Внутрішні зусилля при чистому та поперечному згині. Поняття про деформацію вигину
Сили, що діють перпендикулярно до осі бруса і розташовані в площині, що проходить через цю вісь, викликають деформацію, яка називається поперечним вигином. Якщо площина дії згаданих сил – головна площина, то має місце прямий (плоский) поперечний згин. В іншому випадку вигин називається косим поперечним. Брус, схильний переважно до вигину, називається балкою 1 .
Фактично поперечний вигин є поєднання чистого згину і зсуву. У зв'язку з викривленням поперечних перерізів через нерівномірність розподілу зсувів по висоті виникає питання про можливість застосування формули нормальної напруги σ хвиведеної для чистого вигину на підставі гіпотези плоских перерізів
1 Однопрогонова балка, що має по кінцях відповідно одну циліндричну нерухому опору і одну циліндричну рухому в напрямку осі балки, називається простий. Балка з одним защемленим та іншим вільним кінцем називається консоллю. Проста балка, що має одну або дві частини, що звисають за опору, називається консольної.
Якщо, крім того, перерізи взяті далеко від місць застосування навантаження (на відстані, не меншій за половину висоти перерізу бруса), то можна, як і у разі чистого вигину, вважати, що волокна не чинять тиску один на одного. Отже, кожне волокно відчуває одновісне розтягування чи стиск.
При дії розподіленого навантаження поперечні сили у двох суміжних перерізах відрізнятимуться на величину, рівну qdx. Тому викривлення перерізів також дещо відрізнятимуться. Крім того, волокна будуть чинити тиск один на одного. Ретельне дослідження питання показує, що якщо довжина бруса lдосить велика в порівнянні з його висотою h (l/ h> 5), те й при розподіленому навантаженні зазначені чинники не мають істотного впливу нормальні напруги у поперечному перерізі і тому у практичних розрахунках можуть враховуватися.
а Б В
Рис. 10.5 Мал. 10.6
У перерізах під зосередженими вантажами та поблизу них розподіл σ хвідхиляється від лінійного закону. Це відхилення, що носить місцевий характер і не супроводжується збільшенням найбільшої напруги (у крайніх волокнах), на практиці зазвичай не беруть до уваги.
Таким чином, при поперечному згині (у площині ху) нормальні напруги обчислюються за формулою
σ х= – [М z(x)/I z]y.
Якщо проведемо два суміжні перерізи на ділянці бруса, вільному від навантаження, то поперечна сила в обох перерізах буде однакова, а отже, однаково викривлення перерізів. При цьому будь-який відрізок волокна ab(Мал.10.5) переміститься в нове положення a"b", не зазнавши додаткового подовження, а отже, не змінюючи величину нормальної напруги.
Визначимо дотичні напруги в поперечному перерізі через парні їм напруги, що діють у поздовжньому перерізі бруса.
Виділимо з бруса елемент завдовжки dx(Рис. 10.7 а). Проведемо горизонталь-ний перетин на відстані увід нейтральної осі z, Що розділило елемент на дві частини (рис. 10.7) і розглянемо рівновагу верхньої частини, що має основу
ня шириною b. Відповідно до закону парності дотичних напруг, напруги, що діють у поздовжньому перерізі, рівні напругам, що діють у поперечному перерізі. З огляду на це припущення про те, що дотичні напруги в майданчику bрозподілені рівномірно використовуємо умову ΣХ = 0, отримаємо:
N * - (N * + dN *) +
де: N * - рівнодіюча нормальних сил у лівому поперечному перерізі елемента dx в межах "відсіченої" майданчика А * (рис. 10.7 г):
де: S = - статичний момент "відсіченої" частини поперечного перерізу (заштрихована площа на рис. 10.7 в). Отже, можна записати:
Тоді можна записати:
Ця формула була отримана в XIX столітті російським вченим та інженером Д.І. Журавським і має його ім'я. І хоча ця формула наближена, оскільки усереднює напругу по ширині перерізу, але отримані результати розрахунку за нею непогано узгоджуються з експериментальними даними.
