Горизонтально поверхня, що проеціює. Площини та їх проекції

Для отримання уявлення про предмет використовують зображення на папері або екрані. Зазвичай зображення предмета з якоюсь однією зі сторін не дає повноцінного уявлення про його форму, потрібно отримати його проекцію на дві чи три площини. Щоб упорядкувати процес проектування, площини, на які відбувається проектування, мають перпендикулярно один одному. Розглянемо, які є види площин. Усього їх три, і вони утворюють у просторі тригранний прямий кут.

Кожна з площин проекцій має своє власна назваі буквене позначення. Фронтальна площина - вертикально розташована перед нашим поглядом площина проекцій. Для наочності - це площину, до якої звернені обличчям, т. е. площину картини, яку ми розглядаємо. Позначається фронтальна площина латинською літерою V.

Площина горизонтальна розташовується перпендикулярно до передньої. p align="justify"> Образно кажучи, горизонтальна площина - це та площина, що лежить у нас «під ногами». Її прийнято позначати літерою H.

Третя з основних площин проекцій зветься профільною. Як і фронтальна площина, вона розташована вертикально і утворює прямий кут із двома попередніми. Позначають профільну площину W.

При попарному перетині трьох даних площин утворюються осі проекцій x, y, z. перпендикулярні промені із загальною вершиною в точці перетину всіх трьох площин проекцій, що позначається літерою Про.

Щоб отримати розгорнуте зображення предмета, потрібно поєднати зображення, отримані на трьох взаємно перпендикулярних гранях. Для цього дві грані кута розгортають і поєднують із третьою. Фронтальна площина залишається на місці, горизонтальна повертається вниз на 90° вздовж осі x профільна площина повертається вправо на 90° вздовж осі z. Таким чином дві останні площини поєднуються з фронтальною (горизонтальна розташовується під нею, профільна – праворуч).

У накреслювальній геометрії будь-яка довільно розташована площина на кресленні може бути задана різними способами: проекціями трьох точок, що не лежать на одній прямій, проекцією прямої і точки, розташованої поза нею, а також проекціями паралельних або прямих або плоскої фігури, що перетинаються.

Щодо основних площин проекцій площина, що розглядається, може займати такі положення:

1. Вона може бути неперпендикулярною жодній з них. Тоді це – т.з. площина загального становища.

2. Може бути перпендикулярною до однієї з трьох площин проекцій. У такому разі її називають горизонтально-проецірующей, профільно-проецірующей або фронтально-проецірующей відповідно до тієї площини, якою вона перпендикулярна.

3. Площина може виявитися перпендикулярною двом із них і паралельною третьою. Тоді вона називається фронтальної, горизонтальної чи профільної відповідно.

Пряма може займати такі положення стосовно площини:

1. Належати їй.

2. Бути їй паралельною.

3. Перетинати площину (частка – у вигляді перпендикуляра)

У площині є основні лінії, які називаються горизонталями та фронталями. Це прямі, що лежать у площині та паралельні відповідним площинам проекцій.

Будь-яку площину можна зобразити у вигляді т.з. слідів площини, тобто ліній, якими вона перетинається з площинами проекцій. Сліди площини також називаються горизонтальним, фронтальним та профільним. У місцях перетину з площиною осей проекцій на осях з'являються точки взаємного перетину слідів цієї поверхні, які прийнято називати точками сходу слідів поверхні.

Горизонтальний та фронтальний сліди площини на площинах проекцій збігаються зі своїми однойменними проекціями. Також слід згадати, що будь-які горизонталі однієї і тієї ж площини взаємно паралельні та паралельні її горизонтальному сліду, а будь-які її фронталі також взаємно паралельні та паралельні її фронтальному сліду.

ЗОБРАЖЕННЯ ПЛОЩИНИ НА КОМПЛЕКСНОМ КРЕСЛЕННІ

Площиною називається поверхня, що утворюється рухом прямої лінії, яка рухається паралельно самій собі по нерухомій напрямній прямій.

Проекції площини комплексному кресленні будуть різні залежно від цього, чим вона задана. Як відомо з геометрії, площина може бути задана: а) трьома точками, що не лежать на одній прямій; б) прямою лінією та точкою, що лежить поза цією прямою; в) двома прямими, що перетинаються; г) двома паралельними прямими.

На комплексному кресленні (рис. 99) проекції площини задаються проекціями цих елементів, наприклад, на рис 99, а - проекціями трьох точок А, і С, що не лежать на одній прямій; на рис. 99 б - проекціями прямої ВС і точки А у не лежить на цій прямій; на рис. 99, в - проекціями двох прямих, що перетинаються; на рис. 99 г проекціями двох паралельних прямих ліній АВ і CD.

