Лекція з вищої математики "Уявна одиниця. Алгебраїчна форма комплексного числа"

Тема: Уявна одиниця , її ступеня. Комплексні числа.

Алгебраїчна форма комплексного числа.

Цілі:розширити поняття числа, запровадити поняття уявної одиниці та її ступенів, поняття комплексного числа; розглянути форму алгебри комплексного числа; розвивати вміння узагальнювати отримані знання, сприяти розвитку логічного мислення;

виховувати в учнів свідоме ставлення до процесу навчання.

План (питання, що вивчаються )

Уявні числа. Визначення уявної одиниці. Ступені уявної одиниці.

Визначення комплексного числа.

Алгебраїчна форма комплексного числа.

1.Уявні числа

Визначення. Число, квадрат якого дорівнює -1, називається уявною одиницею і

позначається і ; і 2 = -1

Визначення. Числа, які мають вигляд b і , де b - дійсне число, називаються

уявними числами.

Наприклад:

Відомо, що дійсні числа є точками на осі ОХ. Уявні числа зображуються точками на осі ОУ, у зв'язку з чим вісь ОХ називається дійсною віссю, а вісь ОУ - уявною віссю. Безліч уявних чисел знаходиться у взаємно однозначній відповідності до безлічі дійсних чисел.

Визначення. Два уявні числа b 1 i і b 2 i називаються рівними, якщо b 1 = b 2

Визначення. Уявна кількість (- bi ) називається протилежним уявному числу b і .

Наприклад:
і
і
.

Теорема. Будь-який натуральний ступінь числа і може бути перетворена до

одного з чотирьох видів 1; і ; -1; -і.

Доведення .

Розглянемо вираз і m де m - натуральне число. Зрозуміло, що можливі чотири випадки:

1) m = 4 k , k =1,2, ...

2) m=4k +1, k =0, 1,2,...

3) m 4k +2, k = 0,1,2,...

4) m = 4k +3, k =0,1,2, ....

Нехай m = 4 k , тоді і м =і Ак =(і А ) до =1 до =1

Нехайm =4 k +1, тоді і м = і Ак+1 = і Ак і=1і=і

Нехай m = 4 k +2, тодіі м =і Ак+2 = і Ак і 2 = 1(-1)=-1

Нехайm =4 k +3, тоді і м

приклад. Обчислити значення виразу

Рішення:

Зауваження. Для того, щоб обчислити ступінь уявної одиниці, зручно користуватися таким правилом:

1) розділити показник ступеня на 4;

2) замінити і м на і р де р - залишок, отриманий при розподілі т на 4, тобто число р знаходиться з рівності т = 4к + р.

2.Комплексні числа

Визначення. Комплексним числом називається число, яке має вигляда+bi , де а, b -

дійсні числа, i - уявна одиниця. При цьому число "а" називається

дійсною частиною комплексного числа, "b" - уявною частиною

комплексного числа.

Символічно дійсну та уявну частини комплексного числа позначають так:(Резет), (Їм зет).

В основі цих позначень використані перші літери латинських слів, що означає "дійсний" та "Imaginaries", що означає "уявний".

Зауваження. Іноді уявною частиною комплексного числаz = а + b і називають bi.

Визначення. Два комплексні числаZ 1 = a 1 + b 1 i іz 2 = а 2 + b 1 i називаються рівними, якщо

Rez 1 = Rez 2 , Imz 1 = Imz 2 .

Для комплексних чисел немає понять більше і менше, тобто комплексні числа не можна порівняти.

Визначення. Комплексне число(-а- bi ) називається протилежним комплексному числу

а+bі.

Визначення. Два комплексні числа, у яких дійсні частини рівні, а уявні

частинипротилежні, називаються комплексно пов'язаними числами та

позначаються відповідно і.

3. Алгебраїчна форма комплексного числа. Дії над комплексними числами, заданими в формі алгебри.

Комплексне число, подане у вигляді
називається комплексним числом валгебраїчній формі .

Додавання комплексних чисел

Визначення. Сумою двох комплексних чисел
і
називається

комплексне число.

Отже, (1)

Таким чином, щоб скласти два комплексних числа, потрібно скласти їх дійсні частини, і це дає дійсну частину суми, і скласти уявні частини, що дає уявну частину суми.