Для того, щоб визначити дотичні напруги в довільній точці перерізу віддаленої на відстані y від осі z слід:
Визначити з епюри величину поперечної сили Q, що у перерізі;
Обчислити момент інерції I z перерізу;
Провести через цю точку площину паралельну площині xzта визначити ширину перерізу b;
Обчислити статичний момент відсіченої площі Щодо головної центральної осі zі підставити знайдені величини формулу Жура-вского.
Визначимо як приклад дотичні напруги в прямокутному поперечному перерізі (рис. 10.6, в). Статичний момент щодо осі zчастини перерізу вище лінії 1-1, на якій визначається напруга запишемо у вигляді:
Він змінюється згідно із законом квадратної параболи. Ширина перерізу вдля прямокутного бруса постійна, то параболічним буде закон зміни дотичних напруг у перерізі (рис.10.6, в). При y =і у = − дотичні напруги дорівнюють нулю, а на нейтральній осі zвони сягають найбільшого значення.
Для балки круглого поперечного перерізуна нейтральній осі маємо.
Прямий вигин. Побудова епюр Q і М за рівняннями Побудова епюр Q і М за характерними перерізами (точками) Розрахунки на міцність при прямому вигині балок Головні напруги при згині. Повна перевірка міцності балок Поняття про центр вигину Визначення переміщень у балках при згинанні. Поняття деформації балок та умови їх жорсткості Диференційне рівняння вигнутої осі балки Метод безпосереднього інтегрування Приклади визначення переміщень у балках методом безпосереднього інтегрування Фізичний зміст постійних інтегрування Метод початкових параметрів (універсальне рівняння вигнутої осі балки). Приклади визначення переміщень у балці методом початкових параметрів Визначення переміщень методом Мора. Правило А.К. Верещагіна. Обчислення інтеграла Мора за правилом А.К. Верещагіна Приклади визначення переміщень через інтеграл Мора Бібліографічний список Прямий вигин. Плоский поперечний згин. 1.1. Побудова епюр внутрішніх силових факторів для балок Прямим вигином називається такий вид деформації, при якому в поперечних перерізах стрижня виникають два внутрішні силові фактори: згинальний момент і поперечна сила. В окремому випадку, поперечна сила може дорівнювати нулю, тоді вигин називається чистим. При плоскому поперечному згині всі сили розташовані в одній з головних площин інерції стрижня і перпендикулярні до поздовжньої осі, в тій же площині розташовані моменти (рис. 1.1, а,б). Рис. 1.1 Поперечна сила в довільному поперечному перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри проекцій на нормаль до осі балки всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від аналізованого перерізу. Поперечна сила в перерізі m-nбалки (рис. 1.2, а) вважається позитивною, якщо рівнодіюча зовнішніх сил ліворуч від перерізу спрямована вгору, а справа – вниз, та негативною – у протилежному випадку (рис. 1.2, б). Рис. 1.2 Обчислюючи поперечну силу у цьому перерізі, зовнішні сили, що лежать ліворуч від перерізу, беруть зі знаком плюс, якщо вони спрямовані вгору, і зі знаком мінус, якщо вниз. Для правої частини балки – навпаки. 5 Згинальний момент у довільному поперечному перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри моментів щодо центральної осі z перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від аналізованого перерізу. Згинальний момент у перерізі m-n балки (рис. 1.3, а) вважається позитивним, якщо рівнодіючий момент зовнішніх сил зліва від перерізу спрямований за стрілкою годинника, а праворуч – проти годинникової стрілки, і негативним – у протилежному випадку (рис. 1.3, б). Рис. 1.3 При обчисленні згинального моменту в даному перерізі моменти зовнішніх сил, що лежать ліворуч від перерізу, вважаються позитивними, якщо вони спрямовані протягом годинної стрілки. Для правої частини балки – навпаки. Зручно визначати знак згинального моменту характером деформації балки. Згинальний момент вважається позитивним, якщо в аналізованому перерізі відсічена частина балки згинається опуклістю вниз, тобто розтягуються нижні волокна. У протилежному випадку згинальний момент у перерізі негативний. Між моментом, що згинає М, поперечною силою Q і інтенсивністю навантаження q існують диференціальні залежності. 