На рис. 100 площина задана прямими лініями, якими ця площина перетинає площини проекцій. Такі лінії називаються слідами площині.
Лінія перетину цієї площини Р з горизонтальною площиною проекцій Н називається горизонтальним слідом площини Р і позначається Р н.
Лінія перетину площини Р із фронтальною площиною проекцій V називається фронтальним слідом цієї площини та позначається Р v .

Лінія перетину площини Р з профільною площиною проекцій W називається профільним слідом цієї площини і позначається P w .

Сліди площини перетинаються на осях проекцій. Точки перетину слідів поверхні з осями проекцій називаються точками сходу слідів. Ці точки позначаються Р x , Р y Р z .

Розташування слідів площини Р на комплексному кресленні щодо осей проекцій визначає положення самої площини стосовно площин проекцій. Наприклад, якщо площина Р має фронтальний і профільний сліди P v і P w , паралельні осям Ох і Оу то така площина паралельна площині Н і називається горизонтальною (рис. 101 і). Площина Р зі слідами Р н і P w паралельними осям проекцій Ох і Oz (рис. 101 називається фронтальною, а площина Р зі слідами P v і P н паралельними осям проекцій Оу і Oz - профільної (рис. 101 в) .

Горизонтальна, фронтальна та профільна площини, перпендикулярні до двох площин проекцій, називаються площинами рівня. Якщо на комплексному кресленні площину рівня задана не слідами, а якоюсь плоскою фігурою, наприклад, трикутником або паралелограмом (рис. 101, г, д, е), то на одну з площин проекцій ця фігура проектується без спотворення, а на дві інші площині проекцій - як відрізків прямих.

ПРОЄКУЮЧІ ПЛОЩИНИ І ПЛОЩИНІ ЗАГАЛЬНОГО ПОЛОЖЕННЯ

Площина, перпендикулярна до площини Н (рис. 102, а),називається горизонтально-проекційною площиною.Фронтальний слід P v цій площині перпендикулярний до осі Ох, а горизонтальний слід Р н розташований під кутом до осі Ох (комплексний креслення на рис. 102, а)

Якщо горизонтально-проецірующая площина задана не слідами, а якоюсь фігурою, наприклад трикутником АВС (рис. 102, 6), то горизонтальна проекція цієї площини є прямою лінією, а фронтальна і профільна проекції - спотворений вид трикутника АВС.

Фронтально-проекційною площиноюназивається площина, перпендикулярна до фронтальної площини проекцій (рис. 102 в).

Горизонтальний слід цієї площини перпендикулярний до осі Ох, а фронтальний слід розташований під деяким кутом до осі Ох (комплексний креслення на рис. 102, в).

При завданні фронтально-проєкуючої площини не слідами, а, наприклад, паралелограмом ABCD фронтальна проекція такої площини являє собою пряму лінію (рис. 102, г), а на горизонтальну та профільну площині проекцій паралелограм проектується з спотворенням.

Профільно-проекційною площиноюназивається площина, перпендикулярна до площини W (рис. 102, д). Сліди P v і Р н цій площині паралельні осі Ох.

При завданні профільно-проєкуючої площини не слідами, а, наприклад, трикутником АВС (рис. 102, е) профільна проекція такої площини є прямою лінією. Площини, перпендикулярні двом площин проекцій, як було сказано, називаються площинами рівня.

Якщо площина Р не перпендикулярна жодній із площин проекцій (рис. 102, ж), то така площина називається площиною загального стану. Усі три

сліду P v , Р н та P w площині Р нахилені до осей проекцій.

Якщо площина загального положення задана не слідами, а, наприклад, трикутником АВС (рис. 102, з), цей трикутник проектується на площині H, V і W у спотвореному вигляді.

ПРОЕКЦІЇ ТОЧКИ І ПРЯМИЙ, РОЗМІЩЕНИХ НА ПЛОЩИНІ

Якщо пряма розташована на площині, то вона повинна проходити через дві точки, що належать цій площині. Такі дві точки можуть бути взяті на слідах площині – одна на горизонтальній, а інша на фронтальному. Оскільки сліди прямої та площини знаходяться на площинах проекцій і то сліди прямої, що належить площині, повинні бути розташовані на однойменних слідах цієї площини (рис. 103, а); наприклад, горизонтальний слід Н прямої - на горизонтальному сліді площини, фронтальний слід V прямої - На фронтальному сліді Рv площині (рис. 103 б).

Для того щоб на комплексному кресленні площини Р, заданої слідами, провести якусь пряму загального положення, необхідно намітити на слідах площини точки v" або вважати їх слідами прямої (точніше, v" - фронтальної проекцією горизонтального сліду прямої).

Опустивши перпендикуляри з v" і вісь проекцій х, знаходимо на ній другі проекції слідів прямої: v - горизонтальну проекцію фронтального сліду прямої і h" - фронтальну проекцію горизонтального сліду прямої. З'єднавши однойменні проекції слідів, тобто v"c h і v c h прямими, отримаємо дві проекції прямої лінії, розташованої в площині загального положення Р.

