Властивості поділу суми на число. Властивості поділу натурального числа на нуль

Розподіл числа на твір. Познайомитися та відпрацювати прийоми розподілу числа на твір.

Слайд 8із презентації «Математика 4 клас «Ділення»». Розмір архіву із презентацією 2492 КБ.

Математика 4 клас

«Гра з математики в 4 класі» — Десять солдатів будувалися в ряд. Математичний КВК. Зміркуй. Граємо із числами. У двох носорогів 2 роги. Загадкові числа. Завдання для уважних. Яка кількість я задумала. Веселі завдання. У кишені Колі монети дзвеніли. Знайди "зайвий" символ. Вирази у дрібніших одиницях. Яка кількість ніколи не може бути дільником.

«Дії з багатозначними числами» — Індивідуальна робота. V. Вирішення завдань на рух у протилежні сторони. Фізкультхвилинка. Повідомлення теми та цілей уроку. Хід уроку. Розгадайте ребус. Підбиття підсумків уроку. Е: Завдання: За 1 рейс машина перевозить 172 ящики вантажу. Усний рахунок. Організаційний момент. Розв'язання задач на дії з багатозначними числами.

«Завдання з множини» — №2 За прісною водою. Допоможете? Мис Художників. Ми купаємось із Дельфінчиком! "Бременських музикантів". Переселяємо безліч. Безліч. № 6 на стор.4. Птахів, які можуть плавати. Гей там на кораблі! Голосних літер у російській мові. №1 Поповнюємо запаси. Тобто, здравствуйте! Братів у казці «Кіт у чоботях». Вітаю вас, мореплавці, на нашому острові! Вітаю вас на острові Пограй! Полюси Землі.

«Розподільна властивість» - «Математику вже за те любити слід, що вона розум у порядок наводить». Маса індички. Знайдіть значення виразів двома способами. Розподільні властивостімноження. Запишіть вирази, рівні даних. Тест. Вклад М. В. Ломоносова у науки. Усний рахунок. Розподіліть рівності у два стовпчики. Перевірка на зразок.

«Елементи геометрії у початковій школі» Раціональні методирозв'язання задач. Геометричні величини. Прямі лінії. Безліч геометричних фігур. Три палички. Просторові відносини. Прямокутний лист. Вивчення основ геометрії. Оригінальність та самостійність думки. Приклади завдань відкритого типу.

«Одиниці площі 4 клас» — Математики мають свою мову. Одиниці площі. Сотка – це нова одиниця площі. Розгляньте запис на дошці. Формули. Загальна протяжність кордонів Росії – 60 933 км. Зробіть запис у зошит, розташувавши ці числа у порядку зростання. Математичне лото. Завдання. Лови помилку. Сотка – це ар. гектар.

Всього у темі «Математика 4 клас» 51 презентація

Розподіл цілих чисел, правила, приклади.

У цій статті ми розберемо поділ цілих чисел без решти. Тут ми говоритимемо лише про розподіл таких цілих чисел, абсолютні величини яких діляться націло (дивіться сенс розподілу натуральних чисел без залишку). Про поділ цілих чисел із залишком ми поговоримо в окремій статті.

Спочатку ми введемо терміни та позначення, які будемо використовувати для опису поділу цілих чисел. Далі вкажемо сенс поділу цілих чисел, який допоможе нам отримати правила поділу цілих позитивних, цілих негативних і цілих чисел з різними знаками. Тут ми розглянемо приклади застосування правил розподілу цілих чисел. Нарешті ми покажемо, як виконується перевірка результату поділу цілих чисел.

Терміни та позначення

Для опису розподілу цілих чисел ми будемо використовувати ті ж терміни та позначення, які використовували при описі розподілу натуральних чисел (дивіться розділ теорії ділене, дільник, приватне та розділити знак). Нагадаємо їх.

Ціле число, яке ділять, називається ділимим. Ціле число, на яке проводиться розподіл, називається дільником. Результат поділу цілих чисел називається приватним.

Поділ позначається символом виду:, який розташовується між дільником і дільником (іноді зустрічається символ ÷, який також позначає поділ). Розподіл цілого числа a на ціле число b можна записати за допомогою символу: як a:b . Якщо результаті поділу цілого числа a на ціле число b виходить число c , цей факт зручно записувати як рівності a:b=c . Вираз виду a:b також називають частковим, як і значення цього виразу.

Сенс поділу цілих чисел

Ми знаємо про існування зв'язку між множенням та розподілом натуральних чисел. З цього зв'язку ми зробили висновок, що розподіл – це знаходження невідомого множника, коли відомий другий множник і твір. Поділу цілих чисел надамо цей же зміст. Тобто, розподіл цілих чисел - це знаходження за цим твором і одному з цілих множників іншого цілого множника.

Виходячи з сенсу поділу цілих чисел, ми можемо сказати, що якщо добуток двох цілих чисел a і b дорівнює c, то приватне від поділу c на a дорівнює b, і приватне від поділу c на b дорівнює a. Наведемо приклад. Допустимо нам відомо, що добуток двох цілих чисел 5 і −7 дорівнює −35 , тоді ми можемо сказати, що приватний (−35):5 дорівнює −7 , а приватний (−35):(−7) дорівнює 5 .

Зазначимо, що від ділення цілого числа a на ціле число b є цілим числом (якщо a ділиться на b без залишку).

Правила поділу цілих чисел

Сенс поділу цілих чисел, зазначений у попередньому пункті, дозволяє стверджувати, що один із двох множників є приватним від поділу їхнього твору на інший множник. Але він не дає способу знаходження невідомого множника за відомим множником і твором. Наприклад, рівність 6·(−7)=−42 дозволяє нам сказати, що приватні (−42):6 та (−42):(−7) рівні відповідно −7 та 6 . Однак якщо нам відомо, що добуток двох множників дорівнює 45 і один із множників дорівнює −5 , то сенс розподілу цілих чисел нам не дає прямої відповіді на питання, чому дорівнює інший множник.

Ці міркування приводять нас до такого висновку: нам потрібні правила, що дозволяють виконувати поділ одного цілого числа на інше. Нині ми їх і отримаємо. Ці правила дозволять звести поділ цілих чисел до поділу натуральних чисел.

Розподіл цілих позитивних чисел

Цілі позитивні числа - це натуральні числа, тому розподіл цілих позитивних чисел проводиться за всіма правилами розподілу натуральних чисел. Тут більше нічого додати, варто лише розглянути рішення пари прикладів, у яких проводиться розподіл цілих позитивних чисел.

Виконайте розподіл цілого позитивного числа 104 на ціле позитивне число 8 .

Подільне 104 в даному випадку можна подати у вигляді суми 80+24 , після чого скористатися правилом поділу суми на дане число. Отримуємо 104:8 = (80 +24): 8 = 80:8 +24: 8 = 10 +3 = 13 .

Обчисліть приватне 308 716:452 .

У цьому випадку приватне від поділу даних цілих позитивних чисел найпростіше отримати, виконавши поділ у стовпчик:

Правило поділу цілих негативних чисел, приклади

Сформулювати правило поділу цілих негативних чисел нам допоможуть такі міркування.

Нехай нам потрібно розділити ціле від'ємне число a на ціле від'ємне число b. Позначимо буквою c шукане приватне від розподілу a на b, тобто, a:b=c. З'ясуємо спочатку, чому дорівнює абсолютна величина числа c.