Сума сполучених чисел завжди є дійсноюим числом

тобто,
. (2)

Віднімання комплексних чисел

Визначення. Різницею двох комплексних чисел
і
називається таке

комплексне число
, що у сумі з числом дає число .

Віднімання комплексних чисел завжди можливе.

Теорема. Для будь-яких комплексних чисел
і
завжди існує різниця
, Яка визначена однозначно.

Таким чином, для того, щоб відняти комплексні числа, достатньо відняти їх дійсні частини та їх різницю взяти за дійсну частину різниці, а також відняти уявну частину різниці

Виходить, (3)

Різниця двох сполучених чисел завжди є уявним числом. ,

тобто,
(4)

Розмноження комплексних чисел

Визначення. Добутком двох комплексних чисел
і називається таке комплексне число, яке визначається формулою: (5)

Щоб помножити комплексні числа, слід помножити їх за правилом множення багаточленів, замінивши при цьому на -1 і навести такі члени.

У процесі множення комплексних чисел краще виконувати безпосереднє множення. Добуток сполучених чисел завжди є дійсним числом Відповідь.

Контрольні питання:

1.Дати визначення комплексного числа.

2.Сформулювати визначення уявної одиниці.

3.Як визначити ступінь уявної одиниці.

4. Які комплексні числа називають рівними, сполученими?

5. Записати формулу для знаходження довільного ступеня уявної одиниці.

6. Наведіть приклади чисто уявних чисел.

7. Дати визначення суми, твору та частки двох комплексних чисел.

Література

Письмовий, Д. Т. Конспект лекцій з вищої математики: повний курсД. Т. Письмовий. - 9-е вид. - М.: Айріс-прес, 2009. 608 с.: Іл. - (Вища освіта).

Лунгу, К. Н. Збірник завдань із вищої математики. 1 курс / К. Н. Лунгу, Д. Т. Письмовий, С. Н. Федін, Ю. А. Шевченко. - 7-е вид. - М.: Айріс-прес, 2008. 576 с.: - (Вища освіта).

Григор'єв У. П. Елементи вищої математики: підручник для студ. установ середовищ. проф. освіти/В. П. Григор'єв, Ю. А. Дубинський. - 10-е вид., Стер. - М. Видавничий центр «Академія», 2014. - 320 с.

дійсних чисел до поля комплексних чисел. Точне визначеннязалежить від способу розширення.

Причиною введення уявної одиниці є те, що не кожне поліноміальне рівняння $f(x)=0$ з речовими коефіцієнтами має рішення у полі дійсних чисел. Так, рівняння $x^2 + 1 = 0$ не має речових коренів. Однак виявляється, що будь-яке поліноміальне рівняння із комплексними коефіцієнтами має комплексне рішення– «Основна теорема алгебри».

Історично уявна одиниця спочатку була введена для вирішення речового кубічного рівняння: нерідко, за наявності трьох речових коренів, для отримання двох з них формула Кардано вимагала брати кубічний корінь у комплексних числах.

Твердження, що уявна одиниця - це квадратний корінь з −1, не точно: адже −1 має два квадратного кореняодин з яких можна позначити як «i», а інший як «-i». Який саме корінь прийняти за уявну одиницю - неважливо: всі рівності збережуть силу при одночасному заміні всіх "i" на "-i" та "-i" на "i". Однак через цю двозначність, щоб уникнути помилкових викладок, не слід застосовувати позначення для $i$ через радикал (як $\sqrt(-1)$ ).

Визначення

Уявна одиниця - це число, квадрат якого дорівнює -1. Тобто. $i$ - це одне із рішень рівняння

$x^2 + 1 = 0,$ або $x^2 = -1.$

І тоді його другим рішенням рівняння буде $-i$ , що перевіряється підстановкою.

Ступені уявної одиниці

Ступені $i$ повторюються у циклі:

$\ldots$ $i^(-3) = i$ $i^(-2) = -1$ $i^(-1) = -i$ $i^0 = 1$ $i^1 = i$ $i^2 = -1$ $i^3 = -i$ $i^4 = 1$ $\ldots$

Що може бути записано для будь-якого ступеня у вигляді:

$i^(4n) = 1$ $i^(4n+1) = i$ $i^(4n+2) = -1$ $i^(4n+3) = -i.$

де n- Будь-яке ціле число.