Дуже часто потрібно провести на площині горизонталь та фронталь, які називаються головними лініями площини або рівнями. Головні лінії допомагають вирішувати багато завдань проекційного креслення.

Горизонталь і фронталь мають у системі двох площин V і Н лише за одним слідом (наприклад, горизонталь має лише фронтальний слід). Тому, знаючи один слід головної лінії, проекцію головної лінії проводять по заздалегідь відомому напрямку. Цей напрямок для горизонталі видно із рис. 104 а, де показана площина загального положення і горизонталь, що лежить на ній. З малюнка видно, що горизонтальна проекція горизонталі паралельна горизонтальному сліду площини.

Таким чином, щоб на комплексному кресленні площини Р провести у цій площині якусь горизонталь, потрібно намітити на сліді Р v площині точку v (рис. 104 б) і вважати її фронтальною проекцією фронтального сліду горизонталі. Потім через точку паралельно осі х проводять пряму, яка буде передньою проекцією горизонталі.

Опустивши перпендикуляр з точки v" на вісь x одержують точку v, яка буде горизонтальною проекцією фронтального сліду горизонталі. Пряма, проведена з точки v паралельно сліду P H площині, являє собою горизонтальну проекцію шуканої горизонталі. Побудова проекції фронталі показано на рис. 104, в та р.

11 з рідко потрібно провести горизонталь і фронталь на площинах, що проектують. Розглянемо, наприклад, побудову горизонталі на фронтально-проецірующій площині (рис. 105). На сліді площини Р v намічаємо фронтальну проекцію фронтального сліду горизонталі і осі знаходимо його горизонтальну проекцію v (рис. 105, а). Потім через точку проводимо паралельно Р н горизонтальну проекцію горизонталі; фронтальна проекція горизонталі збігається з точкою v".

Якщо площина задана не слідами, а прямими, що перетинаються або паралельними, то побудова проекцій горизонталі або фронталі, розташованих у цій площині, виконується наступним чином.

Нехай площина задана двома паралельними прямими АВ і СD (рис. 105, 6). Для побудови горизонталі, що лежить у цій площині, проводимо паралельно осі х фронтальну проекцію горизонталі і відзначаємо точки е"і f" перетину фронтальної проекції горизонталі з фронтальними проекціями паралельних прямих, якими задана площина. Через точки е"і f" проводимо вертикальні лініїзв'язку до перетину з ab та cd у точках е та f. Точки е і f з'єднуємо прямою лінією, яка буде горизонтальною проекцією горизонталі.

Якщо потрібно знайти сліди площини, заданої перетинаються або паралельними прямими, треба знайти сліди цих прямих і через отримані точки провести сліди площини, що шукаються.

Розглянемо комплексне креслення паралелограма ABCD (рис. 106, a), яке задає деяку площину X. Відрізок DC розташований у площині H, отже, його горизонтальна проекція dc є горизонтальним слідом площини (точніше - горизонтальною проекцією горизонтального сліду площини).

Щоб знайти фронтальний слід цієї площини, необхідно продовжити горизонтальну проекцію dc прямої DC до перетину з віссю х у точці Р х, через яку повинен пройти фронтальний слід площини, що шукається.

Другою точкою v", через яку пройде шуканий фронтальний слід площини, є фронтальний слід прямої АВ (фронтальна проекція фронтального сліду). горизонтальною проекцією шуканого фронтального сліду прямої АВ.Фронтальна проекція фронтального сліду цієї прямої знаходиться на перпендикулярі, відновленому з точки v до осі х, в точці v його перетину з продовженням фронтальної проекції а в прямої АB. З'єднавши точки P x з v", знаходимо передній слід P v площині.

Приклад розв'язання такого завдання наведено на рис 106, б.

Часто на комплексних кресленнях доводиться вирішувати таке завдання: за однією із заданих проекцій точки, розташованої на заданій площині, визначити дві інші проекції точки. Хід розв'язання задачі наступний.

Через задану проекцію точки, наприклад, фронтальну проекцію n" точки N, розташованої на площині трикутника АВС (рис. 107), проводимо однойменну проекцію допоміжної прямої будь-якого напрямку, наприклад m'к".

Горизонталлю площининазивається пряма, що належить цій площині та паралельна горизонтальній площині проекцій Н.

Будуємо іншу проекцію m до допоміжної прямої. Для цього проводимо вертикальні лінії зв'язку через точки m" і к" до перетину з лініями ас та нд. З точки n" проводимо лінію зв'язку до перетину з проекцією mк в точці n.

Профільну проекцію n" знаходимо по загальним правилампроектування.

Як допоміжна пряма для спрощення побудови частіше використовуються горизонталь або фронталь.