З огляду на сенсу поділу цілих чисел має бути справедлива рівність b·c=a . Тоді. Властивості модуля числа дозволяють нам записати рівність , отже, . З отриманої рівності випливає, що , тобто, абсолютна величина частки від поділу дорівнює частки від поділу модулів діленого і дільника.

Залишилось визначити знак числа c. Тобто з'ясуємо, позитивним або негативним цілим числом є результат поділу цілих негативних чисел.

За змістом поділу цілих чисел справедлива рівність b · c = a. Тоді з правил множення цілих чисел випливає, що число c має бути позитивним. В іншому випадку b · c буде добутком цілих негативних чисел, яке за правилом множення дорівнюватиме добутку модулів множників, отже, буде позитивним числом, а у нас число a - ціле негативне. Таким чином, приватне c від поділу цілих негативних цілих чисел є ціле позитивне число.

Тепер поєднаємо зроблені висновки в правило поділу цілих негативних чисел. Щоб розділити ціле від'ємне число на ціле від'ємне число, потрібно ділити модуль розділити на модуль дільника . Тобто, якщо a та b – цілі негативні числа, то .

Розглянемо застосування правила розподілу цілих негативних чисел під час вирішення прикладів.

Розділіть ціле від'ємне число −92 на ціле від'ємне число −4 .

За правилом поділу цілих негативних чисел шуканий результат дорівнює частці від поділу модуля поділеного на модуль дільника. Отримуємо.

Розподіл натуральних чисел: правила, приклади та рішення.

У цій статті ми розберемося із правилами, за якими проводиться розподіл натуральних чисел. Тут ми розглядатимемо лише розподіл натуральних чисел без залишку, або, як його ще називають, розподіл націло(тобто тільки ті випадки, в яких зберігається сенс поділу натуральних чисел). Розподіл натуральних чисел із залишком> заслуговує на окрему статтю.

Правила розподілу натуральних чисел неможливо сформулювати, а то й простежити зв'язок розподілу з множенням, як і зроблено на початку цієї статті. Далі розібрані самі прості правилаподілу, які безпосередньо випливають із властивостей цієї дії — це поділ рівних натуральних чисел і поділ натурального числана одиницю. Після цього докладно на прикладах розглянуто поділ із використанням таблиці множення. Далі показано, як виконується розподіл на десять, сто, тисячу і т.д., розподіл натуральних чисел, записи яких закінчуються цифрами 0 і всі інші випадки. Весь матеріал забезпечений прикладами з детальним описомрішень. Наприкінці статті показано, як здійснюється перевірка результату поділу за допомогою множення. У результаті Ви будете володіти всіма навичками, необхідними для поділу довільних натуральних чисел.

Навігація на сторінці.

Зв'язок розподілу з множенням

Давайте простежимо зв'язок між поділом та множенням. Для цього пригадаємо, що поділ пов'язаний з поданням безлічі, яку ми ділимо, у вигляді об'єднання кількох однакових множин, на які ми ділимо вихідну множину (про це ми говорили в розділі загальне уявлення про поділ). У свою чергу, множення пов'язане з об'єднанням деякої кількості однакових множин в одну (при необхідності звертайтеся до розділу теорії загальне уявлення про множення). Таким чином, розподіл є дією, зворотною до множення.

Пояснимо, що означає остання фраза.

Для цього розглянемо таку ситуацію. Нехай ми маємо b множин з предметів у кожному, і ми об'єднуємо їх в одну множину, в якій виходить a предметів. З сенсу множення натуральних чисел можна стверджувати, що описаному дії відповідає рівність c·b=a . Тепер отриману множину знову розділимо на b однакових множин. Зрозуміло, що при цьому в кожному отриманому множині буде з предметів. Тоді, згадавши сенс розподілу натуральних чисел, можна записати рівність a: b = c.

Приходимо до наступного твердження: якщо добуток натуральних чисел c і b дорівнює a, то приватна від поділу a на b дорівнює c.

Отже, якщо c · b = a, то a: b = c. Однак з переміщувальної властивості множення натуральних чисел ми можемо рівність c·b=a переписати як b·c=a , звідки випливає, що a:c=b . Таким чином, якщо ми знаємо, що добуток двох натуральних чисел c і b дорівнює a , тобто c b = a , то ми можемо сказати, що приватні a: b і a: c рівні c і b відповідно .

На підставі всієї наведеної інформації можна дати визначення розподілу натуральних чисел на основі множення.

Поділ- це дія, за допомогою якого знаходиться один множник, коли відомий твір та інший множник.

За підсумками цього визначення ми будуватимемо правила розподілу натуральних чисел.

Розподіл натуральних чисел як послідовне віднімання

У принципі знання того, що розподіл є дією, оберненою до множення, достатньо для того, щоб навчитися проводити цю дію. Однак хочеться розповісти ще про один підхід до проведення розподілу натуральних чисел, в якому розподіл розглядається як послідовне віднімання. Пов'язано це з його простотою та очевидністю.

Щоб усе було максимально зрозуміло, розглянемо приклад.

Чому дорівнює результат розподілу 12 на 4?

Відштовхуючись від сенсу поділу натуральних чисел, поставлене завдання можна змоделювати так: є 12 предметів, їх потрібно розділити на рівні купки по 4 предмети в кожній, кількість отриманих купок дасть нам відповідь на питання, чому 12:4.

Давайте послідовно крок за кроком з вихідних предметів забиратимемо по 4 предмети і формуватимемо з них необхідні купки до того моменту, поки не закінчаться вихідні предмети. Кількість кроків, які нам потрібно зробити, вкаже нам кількість купок, що виходять, а значить і відповідь на поставлене запитання.

Отже, з вихідних 12 предметів відкладаємо 4 убік, вони утворюють першу купку. Після цього дії у вихідній купі залишається 12-4 = 8 предметів (при необхідності згадайте сенс віднімання натуральних чисел). З цих 8 предметів забираємо ще 4 предмети і формуємо з них другу купку. Після цього дії у вихідній купі предметів залишається 8-4 = 4 предмети. Очевидно, що з предметів, що залишилися, можна сформувати ще одну, третю за рахунком, купку, після чого у нас не залишиться жодного предмета у вихідній купі (тобто, у нас буде 4-4=0 предметів у вихідній купі). Таким чином, ми отримали 3 купки і можна сказати, що ми виконали поділ натурального числа 12 на натуральне число 4 , при цьому отримали 3 .

Тепер давайте відійдемо від предметів і подивимося, що ми робили з натуральними числами 12 і 4 ? Ми проводили послідовне віднімання дільника 4 до того моменту, поки не отримали нуль, при цьому вважали кількість необхідних дій, яка дала нам результат поділу.

Висновок: розподіл одного натурального числа на інше можна провести, виконуючи послідовне віднімання.

Для закріплення цього пункту статті розглянемо рішення ще одного прикладу.

Обчислимо приватне 108:27 , проводячи послідовне віднімання.

Перша дія: 108-27 = 81 (при труднощі з віднімання дивіться статтю віднімання натуральних чисел).

Друга дія: 81-27 = 54 .

Третя дія: 54-27 = 27 .

Отже, ми отримали нуль, послідовно провівши віднімання 4 рази, отже, 108:27 = 4 .

Варто зауважити, що розподіл натуральних чисел у такий спосіб зручно застосовувати лише тоді, коли потрібна невелика кількість послідовних віднімань для отримання результату. В інших випадках використовуються правила розподілу натуральних чисел, які ми детально розберемо нижче.