1. Перша похідна від поперечної сили за абсцисом перерізу дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження, тобто. . (1.1) 2. Перша похідна від згинального моменту по абсцисі перерізу дорівнює поперечній силі, тобто. (1.2) 3. Друга похідна за абсцисом перерізу дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження, тобто. (1.3) Розподілене навантаження, спрямоване вгору, вважаємо позитивним. З диференціальних залежностей між М, Q, q випливає ряд важливих висновків: 1. Якщо ділянці балки: а) поперечна сила позитивна, то згинальний момент зростає; б) поперечна сила негативна, то згинальний момент зменшується; в) поперечна сила дорівнює нулю, то згинальний момент має постійне значення (чистий згин); 6 г) поперечна сила проходить через нуль, змінюючи знак із плюса на мінус, max M M, у протилежному випадку M Mmin. 2. Якщо на ділянці балки розподілене навантаження відсутнє, то поперечна сила постійна, а згинальний момент змінюється за лінійним законом. 3. Якщо на ділянці балки є рівномірно розподілене навантаження, то поперечна сила змінюється за лінійним законом, а згинальний момент – за законом квадратної параболи, зверненою опуклістю у бік дії навантаження (у разі побудови епюри М з боку розтягнутих волокон). 4. У перерізі під зосередженою силою епюра Q має стрибок (на величину сили), епюра М - злам у бік дії сили. 5. У перерізі, де прикладений зосереджений момент, епюра М має стрибок, що дорівнює значенню цього моменту. На епюрі Q це не відбивається. При складному навантаженні балки будують епюри поперечних сил Q і моментів, що згинають М. Епюрою Q(M) називається графік, що показує закон зміни поперечної сили (згинального моменту) по довжині балки. На основі аналізу епюр М та Q встановлюють небезпечні перерізи балки. Позитивні ординати епюри Q відкладаються вгору, а негативні – вниз від базисної лінії, що проводиться паралельно поздовжньої осі балки. Позитивні ординати епюри М відкладаються донизу, а негативні – вгору, т. е. епюра М будується із боку розтягнутих волокон. Побудова епюр Q та М для балок слід розпочинати з визначення опорних реакцій. Для балки з одним защемленим та іншим вільним кінцями побудова епюр Q і М можна починати від вільного кінця, не визначаючи реакцій у закладенні. 1.2. Побудова епюр Q і М за рівняннями Балка розбивається на ділянки, в межах яких функції згинального моменту і поперечної сили залишаються постійними (не мають розривів). Межами ділянок служать точки докладання зосереджених сил, пар сил та місця зміни інтенсивності розподіленого навантаження. На кожній ділянці береться довільний переріз на відстані х від початку координат, і для цього перерізу складаються рівняння для Q і М. За цими рівняннями будуються епюри Q і M. Приклад 1.1 Побудувати епюри поперечних сил Q і моментів М, що згинають М для заданої балки (рис. 1.4, а). Рішення: 1. Визначення реакцій опор. Складаємо рівняння рівноваги: з яких отримуємо Реакції опор визначено правильно. Балка має чотири ділянки Мал. 1.4 навантаження: СА, AD, DB, BE. 2. Побудова епюри Q. Ділянка СА. На ділянці СА 1 проводимо довільний переріз 1-1 з відривом x1 від лівого кінця балки. Визначаємо Q як суму алгебри всіх зовнішніх сил, що діють зліва від перерізу 1-1: Знак мінус взятий тому, що сила, що діє зліва від перерізу, спрямована вниз. Вираз Q не залежить від змінної x1. Епюра Q на цій ділянці зобразиться прямий, паралельної осі