Щоб знайти якусь точку на площині Р, наприклад точку А (рис. 108, а і б) треба знайти її проекції а"і а, які розташовуються на однойменних проекціях горизонталі, що проходить через цю точку. Через точку А проведена горизонталь Av" .

Проводимо проекції горизонталі: фронтальну - через v" паралельно осі х, горизонтальну - через v паралельно сліду Р н площині Р. На фронтальній проекції горизонталі намічаємо фронтальну проекцію а" шуканої точки і, проводячи вертикальну лінію зв'язку, визначаємо горизонтальну проекцію а точки А.

Якщо точка лежить на площині, що проеціює, то побудова її проекцій спрощується. У цьому випадку одна з проекцій точки завжди розташована на сліді площини (точніше, на його проекції). Наприклад, горизонтальна проекція а точки А, розташованої на горизонтально-проекції площині Р, знаходиться на горизонтальній проекції горизонтального сліду площини (рис. 108, в і г)

При заданій фронтальній проекції a" точки А, що лежить на горизонтально-проецірующей площині, знайти другу проекцію цієї точки (горизонтальну) можна без допоміжної прямої, через проведення лінії зв'язку через а" до перетину зі слідом Р Н.

Якщо точка розташована на фронтально-проецірующей площині Р (рис. 108, д і е), то її фронтальна проекція а знаходиться на фронтальному сліді Х v площині Р.

ПРОЕКЦІЇ ПЛОСЬКИХ ФІГУР

Знаючи побудову проекцій прямих і точок, розташованих на площині, можна побудувати проекції будь-якої плоскої фігури, наприклад прямокутника, трикутника, кола.

Як відомо, кожна плоска фігура обмежена відрізками прямих або кривих ліній, які можуть бути збудовані по точках.

Проекції фігури, обмеженої прямими лініями (трикутника та багатокутника), будують по точках (вершин). Потім однойменні проекції вершин з'єднують прямими лініями та одержують проекції фігур.

Проекції кола або іншої криволінійної фігури будують за допомогою кількох точок, які рівномірно беруть по контуру фігури. однойменні проекції точок з'єднують плавною кривою по лекалу.

Проекції плоскої фігури будують у різний спосібв залежності від положення фігури щодо площин проекцій і найбільш просто побудувати проекції фігури, розташованої паралельно площинам Н і V; складніше - при розташуванні фігури на площині, що проеціює, або на площині загального положення.

Розглянемо кілька прикладів.

Якщо трикутник АВС розташований на площині, паралельній площині H (рис. 109, a), то горизонтальна проекція цього трикутника буде його дійсним виглядом, а фронтальна проекція - відрізком прямої, паралельної осі х. Комплексне креслення трикутника АВС показано на рис. 109, 6. Такий трикутник можна бачити на зображенні різьбового різця (рис. 109, в), передня грань якого трикутна.

Трапеція ABCD розташована на передній площині (рис. 110, а). Фронтальна проекція трапеції є відрізок прямої лінії, а горизонтальна - трапецію (рис. 110, б)

Задня грань відрізного різця (рис. 110, в) має форму трапеції.

Розглядаючи площину, паралельну горизонтальній, фронтальній або профільній площині проекцій (площину рівня), можна помітити, що будь-яка фігура, що лежить у цій площині, має одну з проекцій, що є справжнім виглядом цієї фігури; друга та третя проекції фігури збігаються зі слідами цієї площини.

Розглядаючи проецірующую площину, зауважимо, що будь-яка точка, відрізок прямої або кривої лінії, а також фігури, розташовані на площині, що проеціює, мають одну проекцію, розташовану на сліді цієї площини. Наприклад, якщо коло лежить на фронтально-проецирующей площині Р (рис. 111), то фронтальна проекція кола збігається з фронтальним слідом Pv площині Р. Дві інші проекції кола спотворені і є еліпси. Великі осі еліпсів дорівнюють проекціям діаметра кола 37. Малі осі еліпсів дорівнюють проекціям діаметра кола 15, перпендикулярного діаметру 37.

На рис. 111,6 показано коліно труби з двома фланцями. Горизонтальна проекція контуру нижнього фланця, розташованого в горизонтальній площині, буде дійсним видом кола. Горизонтальна проекція контуру верхнього фланця з'явиться у вигляді еліпса.

ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ПЛОЩИН

Дві площини можуть бути взаємно паралельними або такими, що перетинаються.

Зі стереометрії відомо, що якщо дві паралельні площини перетинають якусь третю площину, то лінії перетину цих площин паралельні між собою. Виходячи з цього положення можна зробити висновок, що однойменні сліди двох паралельних площин Р і Q також паралельні між собою.

Якщо дані дві профільно-проецірующие площини Р і К (рис. 112, а), то паралельність їх фронтальних і горизонтальних слідів на комплексному кресленні в системі V і Н недостатня для того, щоб визначити, чи паралельні ці площини ні. Для цього необхідно побудувати їх профільні сліди у системі V, Н та W (рис. 112, б). Площини Р і K будуть паралельні тільки в тому випадку, якщо паралельні їх профільні сліди P w і K w .