Звідси: $i^n = i^(n \bmod 4)$ де mod 4- Це залишок від розподілу на 4.

Число $i^i$ є речовим:

$i^i=(e^((i\pi/2)i))=e^(i^2\pi/2)=e^(-\pi/2)=0(,)20787957635\ldots$

Факторіал

Факторіал уявної одиниці iможна визначити як значення гамма-функції від аргументу 1+ i :

$i! = \ Gamma (1 + i) \ approx 0.4980 - 0.1549i.$

$|i!| = \sqrt(\pi \over \sinh(\pi)) \approx 0.521564... .$

Коріння з уявної одиниці

У полі комплексних чисел корінь n-й ступеня має nрішень. На комплексній площині коріння з уявної одиниці знаходиться у вершинах правильного n-кутника, вписаного в коло з одиничним радіусом.

$u_k=\cos (\frac((\frac(\pi)(2)) + 2\pi k)(n)) +i\ \sin (\frac((\frac(\pi)(2)) + 2\pi k) (n)), \quad k = 0,1,...,n-1$

Це випливає з формули Муавра і з того, що уявна одиниця може бути представлена в тригонометричному вигляді:

$i=\cos\ (\frac(\pi)(2)) + i\ \sin\ (\frac(\pi)(2))$

Зокрема, $\sqrt(i ) = \left$\frac(1 + i)(\sqrt(2));\ frac(-1 - i)(\sqrt(2)) \right$$ і $\sqrt(i ) = \left$-i;\ \frac(i + (\sqrt(3)))(2);\ \frac(i - (\sqrt(3)))(2) \right $$

Також коріння з уявної одиниці може бути представлене в показовому вигляді:

$u_k=e^(\frac((\frac(\pi)(2) + 2\pi k) i)(n) ), \quad k=0,1,...,n-1$

Інші уявні одиниці

У конструкції Келі - Діксона (або в алгебрах Кліффорда) «уявних одиниць розширення» може бути кілька, та/або їх квадрат може бути = "+1" або навіть = "0". Але в цьому випадку можуть виникати дільники нуля, є інші властивості, відмінні від властивостей комплексного «i». Наприклад, у тілі кватерніонів три антикомутативні уявні одиниці, а також є нескінченно багато рішень рівняння. $x^2 = -1$ ».

До питання про інтерпретацію та назву

Гаусс стверджував також, що якби величини 1, −1 і √−1 називалися відповідно не позитивною, негативною та уявною одиницею, а прямою, зворотною та побічною, то у людей не створювалося б враження, що з цими числами пов'язана якась похмура таємниця. За словами Гауса, геометричне уявлення дає справжню метафізику уявних чисел у новому світлі. Саме Гаусс ввів термін «комплексні числа» (на противагу «уявним числам» Декарта) і використовував для позначення √1 символ i.

Моріс Клайн, «Математика. Втрата певності». Розділ VII. Нелогічний розвиток: серйозні проблеми на порозі ХІХ ст.

Позначення

Звичайне позначення $i$ , але в радіотехніці уявну одиницю прийнято позначати $j$ щоб не плутати з позначенням миттєвої сили струму: $i = i(t)$ .

Див. також

Дуальні числа та Подвійні числа

Напишіть відгук про статтю "Уявна одиниця"

Примітки

Посилання

Уявна одиниця // Велика радянська енциклопедія: [30 т.] / гол. ред. А. М. Прохоров. - 3-тє вид. -М. : Радянська енциклопедія, 1969-1978.