абсцис. Ділянка AD. На ділянці проводимо довільний переріз 2-2 з відривом x2 від лівого кінця балки. Визначаємо Q2 як суму алгебри всіх зовнішніх сил, що діють ліворуч від перерізу 2-2: 8 Величина Q постійна на ділянці (не залежить від змінної x2). Епюра Q на ділянці є прямою, паралельною осі абсцис. Ділянка DB. На ділянці проводимо довільний переріз 3-3 з відривом x3 від правого кінця балки. Визначаємо Q3 як суму алгебри всіх зовнішніх сил, що діють праворуч від перерізу 3-3: Отримане вираз є рівняння похилої прямої лінії. Ділянка BE. На ділянці проводимо перетин 4-4 з відривом x4 від правого кінця балки. Визначаємо Q як суму алгебри всіх зовнішніх сил, що діють праворуч від перерізу 4-4: 4 Тут знак плюс взятий тому, що рівнодіюче навантаження праворуч від перерізу 4-4 спрямована вниз. За отриманими значеннями будуємо епюри Q (рис. 1.4 б). 3. Побудова епюри М. Ділянка м1. Визначаємо згинальний момент у перерізі 1-1 як алгебраїчну суму моментів сил, що діють ліворуч від перерізу 1-1. - Рівняння прямої. Ділянка A 3Визначаємо згинальний момент у перерізі 2-2 як суму алгебри моментів сил, що діють ліворуч від перерізу 2-2. - Рівняння прямої. Ділянка DB 4 Визначаємо згинальний момент у перерізі 3-3 як алгебраїчну суму моментів сил, що діють праворуч від перерізу 3-3. - Рівняння квадратної параболи. 9 Знаходимо три значення на кінцях ділянки і в точці з координатою xk , де Ділянка BE 1 Визначаємо згинальний момент у перерізі 4-4 як суму алгебри моментів сил, що діють праворуч від перерізу 4-4. - Рівняння квадратної параболи знаходимо три значення M4: За отриманими значеннями будуємо епюру М (рис. 1.4, в). На ділянках CA та AD епюра Q обмежена прямими, паралельними осі абсцис, а на ділянках DB та BE – похилими прямими. У перерізах C, A і B на епюрі Q мають місце стрибки на величину відповідних сил, що служить перевіркою правильності побудови епюри Q. На ділянках, де Q 0, моменти зростають зліва направо. На ділянках, де Q 0, моменти зменшуються. Під зосередженими силами є злами у бік дії сил. Під зосередженим моментом має місце стрибок на величину моменту. Це вказує на правильність побудови епюри М. Приклад 1.2 Побудувати епюри Q та М для балки на двох опорах, навантаженому розподіленим навантаженням, інтенсивність якого змінюється за лінійним законом (рис. 1.5, а). Рішення Визначення реакцій опор. Рівнодія розподіленого навантаження дорівнює площі трикутника, що є епюрою навантаження і прикладена в центрі тяжкості цього трикутника. Складаємо суми моментів усіх сил щодо точок А та В: Побудова епюри Q. Проведемо довільний переріз на відстані x від лівої опори. Ордината епюри навантаження, що відповідає перерізу, визначається з подоби трикутників Рівнодіюча частина навантаження, яка розташована зліва від перерізу Поперечна сила в перерізі дорівнює Поперечна сила змінюється за законом квадратної параболи Прирівнюючи рівняння поперечної сили нулю, знаходимо абсцу нуль: Епюра Q представлена на рис. 1.5 б. Згинальний момент у довільному перерізі дорівнює Згинальний момент змінюється за законом кубічної параболи: Максимальне значення згинальний момент має в перерізі, де 0, тобто при Епюр М представлена на рис. 1.5 ст. 1.3. Побудова епюр Q та M за характерними перерізами (точками) Використовуючи диференціальні залежності між М, Q, q та висновки, що з них випливають, доцільно будувати епюри Q та М за характерними перерізами (без складання рівнянь). Застосовуючи цей спосіб, обчислюють значення Q та М у характерних перерізах. Характерними перерізами є граничні перерізи ділянок, а також перерізи, де даний внутрішній силовий фактор має екстремальне значення. У межах між характерними перерізами обрис 12 епюри встановлюється на основі диференціальних залежностей між М, Q, q та висновками, що випливають