Однойменні сліди площин Р і Q (рис. 112, в) перетинаються в точках V і H, які належать обом площинам, тобто лінії їх перетину. Оскільки ці точки розташовані на площинах проекцій, то, отже, є також слідами лінії перетину площин. Щоб на комплексному кресленні побудувати проекції лінії перетину двох площин Р і Q, заданих слідами P v , Р н і Q v , Q h необхідно відзначити точки перетину однойменних слідів площин, тобто точки v" і h (рис. 112, г); точка v" - фронтальна проекція фронтального сліду шуканої лінії перетину площин Р і Q, h - горизонтальна проекція горизонтального сліду цієї ж прямої. Опускаючи перпендикуляри з точок v і h на вісь х, знаходимо точки v і h. З'єднавши прямими однойменні проекції слідів, тобто точки v" та h", v і h" отримаємо проекції лінії перетину площин Р і Q.

ПРЯМА, НАЛЕЖНА ПЛОЩИНІ

Для цього фронтальну проекцію відрізка mn продовжуємо до перетину з відрізками ab і cd (проекціями сторін трикутника АВС), отримуємо точки (рис. 113, б).

З точок е"к" проводимо лінії зв'язку на горизонтальну проекцію до перетину з відрізками ab і ca отримуємо точки еk. Продовжимо горизонтальну проекцію mn відрізка прямої MN до перетину з проекціями сторін bа і са, якщо точки перетину збігатимуться з раніше отриманими точками e і k то пряма MN належить площині трикутника.

ПЕРЕКЛАД ПРЯМИЙ З ПЛОЩИНОЮ

Якщо пряма АВ перетинається з площиною Р, то комплексному кресленні точка їх перетину визначається в такий спосіб.

Через пряму А проводять будь-яку допоміжну площину Q. Для спрощення побудов площина Q зазвичай береться проецірующей (рис. 114, a). В даному випадку проведена допоміжна горизонтально-проецірующая площину Q. Через горизонтальну проекцію аb прямої АВ проводять горизонтальний слід Q H площині Q і продовжують його до перетину з віссю x у точці Q x . З точки Q x до осі х відновлюють перпендикуляр Q x Q y, який буде фронтальним слідом Q v допоміжній площині Q.

Допоміжна площина Q перетинає цю площину Р по прямій VH, сліди якої лежать на перетині слідів площин Р і Q. Помітивши точки перетину слідів P v і Q v - точку v і слідів Q н і P H - точку h, опускають з цих точок на вісь х перпендикуляри, основи яких - точки v" і h" - будуть другим проекціями слідів прямої VH. З'єднуючи точки v"і h", v і h, отримують фронтальну та горизонтальну проекції лінії перетину площин.

Точка перетину М заданої прямої AB і знайденої прямої VH і буде шуканою точкою перетину прямої АВ з площиною Р. Фронтальна проекція m" цієї точки розташована на перетині проекцій a"b" і v"h". Горизонтальну проекцію m точки М знаходять, проводячи вертикальну лінію зв'язку з точки m" до перетину з ab.

Якщо площина задана не слідами, а плоскою фігурою, наприклад трикутником (рис. 114, 6), точку перетину прямої MN з площиною трикутника АВС знаходять таким чином.

Через пряму МN проводять допоміжну фронтально-проецуючу площину. Для цього через точки m" і n" проводять фронтальний слід площини Р продовжують його до осі x і з точки перетину сліду площини Р у з віссю х опускають перпендикуляр Р н, який буде горизонтальним слідом площини Р.

Потім знаходять лінію ED перетину площини Р із площиною даного трикутника ABC. Фронтальна проекція e"d" лінії ED збігається з m"n". Горизонтальну проекцію ed знаходять, проводячи вертикальні лінії зв'язку з точок е і d до зустрічі з проекціями ab і ас сторін трикутника АВС. Точки e та d з'єднують прямий. На перетині горизонтальної проекції ed лінії ED з горизонтальною проекцією прямої MN знаходять горизонтальну проекцію k шуканої точки К. Провівши з точки k вертикальну линю зв'язку, знаходять фронтальну проекцію k Точка К - точка перетину прямої МК з площиною трикутника АВС.

У окремому випадку пряма може бути перпендикулярна площині Р. З умови перпендикулярності прямої до площини слід, що пряма перпендикулярна площині, якщо вона перпендикулярна двом прямим, що перетинаються, лежать на цій площині (зокрема, цими прямими можуть бути сліди площини). Тоді проекції прямої АВ будуть перпендикулярні однойменним слідам цієї площини (рис 115, а) Фронтальна проекція а"b" перпендикулярна до фронтального сліду Р у, а горизонтальна проекція ab перпендикулярна горизонтальному сліду Р н площині Р.