Ступені тисячі

Давньоруські числа

Інші ступені десяти

Ступені дванадцяти

Інші цілі

Інші числа

Уривок, що характеризує Уявна одиниця

Декілька купців зібралося біля офіцера.
– Е! даремно брехать щось! – сказав один із них, худорлявий, із суворим обличчям. - Знявши голову, волоссям не плачуть. Бери, що комусь любо! - І він енергійним жестом махнув рукою і боком обернувся до офіцера.
– Тобі, Іване Сидоричу, добре говорити, – сердито заговорив перший купець. - Ви завітайте, ваше благородіє.
- Що говорити! – крикнув худорлявий. – У мене тут у трьох лавках на сто тисяч товарів. Хіба вбережеш, коли військо пішло. Ех, народ, божу владу не руками скласти!
— Прошу, ваше благородіє, — говорив перший купець, кланяючись. Офіцер стояв здивований, і на обличчі його видно було нерішучість.
- Та мені що за діло! - крикнув він раптом і пішов швидкими кроками вперед рядом. В одній відчиненій лавці лунали удари й лайки, і в той час як офіцер підходив до неї, з дверей вискочив виштовхнутий чоловік у сірому вірмені і з голеною головою.
Чоловік цей, зігнувшись, проскочив повз купців і офіцера. Офіцер напустився на солдатів, що були у крамниці. Але в цей час страшні крики величезної юрби почулися на Москворецькому мосту, і офіцер вибіг на площу.
- Що таке? Що таке? – питав він, але товариш його вже скакав у напрямку криків, повз Василя Блаженного. Офіцер сів верхи і поїхав за ним. Коли він під'їхав до мосту, він побачив зняті з передків дві гармати, піхоту, що йде мостом, кілька повалених возів, кілька переляканих осіб і сміливі обличчя солдатів. Біля гармат стояв один візок, запряжений парою. За возом ззаду коліс тулилися чотири хорти в ошийниках. На возі була гора речей, і на самому верху, поряд із дитячим, догори ніжками перевернутим стільчиком сиділа баба, що пронизливо і відчайдушно верещала. Товариші розповідали офіцерові, що крик натовпу і верески баби сталися тому, що генерал Єрмолов, який наїхав на цей натовп, дізнавшись, що солдати розбредаються по лавах, а натовпи мешканців заганяють міст, наказав зняти гармати з передків і зробити приклад, що він стрілятиме по мосту . Натовп, валячи вози, давлячи один одного, відчайдушно кричав, тіснячись, розчистив міст, і війська рушили вперед.

У самому місті було порожньо. По вулицях нікого майже не було. Ворота та лави всі були замкнені; десь біля шинків чулися самотні крики або п'яне спів. Ніхто не їздив вулицями, і рідко лунали кроки пішоходів. На Поварській було зовсім тихо і безлюдно. На величезному подвір'ї будинку Ростових валялися недоїдки сіна, послід обозу, що з'їхав, і не було видно жодної людини. У будинку Ростових, що залишився з усім своїм добром, дві людини були у великій вітальні. То були двірник Ігнат і козачок Мишко, онук Васильовича, що залишився в Москві з дідом. Ведмедик, відкривши клавікорди, грав на них одним пальцем. Двірник, узявшись у боки і радісно посміхаючись, стояв перед великим дзеркалом.
– Ось спритно те! А? Дядечко Гнат! - говорив хлопчик, раптом починаючи плескати обома руками по клавішах.
– Бач ти! – відповів Ігнат, дивуючись на те, як все більше посміхалося його обличчя в дзеркалі.
- Безсовісні! Справді, безсовісні! - Заговорив ззаду їхній голос тихо увійшла Маври Кузмінішни. - Ека, товсторожий, зуби то скеля. На це вас взяти! Там усе не прибрано, Васильович з ніг збився. Дай термін!
Гнат, поправляючи поясок, переставши посміхатися і покірно опустивши очі, пішов геть із кімнати.
- Тітенько, я легенько, - сказав хлопчик.
- Я ті дам легенько. Постріля! – крикнула Мавра Кузмінішна, замахуючись на нього рукою. - Іди дідові самовар ставь.
Мавра Кузмінішна, змахнувши пилюку, зачинила клавікорди і, важко зітхнувши, вийшла з вітальні і замкнула вхідні двері.
Вийшовши надвір, Мавра Кузмінішна задумалася про те, куди їй йти тепер: чи пити чай до Васильовича у флігель чи в комору прибрати те, що ще не було прибрано?
У тихій вулиці почулися швидкі кроки. Кроки зупинилися біля хвіртки; клямка стала стукати під рукою, що намагалася відімкнути її.
Мавра Кузмінішна підійшла до хвіртки.
– Кого треба?
- Графа, графа Іллю Андреїча Ростова.
– Та ви хто?
– Я офіцер. Мені бачити треба, – сказав російський приємний і панський голос.
Мавра Кузмінішна відімкнула хвіртку. І на двір увійшов років вісімнадцяти круглолицьих офіцер, типом обличчя схожий на Ростових.
- Виїхали, батюшка. Учорашнього числа у вечірні зволили поїхати, – ласкаво сказала Мавра Кузміпішна.
Молодий офіцер, стоячи в хвіртці, ніби в нерішучості увійти чи не увійти йому, клацнув язиком.
- Ах, яка досада!.. - промовив він. – Мені б учора… Ах, як шкода!
Мавра Кузмінішна тим часом уважно і співчутливо розглядала знайомі їй риси ростовської породи в особі. молодого чоловікаі розірвану шинель, і стоптані чоботи, що були на ньому.
- Вам навіщо ж графа треба було? - Запитала вона.
- Та вже що робити! - з досадою промовив офіцер і взявся за хвіртку, ніби мав намір піти. Він знову зупинився у нерішучості.
- Бачите? - Раптом сказав він. – Я родич графу, і він завжди дуже добрий був до мене. Так от, чи бачите (він з доброю і веселою усмішкою подивився на свій плащ та чоботи), і обносився, і грошей нічого немає; так я хотів попросити графа.
Мавра Кузмінішна не дала йому домовити.