Розподіл рівних натуральних чисел

Приватне від розподілу натурального числа на рівне йому натуральне число дорівнює одиниці. Це твердження є властивістю розподілу рівних натуральних чисел.

Наприклад, 1:1=1 , 143:143=1 , результатом розподілу натуральних чисел 10555 і 10555 також є одиниця.

Розподіл натурального числа на одиницю

Властивість розподілу натурального числа на одиницю дозволяє нам відразу сформулювати відповідне правило розподілу. Воно звучить так: приватне від розподілу будь-якого натурального числа на одиницю дорівнює ділимому натуральному числу.

Наприклад, 21:1 = 21, 13003:1 = 13003, аналогічно, результатом поділу натурального числа 555987 на одиницю є число 555987.

Розподіл натуральних чисел з використанням таблиці множення

Як відомо, таблиця множення дозволяє знайти добуток двох однозначних натуральних чисел.

По таблиці множення можна знайти один із двох однозначних множників, якщо відомо твір і інший множник. А ми в першому пункті цієї статті з'ясували, що розподіл – це знаходження одного з множників за твором та іншим множником. Таким чином, за допомогою таблиці множення можна проводити поділ будь-якого з натуральних чисел, розташованих у таблиці множення на рожевому фоні, на натуральне однозначне число.

Наприклад, розділимо 48 на 6 . За допомогою таблиці множення це можна зробити одним із двох способів. Наведемо спочатку графічну ілюстрацію, після чого дамо опис.

Перший спосіб (відповідає малюнку вище зліва). Знаходимо ділене (у прикладі це натуральне число 48) у тому стовпці, у верхній осередку якого перебуває дільник (для прикладу число 6). Результат поділу знаходиться в крайньому лівому осередку того рядка, в якому розташоване знайдене поділення. Для нашого прикладу це число 8, яке обведене коло синього кольору.

Другий спосіб (відповідає малюнку вище праворуч). Знаходимо ділене 48 у тому рядку, в лівому осередку якого розташований дільник 6 . Шукане приватне в цьому випадку знаходиться у верхньому осередку того стовпця, в якому розташоване знайдене ділене 48 . Результат обведений синім колом.

Отже, за допомогою таблиці множення розділили 48 на 6 і отримали 8 .

Для закріплення матеріалу наведемо креслення, що показує процес розподілу натурального числа 7 на 1 .

Розподіл на 10, 100, 1000 і т.д.

Відразу дамо формулювання правила розподілу натуральних чисел на 10 , 100 , 1 000 , ... (вважатимемо, що таке розподіл можливо) і наведемо приклад, а потім наведемо необхідні роз'яснення.

Результатом поділу натурального числа на 10, 100, 1000 і т.д. є натуральне число, запис якого виходить із запису ділимого, якщо праворуч відкинути один, два, три і так далі нулів (тобто, відкидається стільки цифр 0 скільки їх міститься в записі ділимого).

Наприклад, приватне від розподілу числа 30 на 10 дорівнює 3 (від ділиться 30 праворуч відкинули одну цифру 0), а приватне 120 000:1 000 дорівнює 120 (від 120 000 праворуч прибрали три цифри 0).

Озвучене правило досить просто довести. Для цього достатньо згадати правила множення натурального числа на десять, сто, тисячу тощо. Наведемо приклад. Нехай нам потрібно обчислити приватне 10 200:100. Так як 102 · 100 = 10 200 , то через зв'язок між додаванням і множенням результатом поділу натурального числа 10 200 на 100 є натуральне число 102 .

Подання поділеного у вигляді твору

Іноді провести розподіл натуральних чисел дозволяє подання поділеного у вигляді добутку двох чисел, хоча б одне з яких поділяється на дільник. Цей спосіб розподілу заснований на властивості розподілу добутку двох чисел на натуральне число.

Розглянемо один із найпростіших характерних прикладів.

Розділимо 30 на 3 .

Очевидно, що ділене 30 можна подати у вигляді добутку натуральних чисел 3 і 10 . Маємо 30:3 = (3 · 10): 3 . Скористайтеся властивістю поділу твору двох чисел на натуральне число. Маємо (3 · 10): 3 = (3: 3) · 10 = 1 · 10 = 10 . Отже, частка від розподілу 30 на 3 дорівнює 10 .

Наведемо рішення ще кількох аналогічних прикладів.

Розділіть 7200 на 72 .

У цьому випадку ділене 7200 можна розглядати як добуток чисел 72 і 100 . При цьому отримуємо наступний результат: 7 200: 72 = (72 · 100): 72 = (72: 72) · 100 = 1 · 100 = 100 .

Розділимо 1600000 на 160 .

Вочевидь, що 1 600 000 – це твір 160 і 10 000 , тому 1 600 000:160=(160·10 000):160= (160:160)·10 000=1·10 000=10 00

1 600 000:160=10 000 .

У більш складних прикладахпри поданні діленого як твори доводиться орієнтуватися на таблицю множення. З таких прикладів буде зрозуміло, що ми маємо на увазі.

Виконайте поділ натурального числа 5400 на 9 .

По таблиці множення ми можемо розділити 54 на 9 тому ділене 5 400 логічно подати у вигляді твору 54 · 100 і закінчити розподіл: 5 400:9 = (54 · 100): 9 = (54:9) · 100 = 6 · 100 =600.

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще одного прикладу.

Обчислимо приватне 120:4.

Для цього ділене 120 представимо у вигляді твору 12 і 10, після чого скористаємось властивістю поділу твору двох чисел на натуральне число. Маємо 120:4 = (12 · 10): 4 = (12:4) · 10 = 3 · 10 = 30 .

Розподіл натуральних чисел, записи яких закінчуються цифрами 0

Тут треба буде згадати властивість поділу натурального числа на добуток двох чисел. Пояснимо, навіщо. Щоб виконати розподіл натуральних чисел, записи яких закінчуються цифрами 0, дільник подається у вигляді добутку двох натуральних чисел, після чого застосовується згадана властивість розподілу.

Розберемося з цим на прикладах. Візьмемо два натуральні числа, записи яких закінчуються цифрами нуль, і розділимо їх.

Розділимо 490 на 70 .

Так як 70 = 10 · 7, то 490: 70 = 490: (10 · 7). Останній вираз у силу властивості розподілу натурального числа на твір дорівнює (490:10):7. Ділити на 10 ми навчилися в одному з попередніх пунктів, отримуємо (490:10): 7 = 49:7. Отримане приватне знаходимо по таблиці множення, в результаті отримуємо 490: 70 = 7 .

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще одного складнішого прикладу.

Обчислимо приватне 54 000:5 400 .

Представляємо 5 400 у вигляді твору 100 · 54 і виконуємо розподіл натурального числа на твір: 54 000:5 400 = 54 000: (100 · 54) = (54 000:100): 54 = 540:54. Тут залишилося уявити 540 як 54·10 (при необхідності поверніться до попереднього пункту) і закінчити обчислення: 540:6=(54·10):54= (54:54)·10=1·10=10 . Отже, 54000:5 400 = 10 .

Інформацію цього пункту можна підсумувати наступним твердженням: якщо в записі і діленого і дільника праворуч знаходяться цифри 0, то в записах потрібно позбавитися однакової кількості крайніх праворуч, після чого виконати поділ отриманих чисел . Наприклад, розподіл натуральних чисел 818 070 000 і 201 000 зводиться до поділу чисел 818 070 і 201 після того, як ми в записах дільника і дільника справа приберемо по три цифри 0 .