з них. Приклад 1.3 Побудувати епюри Q та М для балки, зображеної на рис. 1.6 а. Рис. 1.6. Рішення: Побудова епюр Q і М починаємо від вільного кінця балки, при цьому реакції в закладенні можна не визначати. Балка має три ділянки навантаження: АВ, НД, CD. На ділянках АВ та ПС розподілене навантаження відсутнє. Поперечні сили постійні. Епюра Q обмежена прямими, паралельними осі абсцис. Згинальні моменти змінюються за лінійним законом. Епюра М обмежена прямими, похилими до осі абсцис. На ділянці CD є рівномірно розподілене навантаження. Поперечні сили змінюються за лінійним законом, а згинальні моменти – за законом квадратної параболи з опуклістю у бік дії розподіленого навантаження. На межі ділянок АВ і ПС поперечна сила змінюється стрибкоподібно. На межі ділянок ЗС і CD стрибкоподібно змінюється згинальний момент. 1. Побудова епюри Q. Обчислюємо значення поперечних сил Q у граничних перерізах ділянок: За результатами розрахунків будуємо епюру Q для балки (рис. 1, б). З епюри Q випливає, що поперечна сила на ділянці CD дорівнює нулю в перерізі, що знаходиться на відстані qa a q від початку цієї ділянки. У цьому перерізі згинальний момент має максимальне значення. 2. Побудова епюри М. Обчислюємо значення згинальних моментів у граничних перерізах ділянок: При мaаксимальний момент на ділянці За результатами розрахунків будуємо епюру М (рис. 5.6, в). Приклад 1.4 По заданій епюрі згинальних моментів (рис. 1.7 а) для балки (рис. 1.7 б) визначити діючі навантаження і побудувати епюру Q. Гуртком позначена вершина квадратної параболи. Рішення: Визначимо навантаження, що діють на балку. Ділянка АС завантажений рівномірно розподіленим навантаженням, оскільки епюра М цьому ділянці – квадратна парабола. В опорному перерізі до балки прикладений зосереджений момент, що діє за годинниковою стрілкою, так як на епюрі М маємо стрибок вгору на величину моменту. На ділянці СВ балка не навантажена, тому що епюра М на цій ділянці обмежена похилою прямою. Реакція опори визначається з умови, що згинальний момент у перерізі дорівнює нулю, тобто для визначення інтенсивності розподіленого навантаження складемо вираз для згинального моменту в перерізі А як суму моментів сил справа і прирівняємо до нуля Тепер визначимо реакцію опори А. Для цього складемо вираз для згинальних моментів у перерізі як суму моментів сил зліва Розрахункова схема балки з навантаженням показана на рис. 1.7, ст. Починаючи з лівого кінця балки, обчислюємо значення поперечних сил у граничних перерізах ділянок: Епюра Q представлена на рис. 1.7, г. Розглянута задача може бути вирішена шляхом складання функціональних залежностей для М Q на кожній ділянці. Виберемо початок координат на лівому кінці балки. На ділянці АС епюра М виражається квадратною параболою, рівняння якої має вигляд Постійні а, b, з знаходимо з умови, що парабола проходить через три точки з відомими координатами: Підставляючи координати точок у рівняння параболи, отримаємо: Вираз для згинального моменту буде Диференціюючи функцію , отримаємо залежність для поперечної сили Після диференціювання функції Q отримаємо вираз для інтенсивності розподіленого навантаження На ділянці СВ вираз для згинального моменту представляється у вигляді лінійної функції Для визначення постійних а і b використовуємо умови, що дана пряма проходить через дві точки, координати яких відомі Отримаємо два рівняння: ,b з яких маємо a 20. Рівняння для згинального моменту на ділянці СВ буде Після дворазового диференціювання М2 знайдемо За знайденими значеннями М і Q будуємо епюри моментів, що згинають, і поперечних сил для балки. Крім розподіленого навантаження до балки прикладаються зосереджені сили у трьох перерізах, де на епюрі Q є стрибки та зосереджені моменти в тому перерізі, де на епюрі М є стрибок. Приклад 