Уявна одиниця- Зазвичай комплексне число, Квадрат якого дорівнює −1 ( мінус одиниці). Однак можливі й інші варіанти: конструкції подвоєння за Келі-Діксономабо в рамках алгебри за Кліффордом.

Для комплексних чисел

У математиці, фізиці уявна одиниця позначається як латинська texvc або Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvc . Вона дозволяє розширити поле дійсних чиселдо поля комплексних чисел. Точне визначення залежить від способу розширення.

Причиною введення уявної одиниці є те, що не кожне поліноміальне рівняння Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): f(x)=0з речовими коефіцієнтами має рішення у полі дійсних чисел. Так, рівняння Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідку з налаштування.): x^2 + 1 = 0не має речових коренів. Однак виявляється, що будь-яке поліноміальнерівняння з комплексними коефіцієнтами має комплексне рішення - Основна теорема алгебри ».

Історично уявна одиниця спочатку була введена для вирішення речового кубічного рівняння: нерідко, за наявності трьох речових коренів, для отримання двох з них формула Кардановимагала брати кубічний коріньу комплексних числах.

Твердження, що уявна одиниця - це "квадратний корінь з −1", не точно: адже "−1" має два квадратні корені, один з яких можна позначити як "i", а інший як "-i". Який саме корінь прийняти за уявну одиницю - неважливо: всі рівності збережуть силу при одночасному заміні всіх "i" на "-i" та "-i" на "i". Однак через цю двозначність, щоб уникнути помилкових викладок, не слід застосовувати позначення для Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): iчерез радикал (як Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \sqrt(-1)).

Визначення

Уявна одиниця - це число, квадрат якого дорівнює -1. Тобто. Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i- це одне із рішень рівняння

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідку з налаштування.): x^2 + 1 = 0,або Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): x^2 = -1.

І тоді його другим рішенням рівняння буде Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): -i, що перевіряється підстановкою.

Ступені уявної одиниці

Ступені Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): iповторюються у циклі:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvc Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i^(-3) = i Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка з налаштування.): i^(-2) = -1 Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i^(-1) = -i Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i^0 = 1 Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i^1 = i Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i^2 = -1 Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i^3 = -i Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i^4 = 1 Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): \ldots

Що може бути записано для будь-якого ступеня у вигляді:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i^(4n) = 1 Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i^(4n+1) = i Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i^(4n+2) = -1 Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i^(4n+3) = -i.

де n- Будь-яке ціле число.

Звідси: Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): i^n = i^(n \bmod 4)де mod 4- це остача від діленняна 4.

Число Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i^iє речовим :

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): i^i=(e^((i\pi/2)i))=e^(i^2\pi/2)=e^(-\pi/ 2) = 0 (,) 20787957635 \ ldots

Факторіал

Факторіалуявної одиниці iможна визначити як значення гамма-функціївід аргументу 1+ i :

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i! = \ Gamma (1 + i) \ approx 0.4980 - 0.1549i. Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Див. math/README - довідку з налаштування.): |i!| = \sqrt(\pi \over \sinh(\pi)) \approx 0.521564... .