Підбір приватного

Нехай натуральні числа a і b такі, що a ділиться на b , причому якщо b помножити на 10 то вийде число, яке більше, ніж a . У цьому випадку приватне a:b є однозначним натуральним числом, тобто числом від 1 до 9 і його найпростіше підібрати. Для цього дільник послідовно множиться на 1, 2, 3 і так далі до того моменту, поки добуток не буде ділимому. Як тільки така рівність буде отримана, буде знайдено приватне a:b .

Знайдемо приватне 108:27.

Вочевидь, що дільник 108 менше, ніж 27·10=270 (за потреби звертайтеся до статті порівняння натуральних чисел). Підберемо приватне. Для цього послідовно множитимемо дільник 27 на 1, 2, 3, …, поки не отримаємо ділене 108. Поїхали: 27 · 1 = 27, 27 · 2 = 54, 27 · 3 = 81, 27 · 4 = 108 (при необхідності дивіться статтю множення натуральних чисел). Отже, 108: 27 = 4 .

Наприкінці цього пункту зазначимо, що приватне у разі можна не підбирати, а знаходити його з допомогою послідовного віднімання.

Подання поділеного у вигляді суми натуральних чисел

Якщо всі способи, розглянуті вище, не дозволяють виконати розподіл натуральних чисел, то потрібно поділити у вигляді суми декількох доданків, кожне з яких легко ділиться на дільник. Далі доведеться використовувати властивість поділу суми натуральних чисел на дане число і закінчити обчислення. Залишається головне питання: «У вигляді яких доданків представляти поділене»?

Опишемо алгоритм отримання доданків, що дають у сумі ділене. Для більшої доступності будемо одночасно розглядати приклад, в якому ділене дорівнює 8551 , а дільник дорівнює 17 .

Спочатку обчислюємо, наскільки кількість знаків у записі поділеного більше, ніж кількість знаків у записі дільника, і запам'ятовуємо це число.

Наприклад, якщо ділимим є натуральне число 8551, а дільником – число 17, то запис поділеного містить на 2 знаки більше (8551 – чотиризначне число, 17 – двозначне, таким чином, різниця в кількості знаків визначається різницею 4-2=2) . Тобто запам'ятовуємо число 2 .

Тепер у записі дільника праворуч дописуємо цифри 0 у кількості, що визначається числом, отриманим у попередньому пункті. При цьому якщо записане число буде більшим за ділене, то з запам'ятованого в попередньому пункті числа потрібно відняти 1 .

Повертаємось до нашого прикладу. У записі дільника 17 дописуємо праворуч дві цифри 0 , при цьому отримуємо число 1700 . Це число менше, ніж ділене 8551 , тому запам'ятоване в попередньому пункті число НЕ потрібно зменшувати на 1 . Отже, в пам'яті залишається число 2 .

Після цього до цифри 1 праворуч приписуємо цифри 0 у кількості, що визначається числом, що запам'ятовується в попередньому пункті. При цьому отримуємо одиницю розряду, з яким ми працюватимемо далі.

У прикладі до цифри 1 приписуємо 2 нуля, маємо число 100 , тобто, ми будемо працювати з розрядом сотень.

Тепер послідовно множимо дільник на 1, 2, 3, … одиниці робочого розряду до того моменту, поки не отримаємо число, більше ніж ділене.

У прикладі робочим розрядом є розряд сотень. Тому ми спочатку множимо дільник одну одиницю розряду сотень, тобто, множимо 17 на 100 , отримуємо 17·100=1 700 . Отримане число 1700 менше діленого 8551, тому переходимо до множення дільника на дві одиниці розряду сотень, тобто 17 множимо на 200 . Маємо 17 · 200 = 3400 8551 .

Число, отримане на передостанньому кроці при множенні, є першим із складових, що шукаються.

У прикладі, що розбирається, шуканим доданком є ​​число 8 500 (це число дорівнює твору 17 500 , звідки видно, що 8 500:17 = 500 , цю рівність ми використовуємо далі).

Після цього знаходимо різницю між ділимим і першим знайденим доданком. Якщо отримане число не дорівнює нулю, то приступаємо до знаходження другого доданку. Для цього повторюємо всі описані кроки алгоритму, але вже як ділимо приймаємо отримане число. Якщо в цьому пункті знову виходить число, відмінне від нуля, то приступаємо до знаходження третього доданку, ще раз повторюючи кроки алгоритму, прийнявши отримане число як поділений. І так діємо далі, знаходячи четверте, п'яте та наступні доданки, поки отримане в цьому пункті число не буде рівним нулю. Як тільки тут отримуємо 0, то всі доданки знайдені, і можна переходити до фінальної частини обчислення вихідного часткового.

Повертаємось до нашого прикладу. На цьому кроці маємо 8551-8500 = 51 . Так як 51 не дорівнює 0, то приймаємо це число як ділимо і повторюємо з ним всі кроки алгоритму.

Кількість знаків у записах чисел 51 та дільника 17 однакова, тому запам'ятовуємо число 0.

У записі дільника не потрібно дописувати праворуч жодної цифри 0 , оскільки ми запам'ятовували число 0 . Тобто число 17 залишається як є. Це число менше, ніж 51 , тому із запам'ятаного числа 0 віднімати одиницю не потрібно. Таким чином, у пам'яті залишається число 0 .

До цифри 1 ми не будемо праворуч приписувати жодної цифри 0 , тому що в пам'яті у нас є число 0 . Тобто ми працюватимемо з розрядом одиниць.

Тепер послідовно множимо дільник 17 на 1, 2, 3 і так далі, поки не отримаємо число, що перевищує 51. Маємо 17 · 1 = 17 51 . На передостанньому кроці ми отримали число 51 (це число дорівнює добутку 17 3 і це ми використовуємо далі). Тому другим доданком є ​​число 51 .

Знаходимо різницю між числом 51 і числом 51 отриманим у попередньому пункті. Маємо 51-51 = 0. Отже, зупиняємо пошук доданків.

Тепер ми знаємо, що ділене 8551 потрібно подати у вигляді суми двох доданків 8500 і 51 .

Закінчимо перебування приватного. Маємо 8551:17 = (8500 +51): 17 . Тепер згадуємо властивість поділу суми двох чисел на натуральне число, яке призводить до рівності (8 500+51):17=8 500:17+51:17 . Вище ми з'ясували, що 8500:17 = 500 і 51:17 = 3 . Таким чином, 8500:17 +51:17 = 500 +3 = 503 . Отже, 8551:17 = 503 .

Для закріплення навичок подання поділеного у вигляді суми доданків, розглянемо рішення ще одного прикладу.

Розділимо 64 на 2 .

1) У записі поділеного на один знак більше, ніж у запису дільника, тому запам'ятовуємо число 1 .

2) Якщо в записі дільника праворуч дописати одну цифру 0, то ми отримаємо число 20, яке менше, ніж ділене 64. Тому запам'ятоване число 1 зменшувати на одиницю не потрібно.

3) Тепер до 1 приписуємо праворуч одну (оскільки ми пам'яті число 1) цифру 0 , отримуємо число 10 , тобто, працюватимемо з десятками.

4) Починаємо дільник 2 послідовно множити на 10, 20, 30 і т.д. Маємо: 2 · 10 = 20 64 . Отже, першим доданком є ​​число 60 (оскільки 2·30=60 , то 60:2=30 , це рівність нам знадобиться далі).