Якщо площина задана паралельними або пересічними прямими, то проекції прямої, перпендикулярної до цієї площини, будуть перпендикулярні горизонтальній проекції горизонталі та фронтальної проекції фронталі, що лежать на площині.

Таким чином, якщо, наприклад, на площину, задану трикутником АВС, необхідно опустити перпендикуляр, то побудова виконується наступним чином (рис. 115, б).

На площині проводять горизонталь РЄ та фронталь FA. Потім із заданих проекцій d і d" точки D опускають перпендикуляри відповідно на ce і f"a". Пряма, проведена з точки D буде перпендикулярна площині трикутника АВС.

ПЕРЕКЛАД ПЛОЩИН

Завдання на побудову лінії перетину площин, заданих прямими, що перетинаються, можна вирішувати подібно задачі на перетин площини з прямими лініями. На рис. 116 показано побудову лінії перетину площин, заданих трикутниками АВС та DEF. Пряма MN побудована за знайденими точками перетину сторін DE та EF трикутника DEF з площиною трикутника АВС.

Наприклад, щоб знайти точку M, через пряму DF проводять фронтально-проецірующую площину Р, яка перетинається з площиною трикутника АВС по прямій 12. Через отримані точки 1" і 2" проводять вертикальні лінії зв'язку до перетину їх з горизонтальними проекціями ав та ас сторін трикутника АВС у точках 1 і 2. На перетині горизонтальних проекцій df і 12 отримують горизонтальну проекцію m шуканої точки М, яка буде точкою перетину прямої DF з площиною АВС. Потім знаходять фронтальну проекцію m точки M. Точку N перетину прямої EF з площиною АВС знаходять так само, як і точку М.

З'єднавши попарно точки m" і n", m і n, одержують проекції ліній перетину MN площин АВС та DEF.

План

1. Проекції площин загального стану

2. Проекції площин рівня

Горизонтальна площина

Фронтальна площина

Профільна площина

3. Проекції проектуючих площин

Горизонтально-проекційна площина

Фронтально-проекційна площина

Профільно-проекційна площина

4. Взаємне розташування двох площин

Паралельні площини

Пересічні площини

5. Перетин площин загального стану

6. Взаєморозташування прямої та площини

Пряма - у площині

Пряма, паралельна площині

Пряма перетинає площину

7. Перетин прямої з площиною

8. Умова видимості на кресленні

1. Проекції площин загального стану

На комплексному кресленні площина може бути задана зображеннями тих геометричних елементів, які визначають положення площини в просторі. Це:

1) три точки, що не лежать на одній прямій (рис. 30);

3) дві паралельні прямі (рис. 27);

4) дві прямі, що перетинаються (рис. 28).

При вирішенні деяких завдань доцільно задавати на комплексному кресленні площину її слідами (рис. 31).

Рис. 30	Рис. 31

СЛІДОМ ПЛОЩИНИ називається пряма, якою дана площина перетинається з площиною проекцій.

На рис. 31 зображено площину  та її сліди: с - горизонтальний; а – фронтальний; b – профільний. Сліди площини зливаються з однойменними своїми проекціями: слід с = с; слід а = а; слід b = b """. Крапки

2. Проекції площин рівня

Площинами рівня називаються площини, що паралельні площинам проекцій.

Характерна риса цих площин полягає в тому, що елементи, розташовані в цих площинах, проектуються на відповідну площину проекцій у натуральну величину.

Горизонтальна площина

Горизонтальна площина (рис. 32) паралельна горизонтальній площині проекцій.

На рис. 32 зображено горизонтальну площину  ( V).

Фронтальна площина

Фронтальна площина (рис. 33) паралельна фронтальній площині проекцій.

На двокартинному комплексному кресленні вона зображується одним фронтальним слідом, паралельним до осі x.

На рис. 33 зображено фронтальну площину  ( ).

Профільна площина

Профільна площина (рис. 34) паралельна профільній площині проекцій.

На двокартинному комплексному кресленні вона зображується двома слідами: горизонтальним та фронтальним, перпендикулярними до осі x.

На рис. 34 зображено профільну площину  ( H,V).

Рис. 34

3. Проекції проектуючих площин

ПРОЕЦІЮЮЧИМИ називаються площини, перпендикулярні до площин проекцій.

Характерною особливістю таких площин є їх збиральна властивість. Воно полягає в наступному: відповідний слід – проекція площини – збирає однойменні проекції всіх елементів, розташованих у даній площині.

Горизонтально-проекційна площина

Горизонтально-проецуюча площина (рис. 33) перпендикулярна горизонтальній площині проекцій H.

Рис. 35	Рис. 36

Горизонтальні проекції всіх точок, що належать горизонтально-проєкуючої площині , розташовуються на горизонтальному сліді - проекції  H цієї площини (рис. 35).