Коріння з уявної одиниці

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідку з налаштування.): u_k=\cos (\frac((\frac(\pi)(2)) + 2\pi k)(n)) +i\ \sin (\frac( (\frac(\pi)(2)) + 2\pi k)(n)), \quad k = 0,1,...,n-1

Це випливає з формули Муавраі того, що уявна одиниця може бути представлена в тригонометричному вигляді:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): i=\cos\ (\frac(\pi)(2)) + i\ \sin\ (\frac(\pi)(2))

Зокрема, Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідку з налаштування.): \sqrt(i ) = \left$\frac(1 + i)(\sqrt(2));\ \frac(-1 - i)(\sqrt( 2)) \right$і Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідку з налаштування.): \sqrt(i ) = \left$-i;\ \frac(i + (\sqrt(3)))(2);\ \frac(i - ( \sqrt(3)))(2) \right$

Також коріння з уявної одиниці може бути представлене в показовому вигляді:

Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідку з налаштування.): u_k=e^(\frac((\frac(\pi)(2) + 2\pi k) i)(n) ), \quad k=0,1 ,...,n-1

Інші уявні одиниці

У конструкції Келі - Діксона (або в алгебрах Кліффорда) «уявних одиниць розширення» може бути кілька, та/або їх квадрат може бути = "+1" або навіть = "0". Але в цьому випадку можуть виникати дільники нуля, є інші властивості, відмінні від властивостей комплексного «i». Наприклад, у тілі кватерніонівтри антикомутативнихуявних одиниці, а також є нескінченно багато рішень рівняння. Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; math/README - довідку з налаштування.): x^2 = -1 ».

До питання про інтерпретацію та назву

Позначення

Звичайне позначення Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i, але в радіотехніці уявну одиницю прийнято позначати Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): jщоб не плутати з позначенням миттєвої сили струму : Неможливо розібрати вираз (виконуваний файл texvcНЕ знайдений; Math/README - довідка про налаштування.): i = i (t) .

Див. також

Дуальні числаі Подвійні числа

Напишіть відгук про статтю "Уявна одиниця"

Примітки

Посилання

Уявна одиниця // Велика Радянська Енциклопедія: [30 т.] / гол. ред. А. М. Прохоров . - 3-тє вид. -М. : Радянська енциклопедія, 1969-1978.

Перегляд цього шаблону

Ступені тисячі

Давньоруські числа

Інші ступені десяти

Ступені дванадцяти

Інші цілі

Інші числа

Уривок, що характеризує Уявна одиниця

– Цьому не можна навчити, Ізидоро. У людей має з'явитися потреба Світла, потреба Добра. Вони мають самі бажати зміни. Бо те, що дається насильно, людина інстинктивно намагається якнайшвидше відкинути, навіть не намагаючись щось зрозуміти. Але ми відволіклися, Ізидоро. Чи бажаєш, щоб я продовжив історію Радомира та Магдалини?
Я ствердно кивнула, в душі сильно шкодуючи, що не можу ось так просто і спокійно вести з ним бесіду, не хвилюючись про відпущені мені долею останні хвилини мого скаліченого життя і не думаючи з жахом про біду, що нависла над Анною.
– У біблії дуже багато пишеться про Івана Хрестителя. Чи був він по-справжньому з Радомиром та лицарями Храму? Його образ так напрочуд хороший, що іноді змушував сумніватися, чи був Іван справжньою фігурою? Чи можеш ти відповісти, Північ?
Північ тепло посміхнувся, мабуть, згадуючи щось, дуже для нього приємне і дороге...
— Іоанн був мудрим і добрим, як велике тепле сонце... Він був батьком для всіх, хто йшов з ним, їхнім учителем та другом... Його цінували, слухалися і любили. Але він ніколи не був тим молодим і напрочуд гарним юнаком, яким його зазвичай малювали художники. Іоанн на той час був уже літнім волхвом, але все ще дуже сильним і стійким. Сивий і високий, він був скоріше схожий на могутнього билинного воїна, ніж на дивовижно гарного і ніжного юнака. Він носив дуже довге волосся, як втім, і всі інші, які перебувають із Радомиром.