5) Обчислюємо різницю 64-60 , яка дорівнює 4 . Це число ми легко можемо розділити на дільник 2 , тому приймемо це число як другий (і останній) доданок. (Безперечно, можна було прийняти це число як ділиме, і пройти всі кроки алгоритму ще раз, вони нас призведуть до того, що другим складником є ​​число 4 .)

Отже, ділене 64 ми представили у вигляді суми двох доданків 60 і 4 . Залишається закінчити обчислення: 64:2 = (60 +4): 2 = 60:2 +4: 2 = 30 +2 = 32 .

Вирішимо ще один приклад.

Обчислимо приватне 1 178:31.

1) У записі поділеного на 2 знаки більше, ніж у записі дільника. Тому запам'ятовуємо число 2.

2) Якщо до запису дільника праворуч додати дві цифри 0 , то ми отримаємо число 3 100 , яке більше діленого. Отже, запам'ятоване у попередньому пункті число 2 потрібно зменшити на одиницю: 2−1=1 запам'ятовуємо це число.

3) Тепер до цифри 1 додаємо праворуч одну цифру 0, отримуємо число 10 і далі працюємо з десятками.

4) Послідовно множимо дільник на 10, 20, 30 і т.д. Отримуємо 31 · 10 = 310 1178 . Так ми знайшли перший доданок. Воно дорівнює 930 (далі нам знадобиться рівність 930:31 = 30, що випливає з рівності 31 · 30 = 930).

5) Обчислюємо різницю: 1178-930 = 248 . Так як отримали число, не рівне нулю, то приймаємо його в якості ділимого, і починаємо пошук другого доданку за тим самим алгоритмом.

1) У записі числа 248 на 1 знак більше, ніж у записі дільника 31 . Тому запам'ятовуємо число 1.

2) Додаємо в записи дільника праворуч одну цифру 0, отримуємо число 310, яке більше, ніж число 248. Тому, з запам'ятаного числа 1 потрібно відняти 1, при цьому отримаємо число 0 і запам'ятаємо його.

3) Так як у нас у пам'яті число 0, то до цифри 1 праворуч дописувати нулів не потрібно. Таким чином ми працюємо з одиницями.

4) Послідовно множимо дільник 31 на 1, 2, 3 і так далі. Маємо 31 · 1 = 31 248 . Друге доданок дорівнює 248 (з рівності 248 = 31 · 8 випливає, що 248: 31 = 8 це нам потрібно далі).

5) Обчислюємо різницю між числом 248 і отриманим числом 248, маємо 248-248 = 0. Отже, на цьому пошук доданків припиняється.

Таким чином, 1178 представляємо у вигляді суми 930+248 . Залишилося лише закінчити обчислення: 1 178:31=(930+248):31= 930:31+248:31=30+8=38 (на результати 930:31=30 та 248:31=8 ми звертали увагу вище) .

На цьому уроці учням надається можливість повторити табличні випадки множення та поділу, познайомитися з правилом поділу суми на число, а також потренуватися у виконанні різних завдань на тему уроку.

Прочитайте та порівняйте вирази, записані на дошці.

(6 + 4) + 2

(6 + 4) - 2

(6 + 4) * 2

(6 + 4) : 2

Ви помітили, що у кожному виразі є сума чисел 6+4.

Прочитаємо вирази.

(6 + 4) + 2

Суму чисел 6+4 збільшили на 2.

(6 + 4) - 2

Суму чисел 6+4 зменшили на 2.

(6 + 4) * 2

Суму чисел 6+4 збільшили у 2 рази.

(6 + 4) : 2

Суму чисел 6+4 зменшили в 2 рази

Як ви вважаєте, значення цих сум буде однаково?

Перевіримо. Обчислимо значення виразів. Пам'ятаємо, що першу дію виконуємо у дужках.

(6 + 4) + 2 = 12

(6 + 4) - 2 = 8

(6 + 4) * 2 = 20

(6 + 4) : 2 = 5

Ми набули різних значень.

Розглянемо, як може бути виконано поділ суми на число.

Рис. 1. Розподіл суми на число

Спосіб 1.

Спочатку ми склали сині та червоні квадрати, а потім їхню кількість розділили на дві рівні частини.

(6 + 4) : 2 = 10: 2 = 5

Спосіб 2.

Спочатку ми можемо сині квадрати розділити на дві рівні частини, потім червоні квадрати розділити на дві рівні частини, а потім скласти результати.

(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2 = 3 + 2 = 5

За виконання дій різними способамирезультат виходить однаковий. Тому можна дійти невтішного висновку.

Щоб поділити суму на число, можна кожен доданок розділити на це число,

а отримані частки скласти.

(6 + 4) : 2 = 6: 2 + 4: 2

Застосуємо отримані знання практично. Обчислимо значення виразів.

(64 + 72) : 8

(36 + 81) : 9

(80 + 16) : 4

Щоб розділити суму на число, розділимо кожне доданок на це число, а отримані значення приватних складемо.

(64 + 72) : 8 = 64: 8 + 72: 8 = 8 + 9 = 17

(36 + 81) : 9 = 36: 9 + 81: 9 = 4 + 9 = 13

(80 + 16) : 4 = 80: 4 + 16: 4 = 20 + 4 = 24

Розгляньте вирази. Що у них спільного?

(36 + 6) : 6

(10 + 32) : 6

(34 + 8) : 6

(24 + 18) : 6

Правильно. У кожному виразі необхідно ділити суму число 6.

Розділимо вирази на дві групи.

У першу запишемо ті вирази, де можна застосувати властивість поділу суми на число. У цих виразах кожне доданок суми поділяється на 6.

(36 + 6) : 6

(24 + 18) : 6

У другу групу запишемо вирази, де складові суми на 6 не діляться, це означає, що в них не можна застосувати властивість поділу суми на число.

(10 + 32) : 6

(34 + 8) : 6

Виконаємо завдання.

Які з цих чисел можна записати у вигляді суми двох доданків, у якій кожен із доданків буде ділитися на 7?

35, 43, 28, 14, 7, 47, 56, 49, 63, 26, 70

Спочатку випишемо числа, які діляться на число 7 без залишку.

35, 28, 14, 7, 56, 49, 63, 70

Складемо вирази та знайдемо їх значення.

(35 + 28) : 7 = 35: 7 + 28: 7 = 5 + 4 = 9

(70 + 14) : 7 = 70: 7 + 14: 7 = 10 + 2 = 12

(56 + 49) : 7 = 56: 7 + 49: 7 = 8 + 7 = 15

Виконаємо наступне завдання.

Вставте пропущені числа, застосовуючи правило розподілу суми на число.

(… + …) : 8 = 8 + 6

(… + …) : 9 = 9 + 5

(… + …) : 3 = 8 + 5

Розмірковуємо так.

(… + …) : 8 = 8 + 6

Перший доданок розділили на 8 і отримали число 8. Отже, це було число 64. Другий доданок розділили на 8 і отримали число 6. Отже, це було число 48. Запишемо рішення.

(64 + 48) : 8 = 8 + 6

(… + …) : 9 = 9 + 5

Перший доданок розділили на 9 і отримали число 9. Отже, це було число 81. Другий доданок розділили на 9 і отримали число 5. Отже, це було число 45. Запишемо рішення.

(81 + 45) : 9 = 9 + 5

(… + …) : 3 = 8 + 5

Перший доданок розділили на 3 і отримали число 8. Отже, це було число 24. Другий доданок розділили на 3 і отримали число 5. Отже, це було число 15. Запишемо рішення.

