит. Видавництво МЦНМО, 2016

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Поєднання

Число всіх виборів n елементів з m даних без урахування порядку називають числом поєднань з m елементів по n. Всі поєднання відрізняються один від одного хоча б одним елементом; Порядок елементів тут не суттєвий; Різниця між поєднанням та розміщенням полягає в тому, що якщо в розміщенні переставити місцями елементи, то вийде інше розміщення, але поєднання не залежить від порядку елементів, що входять до нього.

Число всіх виборів n елементів з m даних без урахування порядку називають числом поєднань з m елементів по n. Знайдіть: Число сполучень з 6 по 3: Число сполучень з 4 по 4:

Завдання №1 З 20 учнів треба обрати двох чергових. Скільки способами це можна зробити? Рішення: Треба вибрати двох осіб із 20. Зрозуміло, що від порядку вибору нічого не залежить, тобто Іванов – Петров чи Петров – Іванов – це одна й та сама пара чергових. Отже, це будуть поєднання із 20 по 2.

Завдання №2. У Мінотавра в лабіринті нудиться 25 бранців. а) Скількими способами він може вибрати собі трьох із них на сніданок, обід та вечерю? б) А скільки існує способів, щоб відпустити трьох бранців на волю? Рішення: А) Порядок важливий. Б) Порядок не важливий

Завдання №3 У класі 27 учнів, із них потрібно вибрати трьох. Скільки способами це можна зробити, якщо: а) перший учень повинен вирішити завдання, другий - сходити за крейдою, третій - піти чергувати в їдальню; б) їм слід заспівати хором? 6

Скільки різними способами із семи учасників математичного гуртка можна скласти команду з двох осіб для участі в олімпіаді? Завдання №4

Завдання №5 У відділі працюють 5 провідних та 8 старших співробітників. У відрядження треба надіслати двох провідних та двох старших наукових співробітників. Скільки способами може бути зроблений вибір?

З перетасованої колоди, що складається з 36 карт, навмання взято 4 карти. Яка ймовірність того, що всі взяті карти тузи? Завдання №6

Завдання №7 У партії із 50 деталей перебувають 10 бракованих. Виймають із партії навмання чотири деталі. Визначити, якою є ймовірність того, що всі 4 деталі виявляться бракованими. Усього результатів: Сприятливих результатів: Можливість.