Це був Радан, він був справді надзвичайно красивим. Він, як і Радомир, змалку жив у Метеорі, поруч зі своєю матір'ю, Ведуною Марією. Згадай, Ізидоре, як багато картин існує, в яких Марія написана з двома, майже одного віку, немовлятами. Їх чомусь малювали усі знамениті художникиможливо, навіть не розуміючи, КОГО по-справжньому зображала їхню кисть... І що найцікавіше – це те, що саме на Радана Марія дивиться на всіх цих картинах. Мабуть, уже тоді, будучи ще немовлям, Радан уже був таким же веселим і притягуючим, яким він залишався все своє коротке життя...

І ще... якби й малювали художники саме Іоанна на цих картинах, то як тоді той самий Іоанн зумів би так жахливо постаріти до часу своєї страти, здійсненої за бажанням капризниці Соломії?.. Адже за Біблією це трапилося ще до розп'яття. Христа, отже, Іванові мало бути на той час не більше тридцяти чотирьох років! Яким же чином з по-дівочому красивого, златокудрого юнака він перетворився на старого і зовсім несимпатичного єврея?!

- Значить Волхв Іоанн не загинув, Північ? – зрадовано спитала я. - Чи він загинув по-іншому?
- На жаль, справжньому Іоанну і справді відрубали голову, Ізидора, але це не сталося з злої волі примхливої розпещеної жінки. Причиною його загибелі була зрада іудейського «друга», якій він довіряв, і у якого в будинку жив кілька років...
- Але як же він не відчув? Як не побачив, що це за друг?! – обурилася я.
- Напевно, неможливо підозрювати кожну людину, Ізидора... Думаю, їм і так було досить складно комусь довіритися, адже їм усім доводилося якось пристосовуватися і жити в тій чужій незнайомій країні, не забувай цього. Тому з великого і меншого зла вони, мабуть, намагалися вибрати менше. Але передбачити все неможливо, адже ти сама чудово знаєш це, Ізидора... Смерть Волхва Іоанна сталася вже після розп'яття Радомира. Його отруїв юдей, у домі у якого Іван на той час жив разом із сім'єю загиблого Ісуса. Одного вечора, коли весь будинок уже спочивав, господар, розмовляючи з Іоанном, підніс йому його улюблений чай з домішкою найсильнішої трав'яної отрути... Наступного ранку ніхто навіть не зміг зрозуміти, що таке сталося. За словами господаря, Іван просто миттєво заснув, і вже ніколи не прокинувся більше... Його тіло знайшли вранці у його закривавленому ложі з... відрубаною головою... За словами того ж господаря, юдеї дуже боялися Іоанна, бо вважали його неперевершеним магом. І щоб бути впевненими, що він ніколи не воскресне – вони обезголовили його. Голову ж Івана пізніше викупили (!!!) у них і забрали з собою лицарі Храму, зумівши зберегти її і привезти в Долину Магів, щоб таким чином дати Іоанну хоча б таку малу, але гідну і заслужену повагу, не дозволяючи юдеям просто знущатися з ним, виконуючи якісь свої магічні ритуали. З того часу голова Івана була з ними завжди, де б вони не були. І за цю ж голову через дві сотні років лицарів Храму звинуватили в злочинному поклонінні Дияволу... Ти ж пам'ятаєш останню «справу Тамплієрів» (Лицарів Храму), чи не так, Ізидоро? Саме там їх звинуватили в поклонінні «голові, що говорить», яка дратувала все церковне духовенство.

- Пробач мені, Північ, але чому Лицарі Храму не привезли голову Івана сюди, в Метеору? Адже, наскільки я розумію, ви всі любили його! І звідки тобі відомі всі ці подробиці? Адже тебе не було разом з ними? Хто розповів тобі про все це?
– Розповіла нам усю цю сумну історію Ведуня Марія, мати Радана та Радомира...
– А хіба Марія повернулася до вас після страти Ісуса?!.. Адже, наскільки мені відомо, вона була з її сином під час розп'яття. Коли вона повернулася до вас? Чи можливо, що вона все ще жива?.. – затамувавши подих, спитала я.