(24 + 15) : 3 = 8 + 5

Сьогодні на уроці ми познайомилися з правилом поділу суми на число, потренувалися у вирішенні прикладів на тему уроку.

Список літератури

1. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 1. – М.: «Освіта», 2012.
2. М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 2. – М.: «Освіта», 2012.
3. М.І. Море. Уроки математики: Методичні рекомендаціїдля вчителя. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
4. Нормативно-правовий документ. Контроль та оцінка результатів навчання. – К.: «Освіта», 2011.
5. «Школа Росії»: Програми для початкової школи. – К.: «Освіта», 2011.
6. С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
7. В.М. Рудницька. Тести. – К.: «Іспит», 2012.

1. Властивість поділу двох рівних натуральних чисел:

якщо натуральне число поділити на рівне йому число, то в результаті вийде одиниця.

Залишилося навести кілька прикладів. Приватне від розподілу натурального числа 405 на рівне йому число 405 дорівнює 1; результат розподілу 73 на 73 також дорівнює 1.

2. Властивість поділу натурального числа на одиницю:

результатом поділу даного натурального числа на одиницю є це число.

Запишемо сформульовану властивість поділу в буквеному вигляді: a: 1 = a.

Наведемо приклади. Приватним від розподілу натурального числа 23 на 1 є число 23, а результатом розподілу натурального числа 10388 на одиницю є число 10388.

3. Розподіл натуральних чисел не має переміщувальної властивості.

Якщо ділене і дільник є рівними натуральними числами, то з якості розподілу рівних натуральних чисел, розглянутого у першому пункті цієї статті, ми можемо змінити їх місцями. При цьому результатом поділу буде те саме натуральне число 1.

Іншими словами, якщо ділене і дільник є рівними натуральними числами, то в цьому випадку розподіл має переміщувальну властивість. 5: 5 = 1 і 5: 5 = 1

В інших випадках, коли ділене і дільник не є рівними натуральними числами, переміщувальна властивість поділу не має місця.

Отже, в загальному випадкурозподіл натуральних чисел НЕ має переміщувальної властивості.

За допомогою літер останнє твердження записується як a: b ≠ b: aде a і b – деякі натуральні числа, причому a ≠ b.

4. Властивість поділу суми двох натуральних чисел на натуральне число:

розділити суму двох натуральних чисел на дане натуральне число - це все одно, що скласти приватні від розподілу кожного доданку на дане натуральне число.

Запишемо цю властивість поділу за допомогою букв. Нехай a, b і c – такі натуральні числа, що можна розділити на c і ​​b можна розділити на c, тоді (a + b): c = a: c + b: c.У правій частині записаної рівності насамперед виконується розподіл, після чого – додавання.

Наведемо приклад, що підтверджує справедливість якості розподілу суми двох натуральних чисел на це натуральне число. Покажемо, що рівність (18 + 36): 6 = 18: 6 + 36: 6 вірна. Спочатку обчислимо значення виразу з лівої частини рівності. Оскільки 18 + 36 = 54, то (18 + 36) : 6 = 54: 6. З таблиці множення натуральних чисел знаходимо 54: 6 = 9. Переходимо до обчислення значення виразу 18:6+36:6. З таблиці множення маємо 18: 6 = 3 і 36: 6 = 6, тому 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9. Отже, рівність (18 + 36): 6 = 18: 6 + 36: 6 вірна .

5. Властивість поділу різниці двох натуральних чисел на натуральне число:

розділити різницю двох чисел на дане число - це все одно, що відібрати від приватного зменшуваного і даного числа приватне віднімається і даного числа.

За допомогою літер цю властивість поділ можна записати так: (a - b): c = a: c - b: c, де a, b та c – такі натуральні числа, що a більше або одно b, а також і a та b можна поділити на c.

Як приклад, що підтверджує розглянуту властивість поділу, покажемо справедливість рівності (45 - 25) :5 = 45: 5 - 25: 5. Так як 45 - 25 = 20 (при необхідності вивчіть матеріал статті віднімання натуральних чисел), то (45 - 25) : 5 = 20: 5. За таблицею множення знаходимо, що отримане приватне дорівнює 4. Тепер обчислимо значення виразу 45: 5 - 25: 5, що стоїть у правій частині рівності. З таблиці множення маємо 45: 5 = 9 і 25: 5 = 5, тоді 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. Отже, рівність (45 - 25): 5 = 45: 5 - 25: 5 вірно .

6. Властивість поділу твору двох натуральних чисел на натуральне число:

результат поділу добутку двох натуральних чисел на дане натуральне число, яке дорівнює одному з множників, дорівнює іншому множнику.

Наведемо літерний вигляд цієї властивості розподілу: (a · b): a = b або (a · b): b = a, де a та b – деякі натуральні числа.

У рамках цієї статті ми вивчимо загальні уявлення, пов'язані з розподілом натуральних чисел. Їх прийнято називати властивостями процесу розподілу. Ми розберемо основні їх, пояснимо їх значення і підкріпимо свої міркування прикладами.

Розподіл двох рівних натуральних чисел

Щоб зрозуміти, як розділити одне натуральне число на інше, рівне йому, потрібно повернутися до розуміння змісту самого поділу. Від того, який сенс ми надаємо дільнику, залежить кінцевий результат. Розберемо два можливі варіанти.

Отже, ми маємо предметів (a – довільно взяте натуральне число). Розподілимо предмети за групами порівну, у своїй число груп має дорівнювати a. Очевидно, що у кожній групі при цьому буде лише один предмет.

Переформулюємо трохи інакше: як розподілити a предметів у групи по a предметів у кожній? Скільки груп вийде? Звичайно, лише одна.

Підіб'ємо підсумки і виведемо першу властивість поділу натуральних чисел однакової величини:

Визначення 1

Розподіл натурального числа на рівну йому дає в результаті одиницю. Інакше висловлюючись, a: a = 1 (a – будь-яке натуральне число).

Розберемо для наочності два приклади:

Приклад 1

Якщо 450 розділити на 450 , буде 1 . Якщо 67 розділити на 67 , то вийде 1 .

Як видно, від конкретних цифр тут нічого не залежить, результат буде той самий за умови рівності дільника і дільника.

Розподіл натурального числа на одиницю

Як і в попередньому пункті, почнемо із завдань. Припустимо, що у нас є будь-які предмети в кількості, що дорівнює a . Необхідно розділити їх на кілька частин по одному предмету в кожній. Зрозуміло, що в нас вийде частин.

А якщо ми запитаємо: скільки предметів буде в групі, якщо до неї помістити предметів? Відповідь очевидна – a .

Таким чином, ми підходимо до формулювання властивості розподілу натуральних чисел на 1:

Визначення 2

При розподілі будь-якого натурального числа на одиницю вийде те саме число, тобто a: 1 = a .

Розберемо 2 приклади:

Приклад 2

Якщо розділити 25 на 1 , то вийде 25 .

Приклад 3

Якщо розділити 11 345 на 1 , то результатом буде 11 345 .

Відсутність переміщувальної властивості для поділу натуральних чисел

У випадку з множенням ми вільно можемо поміняти множники місцями і отримати той же результат, проте на поділ це правило не поширюється. Міняти місцями ділене і дільник можна лише у випадку, якщо вони є рівними натуральними числами (цю властивість ми вже розглядали в першому пункті). Тобто можна сказати, що переміщувальна властивість поширюється тільки на випадок, якщо у розподілі беруть участь рівні натуральні числа.