Фронтально-проекційна площина

Фронтально-проецуюча площина (рис. 36) перпендикулярна до передньої площини проекцій V.

Фронтальні проекції всіх точок, що належать фронтально-проєкуючої площині , розташовуються на фронтальному сліді - проекції   цієї площини (рис. 36).

Профільно-проекційна площина

Профільно-проецуюча площина (рис. 37) перпендикулярна до профільної площини проекцій W.

Рис. 37

Профільні проекції всіх точок, що належать профільно-проєкуючої площині , розташовуються на профільному сліді -проекції цієї  W площині (рис. 37).

За зображенням предмета на одній площині проекцій у багатьох випадках не можна судити про його форму та розміри. Предмети, показані на рис. 4.3 - прямокутна пластинка, трикутна призма, прямокутний паралелепіпед і паралелепіпед з частиною циліндра - дають у цьому випадку однакові проекції у вигляді прямокутника.

По одній проекції можна судити лише про два виміри предмета.

Але дві проекції предмета часто недостатньо повно відображають його форму. Так, наприклад, дві проекції прямокутного паралелепіпеда (рис. 4.3, а, б) неоднозначно відображають його форму. Такі дві проекції можуть мати трикутна призма (рис. 4.3, в), та призму із закругленням (рис. 4.3, г), і т.д.

Рис. 4.3.

Щоб отримати повне уявлення про форму і розмір предмета, його потрібно спроектувати на дві, три або більше площин. Для простоти проектування ці площини мають взаємно перпендикулярно. Таким чином, три площини утворюють прямий тригранний кут (рис. 4.4, а). Кожній площині дано назву та позначення (рис. 4.4б). а, б).

Рис. 4.4.

Вертикальна площина, розташована прямо перед нами, називається фронтальною площиною проекцій.Вона позначається латинською літерою π 2. Під прямим кутом до неї горизонтально розташовується площина проекцій, що називається горизонтальну площину.Вона позначається латинською літерою π1. Перпендикулярно до цих площин розташовується ще одна вертикальна площина, позначена буквою π3, звана профільною площиною проекцій.Попарне перетин площин тригранного кута утворює прямі лінії - осі проекцій, що виходять з точки О.Перетин фронтальної та горизонтальної площин проекцій утворює вісь х,фронтальної та профільної – вісь z1, профільної та горизонтальної – вісь у(Рис. 4.4, б).

На рис. 4.4, азображено тригранний кут. Його грані взаємно перпендикулярні і лежать у одній площині. Проте креслення виконується на площині. Щоб зображення, отримані на сторонах тригранного кута, опинилися в одній площині, дві грані цього кута розгортають до суміщення з третьою гранню, тобто. до такого положення, коли всі три площини трикутного кута виявляться в одній площині. Для цього горизонтальну площину повертають навколо осі. хвниз на 90°, профільну площину – навколо осі zна 90° праворуч, як показано стрілками. Тоді обидві ці площини поєднуються з нерухомою передньою. При цьому горизонтальна площина знаходиться під фронтальною, а профільна - праворуч від неї (рис. 4.4, б).

Ось уяк би розпадається на дві: уі у 1.

Лінії, що обмежують площини проекцій квадратами, взяті умовно і не мають значення, тому їх зазвичай не проводять. Тоді площини проекцій зобразяться, як показано на рис. 4.4, в.

Комплексне креслення предмета

Вивчивши, як будують проекції точок, відрізків прямих і пласких постатей, тобто. елементів, які обмежують різні предмети(вироби або їх складові) можна перейти до розгляду способів отримання прямокутних зображень самих предметів.

На рис. 4.5, апредставлений прямий трикутний кут. Перед його площинами поміщений предмет, що зображується – упор. Він розташований так, щоб можливо більша кількістьйого граней було паралельно чи перпендикулярно площинам проекцій. Це значно полегшує процес проектування.

Рис. 4.5.

Щоб отримати прямокутні проекції зображуваного предмета, необхідно провести промені промені перпендикулярно площинам проекцій.

Спроектуємо упор на передню площину проекцій π2. Точки перетину проектуючих променів із цією площиною дадуть проекції вершин упору. З'єднавши відповідним чином ці точки, отримаємо фронтальну проекцію, або вид спереду.Вид спереду називають також Основним видом.

Збудуємо проекцію упору на горизонтальній площині проекції π1 – вид зверху.Для цього опустимо на горизонтальну площину перпендикуляри, що проходять через вершини упору, та отримані точки їх перетину з площиною з'єднаємо відрізками прямих.

Провівши проецірующие промені на профільну площину проекцій π3 і виконавши побудови, аналогічні попереднім, отримаємо профільну проекцію предмета, що зображується – вид зліва.

Порівнюючи наочне зображення упору з його проекціями (рис. 4.5, а) і згадуючи вивчене, можна встановити таке.