1.5 Для балки (рис. 1.8, а) визначити раціональне положення шарніра С, при якому найбільший згинальний момент у прольоті дорівнює згинальному моменту в закладенні (за абсолютною величиною). Побудувати епюри Q та М. Рішення Визначення реакцій опор. Незважаючи на те, що загальна кількість опорних зв'язків дорівнює чотирьом, балка статично визначна. Згинальний момент у шарнірі З дорівнює нулю, що дозволяє скласти додаткове рівняння: сума моментів щодо шарніру всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від цього шарніра, дорівнює нулю. Складемо суму моментів усіх сил праворуч від шарніру С. Епюра Q для балки обмежена похилою прямою, оскільки q = const. Визначаємо значення поперечних сил у граничних перерізах балки: Абсцис xK перерізу, де Q = 0, визначається з рівняння звідки Епюра М для балки обмежена квадратною параболою. Вирази для згинальних моментів у перерізах, де Q = 0, і в закладенні записуються відповідно так: З умови рівності моментів отримуємо квадратне рівняннящодо шуканого параметра х: Реальне значення x 2x 1 029 м. Визначаємо чисельні значення поперечних сил і згинальних моментів у характерних перерізах балки На рис.1.8, б показана епюра Q, а на рис. 1.8, в - епюра М. Розглянуту задачу можна було вирішити способом розчленування шарнірної балки на її елементи, як це показано на рис. 1.8, м. На початку визначаються реакції опор VC та VB . Будуються епюри Q та М для підвісної балки СВ від дії прикладеного до неї навантаження. Потім переходять до основної балки АС, навантаживши її додатковою силою VC , що є силою тиску балки СВ на балку АС. Після цього будують епюри Q і М для балки АС. 1.4. Розрахунки на міцність при прямому згинанні балок Розрахунок на міцність за нормальними і дотичними напругами. При прямому згинанні балки в поперечних перерізах її виникають нормальні та дотичні напруги (рис. 1.9). 18 Мал. 1.9 Нормальна напругапов'язані з згинальним моментом, дотичні напруги пов'язані з поперечною силою. При прямому чистому згині дотичні напруги дорівнюють нулю. Нормальні напруги в довільній точці поперечного перерізу балки визначаються за формулою (1.4) де M – згинальний момент у цьому перерізі; Iz – момент інерції перерізу щодо нейтральної осі z; y – відстань від точки, де визначається нормальна напруга, до нейтральної осі z. Нормальна напруга по висоті перерізу змінюється за лінійним законом і досягає найбільшої величини в точках, найбільш віддалених від нейтральної осі. 1.11 найбільші напруги, що розтягують і стискають, однакові і визначаються за формулою, – осьовий момент опору перерізу при згині. Для прямокутного перерізу шириною b заввишки h: (1.7) Для круглого перерізу діаметра d: (1.8) Для кільцевого перерізу – відповідно внутрішній та зовнішній діаметри кільця. Для балок з пластичних матеріалів найбільш раціональними є симетричні 20 форми перерізів (двотаврове, коробчасте, кільцеве). Для балок з крихких матеріалів, що не однаково чинять опір розтягуванню та стиску, раціональними є перерізи, несиметричні щодо нейтральної осі z (тавр., П-подібне, несиметричний двотавр). Для балок постійного перерізу із пластичних матеріалів при симетричних формах перерізів умова міцності записується так: (1.10) де Mmax – максимальний згинальний момент за модулем; - Допустима напруга для матеріалу. Для балок постійного перерізу із пластичних матеріалів при несиметричних формах перерізів умова міцності записується в наступному вигляді: (1.11) Для балок із крихких матеріалів із перерізами, несиметричними щодо нейтральної осі, у разі, якщо епюра М однозначна (рис. 1.12), потрібно записати два умови міцності – відстані від нейтральної осі до найбільш віддалених точок відповідно до розтягнутої та стисненої зон небезпечного перерізу; P – допустимі напруги відповідно на розтягування та стиск. Рис.1.12. 