В інших випадках міняти місцями ділене з дільником не можна, оскільки це призведе до спотворення результату. Пояснимо докладніше чому.

Розділяти будь-які натуральні числа на інші, також довільно взяті, ми можемо не завжди. Наприклад, якщо ділене менше дільникаТакий приклад вирішити ми не можемо (як ділити натуральні числа з залишком, ми розберемо в окремому матеріалі). Іншими словами, якщо деяке натуральне число, що дорівнює a , ми можемо поділити на b? І їх значення при цьому не рівні, а буде більше b , а запис b: a сенсу мати не буде. Виведемо правило:

Визначення 3

Розподіл суми 2-х натуральних чисел на інше натуральне число

Щоб краще пояснити це правило, візьмемо приклади.

Ми маємо групу дітей, між якими треба порівну розділити мандарини. Фрукти складені у два пакети. Візьмемо умову, що кількість мандаринів така, що можна поділити їх на всіх дітей без залишку. Можна пересипати мандарини в один загальний пакет, а потім поділити та роздати. А можна поділити спочатку фрукти з одного пакета, а потім із іншого. Очевидно, що і в тому, і в іншому випадку ніхто не буде в образі і все буде порівну. Отже, ми можемо сказати:

Визначення 4

Результат розподілу суми 2 -х натуральних чисел інше натуральне число дорівнює результату складання приватних від розподілу кожного доданку те саме натуральне число, тобто. (a + b): c = a: c + b: c. У цьому значення всіх змінних – це натуральні числа, значення a можна розділити на c , і також можна розділити на c без залишку.

У нас вийшла рівність, у правій частині якої першим виконується поділ, а другим – додавання (згадаймо, як правильно виконувати арифметичні дії по порядку).

Доведемо справедливість рівності, що вийшла, на прикладі.

Приклад 4

Візьмемо йому відповідні натуральні числа: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .

Тепер обчислимо та дізнаємося, чи вірне воно. Підрахуємо значення лівої частини: 18 + 36 = 54 і (18 + 36) : 6 = 54: 6 .

Результат ми пам'ятаємо з таблиці множення (якщо забули, знайдіть у ній потрібне значення): 54: 6 = 9 .

Згадуємо, скільки буде 18: 6 = 3 та 36: 6 = 6 . Значить, 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9.

Виходить правильна рівність: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .

Сума натуральних чисел, яка стоїть у прикладі як ділимий, може бути не тільки 2, але і 3 і більше. Ця властивість у комбінації з сполучною властивістю додавання натуральних чисел дає нам можливість виконувати і такі підрахунки.

Приклад 5

Так, (14 + 8 + 4 + 2): 2 дорівнює 14: 2 + 8: 2 + 4: 2 + 2: 2 .

Розподіл різниці 2-х натуральних чисел на інше натуральне число

Подібним чином можна вивести правило для різниці натуральних чисел, яку ми ділитимемо на інше натуральне число:

Визначення 5

Результат поділу різниці двох натуральних чисел на третє дорівнює тому, що ми отримаємо, відібравши від приватного зменшуваного і третього числа приватне віднімання і третього числа.

Тобто. (a - b): c = a: c - b: c. Значення змінних – натуральні числа, причому a більше b або дорівнює йому, a і b можна поділити на c .

Доведемо справедливість цього правила з прикладу.

Приклад 6

Підставимо відповідні значення у рівність і обчислимо: (45 - 25): 5 = 45: 5 - 25: 5 . 45 - 25 = 20 (про те, як знаходити різницю натуральних чисел, ми вже писали раніше). (45 - 25): 5 = 20: 5 .

По таблиці множення згадуємо, що результат дорівнюватиме 4 .

Вважаємо праву частину: 45:5 - 25:5. 45: 5 = 9, а 25: 5 = 5, в результаті 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. 4 = 4, виходить, що (45 - 25): 5 = 45: 5 - 25: 5 - правильна рівність.

Розподіл добутку двох натуральних чисел на інше натуральне число

Згадаймо про те, який зв'язок існує між розподілом і множенням, тоді властивість поділу твору на натуральне число, що дорівнює одному з множників, буде нам очевидною. Виведемо правило:

Визначення 6

Якщо розділити добуток двох натуральних чисел на третє, що дорівнює одному з множників, у результаті ми отримаємо число, що дорівнює іншому множнику.

У буквеному вигляді це можна записати як (a · b) : a = b або (a · b) : b = a (значення a і b є натуральними числами).

Приклад 7

Так, результат розподілу твору 2 і 8 на 2 дорівнюватиме 8 , а (3 · 7) : 7 = 3 .

А як бути у випадку, якщо дільник не дорівнює жодному з множників, які утворюють ділене? Тоді тут діє інше правило:

Визначення 7

Результат поділу добутку двох натуральних чисел на третє натуральне число дорівнює тому, що вийде, якщо розділити на це число один із множників і результат помножити на інший множник.

Ми отримали дуже неочевидне на перший погляд твердження. Однак якщо врахувати, що множення натуральних чисел, по суті, зводиться до додавання рівних за значенням доданків (див. матеріал про множення натуральних чисел), то можна вивести цю властивість з іншого, про яке ми говорили трохи вище.

Запишемо це правило у буквеному вигляді (значення всіх змінних – натуральні числа).

Якщо a ми можемо розділити на c, то буде вірно (a · b): c = (a: c) · b.

Якщо b ділиться на c, то вірно (a · b): c = a · (b: c).

Якщо і a, і b діляться на c, то можемо прирівняти одну рівність до іншого: (a · b): c = (a: c) · b = a · (b: c).

З урахуванням розглянутого вище властивості розподілу твори інше натуральне число будуть вірні рівності (8 · 6) : 2 = (8: 2) · 6 і (8 · 6): 2 = 8 · (6: 2) .

Ми можемо записати їх у вигляді подвійної рівності: (8 · 6): 2 = (8: 2) · 6 = 8 · (6: 2).

Розподіл натурального числа на твір 2-х інших натуральних чисел

І знову ми почнемо з прикладу. У нас є кілька призів, позначимо його a . Їх треба порівну розподілити між учасниками команд. Позначимо число учасників літерою c, а команд – літерою b. У цьому візьмемо такі значення змінних, у яких запис розподілу матиме сенс. Завдання можна вирішити двома різними способами. Розглянемо обидва.

1. Можна обчислити загальну кількість учасників, помноживши b на c, після чого поділити всі призи на отримане число. У буквеному вигляді це рішення можна записати як a: (b · c).

2. Можна поділити спочатку призи на кількість команд, а потім розподілити їх усередині кожної команди. Запишемо це як (a: b): c.

Очевидно, що обидва способи дадуть нам ідентичні відповіді. Тому обидві рівності ми можемо прирівняти один до одного: a: (b · c) = (a: b): c. Це і буде літерний запис властивості розподілу, яку ми розглядаємо у цьому пункті. Сформулюємо правило:

Визначення 8

Результат поділу натурального числа на твір дорівнює числу, яке ми отримаємо, розділивши це число на один з множників і приватне, що вийшло, розділити на інший множник.

Приклад 8

Наведемо приклад завдання. Доведемо, що справедлива рівність 18: (2 · 3) = (18: 2): 3 .

Підрахуємо ліву частину: 2 · 3 = 6, а 18: (2 · 3) - це 18: 6 = 3.

Вважаємо праву частину: (18: 2): 3 . 18: 2 = 9, а 9: 3 = 3, тоді (18: 2): 3 = 3 .