По-перше, проекції упору на кожній з площин проекцій π2, π1, π3 являють собою зображення не тільки однієї сторони деталі, але і всього предмета, всіх його вершин, ребер і граней, якщо на горизонтальній та профільній проекціях штриховими лініями показати невидимий зверху та зліва контур деталі. На передній поверхні проекцій видно лише передня грань упору. Це тому, що бічні грані, перпендикулярні площині проекцій, зобразилися у вигляді відрізків прямих. Грані, паралельні відповідним площин проекцій, зображуються без спотворення розмірів.

По-друге, ребра, перпендикулярні до площини проекцій, зобразилися на ній у вигляді точок (наприклад, ребро АВна горизонтальній площині проекцій), а ребра, паралельні площині проекцій, зобразилися на ній у натуральну величину (наприклад, ребро АВна фронтальній та профільній площинах проекцій).

По-третє, похила грань упору на жодній площині проекцій не зобразилася в натуральну величину, хоча розмір однієї сторони цієї грані можна виміряти по проекції її ребра, паралельного фронтальній площині проекцій, а розмір іншої – по проекції ребра, паралельного горизонтальній та профільній площинам проекцій , однією з них.

Розгорнемо площини проекцій так, як це було показано на рис. 4.4, щоб поєднати їх у площині креслення (рис. 4.5, б). Фронтальна площина π2 при цьому залишається нерухомою, горизонтальна π1 повертається навколо осі хвниз на 90°, профільна π3 повертається навколо осі z на 90° вправо. Тоді види розташуються так: вид зверху - під головним виглядом, а вид зліва - праворуч від головного виду та на рівні його.

Фронтальні та горизонтальні проекції однойменних точок знаходяться при цьому на одних перпендикулярах до осі х(наприклад, фронтальна а"та горизонтальна апроекції точки А, А їх фронтальні та профільні проекції розташовуються на одних перпендикулярах до осі z (наприклад, фронтальна а"та профільна а"проекції точки А). Ці перпендикуляри називають лініями зв'язку.Таким чином, усі три проекції упору виявляються пов'язаними між собою. Положення будь-яких двох проекцій визначає положення третьої.

На кресленнях не проводять рамки, що обмежують площини проекцій, лінії зв'язку (див. рис. 4.4, в). Вилучивши їх, ми отримаємо креслення, представлене на рис. 4.5, в.

Іноді зображення предмета на суміщених площинах проекцій називають комплексним кресленням.

Так будують креслення у системі прямокутних проекцій. Проте нас цікавить як побудова креслень, а й читання їх, тобто. процес представлення просторової форми предмета за його плоскими зображеннями.

Для того щоб прочитати креслення, потрібно уявити собі, в результаті чого вийшло на ньому те чи інше зображення, подумати, яке тіло могло дати проекції, що розглядаються. При цьому не можна розглядати проекції ізольовано одну від одної. Необхідно подумки об'єднати в єдине ціле уявлення про всі проекції, дані на кресленні. 1

• Горизонтальні проекції точок позначатимемо без штриха ( а), фронтальні – з одним штрихом ( а") і профільні - з двома штрихами (в "). Читається: "а мале штрих", "а мале два штрихи".

Площина

Елементи, що визначають площину

Площина у просторі визначають:

1) трьома точками (на епюрі кожна точка визначається мінімально двома своїми проекціями (рис. 48));

2) прямою та точкою поза нею (рис. 49). У свою чергу пряма у просторі визначається двома точками. Звідси можливість переходу від завдання 2) до завдання 1);

Рис. 48 Мал. 49

3) двома прямими, що перетинаються (рис. 50). Порівняйте із завданнями 1) та 2);

Рис. 50 Мал. 51

4) двома паралельними прямими (рис. 51). Порівняйте з 1), 2), 3);

5) будь-якою плоскою фігурою (рис.52).

Рис. 52

Різні положення площини у просторі

Площини рівня

1. Горизонтальна площинаабо площина горизонтального рівня– це площина w, паралельна горизонтальній площині проекцій П1 (рис. 53). На площину П 1 будь-які фігури площини w проектуються в натуральну величину, а на П 2 і П 3 площина проектується в прямі w 2 і w 3 які називаються виродженими проекціями площини. Для завдання площини w на епюрі достатньо однієї її виродженої проекції, наприклад, w 2 .

Рис. 53

2. Фронтальна площинаабо площину фронтального рівня, Це площина паралельна фронтальної площини проекцій (рис. 54). На площину П 2 вона проектується в натуральну величину, а на П 1 і П 3 вироджується в прямі 1 і 3 .

Рис. 54

3. Профільна площинаабо площина профільного рівня – це площина γ, паралельна профільній площині проекцій П3 (рис. 55). На площину П 3 вона проектується в натуральну величину, а на П 1 і П 2 вироджується в прямі 1 , 2 .