У нас вийшло, що 18: (2 · 3) = (18: 2): 3 . Ця рівність ілюструє нам властивість поділу, яку ми привели у цьому пункті.

Поділ нуля на натуральне число

Що таке нуль? Раніше ми домовилися, що він означає відсутність чогось. Нуль ми не відносимо до натуральних чисел. Виходить, якщо ми розділимо нуль на натуральне число, це буде рівнозначно спробі розділити порожнечу на частини. Зрозуміло, що в результаті ми все одно отримаємо «ніщо», на скільки частин ми його не ділили. Виводимо звідси правило:

Визначення 9

При розподілі нуля на будь-яке натуральне число ми отримаємо нуль. У буквеному вигляді це записується як 0: a = 0 при цьому значення змінної може бути будь-яке.

Приклад 9

Так, наприклад, 0: 19 = 0 і 0: 46869 теж буде дорівнює нулю.

Поділ натурального числа на нуль

Цю дію виконати не можна. Давайте з'ясуємо чому саме.

Візьмемо довільне число a і припустимо, що його можна поділити на 0 і отримати в результаті деяке число b. Запишемо це як a: 0 = b. Тепер згадаємо, як пов'язано між собою множення і розподіл, і виведемо рівність b · 0 = a, яка також має бути справедливою.

Але раніше ми пояснювали властивість множення натуральних чисел на нуль. Відповідно до нього b · 0 = 0 . Якщо порівняти отримані рівності, ми вийде, що a = 0 , але це суперечить вихідному умові (адже нуль перестав бути натуральним числом). Виходить, що у нас вийшло протиріччя, яке доводить неможливість такої дії.

Визначення 10

Ділити натуральне число на нуль не можна.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Розглянемо поняття розподіл завдання:
У кошику лежало 12 яблук. Шестеро дітей розібрали яблука. У кожної дитини вийшла однакова кількість яблук. Скільки яблук у кожної дитини?

Рішення:
Нам потрібно 12 яблук поділити на шістьох дітей. Запишемо математично завдання 12:6.
Або інакше можна сказати. На яке число потрібно помножити число 6, щоб вийшло число 12? Запишемо у вигляді рівняння задачу. Кількість яблук нам невідома, тож позначимо їх за змінну x.

Щоб знайти невідоме x нам потрібно 12:6=2
Відповідь: по 2 яблука у кожної дитини.

Розглянемо докладно приклад 12: 6 = 2:

Число 12 називається ділимим. Це число, яке ділять.
Число 6 називається дільником. Це число, яке ділять.
І результат розподілу число 2 називають приватним. Приватне вказує у скільки разів ділене більше дільника.

У літерному вигляді поділ виглядає так:
a:b=c
a- ділене,
b- дільник,
c- Приватне.

То що таке поділ?

Поділ- Це дія, зворотне одного множника ми можемо знайти інший множник.

Поділ перевіряється множенням, тобто:
a: b= c, перевірка с⋅b= a
18:9=2, перевірка 2⋅9=18

Невідомий множник.

Розглянемо завдання:
У кожній упаковці по 3 штуки ялинкових кульок. Щоб нарядити ялинку, нам потрібно 30 куль. Скільки нам потрібно взяти упаковок із ялинковими кулями?

Рішення:
x – невідома кількість упаковок куль.
3 - штуки в одній упаковці куль.
30 - всього куль.

x⋅3=30 нам потрібно стільки разів взяти по 3, щоб вийшло в результаті 30. x – це невідомий множник. Тобто, щоб знайти невідомий потрібно, твір поділити на відомий множник.
х = 30:3
х = 10.

Відповідь: 10 упаковок куль.

Невідоме подільне.

Розглянемо завдання:
У кожній упаковці по 6 кольорових олівців. Усього упаковок 3 штуки. Скільки всього олівців було, поки їх не розклали по упаковках?

Рішення:
x - всього олівців,
6 – олівців у кожній упаковці,
3 – упакування олівців.

Запишемо рівняння задачі у вигляді поділу.
x:6=3
x – це невідоме подільне. Щоб знайти невідоме ділене треба, приватне помножити на дільник.
х=3⋅6
х = 18

Відповідь: 18 олівців.

Невідомий дільник.

Розберемо завдання:
Було 15 кульок у магазині. За день у магазин прийшло 5 покупців. Покупці купили однакову кількість куль. Скільки куль купив кожен покупець?

Рішення:
х – кількість куль, яку купив один покупець,
5 – кількість покупців,
15 – кількість кульок.
Запишемо рівняння задачі у вигляді поділу:
15: х = 5
х – у цьому рівнянні є невідомим дільником. Щоб знайти невідомий дільник, ми поділяємо на приватне.
х = 15:5
х = 3

Відповідь: по 3 кулі у кожного покупця.

Властивості розподілу натурального числа на одиницю.

Правило розподілу:
Будь-яке число, поділене на 1 результатом буде те саме число.

7:1=7
a:1= a

Властивості поділу натурального числа на нуль.

Розглянемо приклад: 6:2=3, перевірити чи правильно ми поділили можна множенням 2⋅3=6.
Якщо ми 3:0, то перевірити ми не зможемо, тому що будь-яке число помножене на нуль буде нуль. Тому запис 3:0 не має сенсу.
Правило розподілу:
Ділити на нуль не можна.

Властивості розподілу нуля на натуральне число.

0:3=0 цей запис має сенс. Якщо ми нічого поділимо на три частини, то отримаємо нічого.
0: a=0
Правило розподілу:
При розподілі 0 на будь-яке натуральне число не дорівнює нулю, результат завжди дорівнюватиме 0.

Властивість поділу однакових чисел.

3:3=1
a: a=1
Правило розподілу:
При розподілі будь-якого числа на себе, що не дорівнює нулю, результат дорівнюватиме 1.

Питання на тему “Поділ”:

У записі a:b=c назвіть, що є приватним?
Відповідь: a:b та c.

Що таке приватне?
Відповідь: приватне показує у скільки разів більше дільника.

За якого значення m запис 0⋅m=5?
Відповідь: при множенні на нуль у відповіді завжди буде 0. Запис не має сенсу.

Чи існує таке n, що 0⋅n=0?
Відповідь: так, запис має сенс. При множенні будь-якого числа 0 буде 0, тому n – будь-яке число.

Приклад №1:
Знайдіть значення вираз: а) 0:41 б) 41:41 в) 41:1
Відповідь: а) 0:41 = 0 б) 41: 41 = 1 в) 41: 1 = 41

Приклад №2:
При яких значеннях змінних правильна рівність: а) х: 6 = 8 б) 54: х = 9

а) х – в даному прикладіє ділимим. Щоб знайти ділене, потрібно приватне помножити на дільник.
х - невідоме ділене,
6 – дільник,
8 – приватне.
х=8⋅6
х = 48

б) 54 - ділене,
х – дільник,
9 – приватне.
Щоб знайти невідомий дільник, потрібно поділити на приватне.
х = 54:9
х = 6

Завдання №1:
У Сашка 15 марок, а Мишка 45 марок. У скільки разів у Михайла марок більше, ніж у Сашка?
Рішення:
Можна вирішити завдання двома способами. Перший спосіб:
15+15+15=45
Потрібно 3 числа 15, щоб отримати 45, отже, в 3 рази у Михайла марок більше, ніж у Олександра.
Другий спосіб:
45:15=3

Відповідь: у 3 рази у Михайла марок більше, ніж у Олександра.