21 Якщо епюра згинальних моментів має ділянки різних знаків (рис. 1.13), то крім перевірки перерізу 1-1, де діє Mmax, необхідно провести розрахунок за найбільшою напругою, що розтягує, для перерізу 2-2 (з найбільшим моментом протилежного знака). Рис. 1.13 Поряд з основним розрахунком за нормальними напругами в ряді випадків доводиться робити перевірку міцності балки по дотичних напругах. Дотичні напруги в балки обчислюються за формулою Д. І. Журавського (1.13) де Q - поперечна сила в аналізованому поперечному перерізі балки; Szотс – статичний момент щодо нейтральної осі площі частини перерізу, розташованої по один бік прямої, проведеної через дану точку та паралельної осі z; b – ширина перерізу на рівні розглянутої точки; Iz – момент інерції всього перерізу щодо нейтральної осі z. У багатьох випадках максимальна дотична напруга виникає на рівні нейтрального шару балки (прямокутник, двотавр, коло). У разі умова міцності по дотичних напруг записується як, (1.14) де Qmax – найбільша за модулем поперечна сила; – допустима дотична напруга для матеріалу. Для прямокутного перерізу балки умова міцності має вигляд (1.15) А – площа поперечного перерізу балки. Для круглого перерізу умова міцності представляється у вигляді (1.16) Для двотаврового перерізу умова міцності записується так: (1.17) де Szо, tmсax – статичний момент напівтину щодо нейтральної осі; d – товщина стінки двотавра. Зазвичай розміри поперечного перерізу балки визначаються з умови міцності за нормальними напругами. Перевірка міцності балок по дотичних напругах проводиться в обов'язковому порядку для коротких балок і балок будь-якої довжини, якщо поблизу опор є зосереджені сили великої величини, а також для дерев'яних, клепаних і зварних балок. Приклад 1.6 Перевірити міцність балки коробчатого перерізу (рис. 1.14) по нормальних і дотичних напругах, якщо МПа. Побудувати епюри у небезпечному перерізі балки. Рис. 1.14 Рішення 23 1. Побудова епюр Q та М за характерними перерізами. Розглядаючи ліву частину балки, отримаємо Епюра поперечних сил представлена на рис. 1.14, ст. Епюра згинальних моментів показано на рис. 5.14, г. 2. Геометричні характеристики поперечного перерізу 3. Найбільші нормальні напруги переріз С, де діє Mmax (за модулем): МПа. Максимальна нормальна напруга в балці практично дорівнює допустимим. 4. Найбільша дотична напруга в перерізі С (або А), де діє max Q (за модулем): Тут – статичний момент площі півсічення щодо нейтральної осі; b2 см – ширина перерізу на рівні нейтральної осі. 5. Дотичні напруги у точці (у стінці) у перерізі С: Рис. 1.15 Тут Szomc 834,5 108 см3 – статичний момент площі частини перерізу, розташованої вище за лінію, що проходить через точку K1; b2 см – товщина стінки на рівні точки K1. Епюри та для перерізу З балки показані рис. 1.15. Приклад 1.7. Для балки, показаної на рис. 1.16, а потрібно: 1. Побудувати епюри поперечних сил і згинальних моментів за характерними перерізами (точками). 2. Визначити розміри поперечного перерізу у вигляді кола, прямокутника та двотавра з умови міцності за нормальними напругами, порівняти площі перерізів. 3. Перевірити підібрані розміри перерізів балок щодо напруги. Дано: Рішення: 1. Визначаємо реакції опор балки Перевірка: 2. Побудова епюр Q та М. Значення поперечних сил у характерних перерізах балки 25 Мал. 1.16 На ділянках CA та AD інтенсивність навантаження q = const. Отже, цих ділянках епюра Q обмежується прямими, похилими до осі. На ділянці DB інтенсивність розподіленого навантаження q = 0, отже, цій ділянці епюра Q обмежується прямої, паралельної осі х. Епюра Q для балки показано на рис. 1.16,б. Значення згинальних моментів у характерних перерізах балки: На другій ділянці визначаємо абсцис x2 перерізу, в якому Q = 0: Максимальний момент на другій ділянці Епюра М для балки показано на рис. 1.16 ст. 2. Складаємо умову міцності за нормальними напругами, звідки визначаємо необхідний осьовий момент опору перерізу з виразу. Визначаємо необхідний номер. двотаврової балки. За таблицями ГОСТ 8239-89 знаходимо найближче значення осьового моменту опору 597см3, яке відповідає двутавру № 33 з характеристиками: A z 9840 см4. Перевірка на допуск: (недовантаження на 1% від допустимого 5%) найближчий двотавр № 30 (W 2 см3) призводить до значного навантаження (більше 5%). Остаточно приймаємо двотавр № 33. Порівнюємо площі круглого та прямокутного перерізів з найменшою площею А двотавра: З трьох розглянутих перерізів найбільш економічним є двотавровий перетин. 3. Обчислюємо найбільшу нормальну напругу в небезпечному перерізі 27 двотаврової балки (рис. 1.17, а): Нормальна напруга в стінці біля полиці двотаврового перетину балки Епюра нормальних напруг у небезпечному перерізі балки показана на рис. 1.17, б. 5. Визначаємо найбільшу дотичну напругу для підібраних перерізів балки. а) прямокутний перерізбалки: б) круглий переріз балки: в) двотавровий перетин балки: Дотичні напруги в стінці біля полиці двотавра в небезпечному перерізі А (праворуч) (у точці 2): Епюра дотичних напруг у небезпечних перерізах двотавра показана на рис. 1.17, ст. Максимальна дотична напруга в балці не перевищує допустимих напруг Приклад 1.8 Визначити допустиме навантаження на балку (рис. 1.18, а), якщо 60МПа, розміри поперечного перерізу задані (рис. 1.19, а). Побудувати епюру нормальних напруг у небезпечному перерізі балки при навантаженні, що допускається. Рис 1.18 1. Визначення реакцій опор балки. Зважаючи на симетрію системи 2. Побудова епюр Q і M за характерними перерізами. Поперечні сили у характерних перерізах балки: Епюра Q для балки показана на рис. 5.18, б. Згинальні моменти у характерних перерізах балки Для другої половини балки ординати М – по осях симетрії. Епюра М для балки показано на рис. 1.18, б. 3.Геометричні характеристики перерізу (рис. 1.19). Розбиваємо фігуру на два найпростіші елементи: двотавр – 1 та прямокутник – 2. Рис. 1.19 За сортаментом для двотавра № 20 маємо Для прямокутника: Статичний момент площі перерізу щодо осі z1 Відстань від осі z1 до центру тяжкості перерізу Момент інерції перерізу щодо головної центральної осі z всього перерізу за формулами переходу до паралельних осей 4. Умова міцності по нормальних напругах небезпечної точки «а» (рис. 1.19) у небезпечному перерізі I (рис. 1.18): Після підстановки числових даних 5. При навантаженні, що допускається, у небезпечному перерізі нормальні напруги в точках «а» і «b» будуть рівні: Епюра нормальних напруг для небезпечного перерізу 1-1 показано на рис. 1.19, б.
Вигином називається вид навантаження бруса, при якому до нього прикладається момент, що лежить в площині проходить через поздовжню вісь. У поперечних перерізах бруса виникають згинальні моменти. При згинанні виникають деформація, при якій відбувається викривлення осі прямого бруса або зміна кривизни кривого бруса.
Брус, що працює при згинанні, називається балкою . Конструкція, що складається з декількох стрижнів, що згинаються, з'єднаних між собою найчастіше під кутом 90°, називається рамою .
Вигин називається плоским чи прямим , якщо площина навантаження проходить через головну центральну вісь інерції перерізу (рис.6.1).
Рис.6.1
При плоскому поперечному згині у балці виникають два види внутрішніх зусиль: поперечна сила Qі згинальний момент M. У рамі при плоскому поперечному згині виникають три зусилля: поздовжня N, поперечна Qсили та згинальний момент M.
Якщо згинальний момент є єдиним внутрішнім силовим фактором, такий згин називається чистим (Рис.6.2). За наявності поперечної сили вигин називається поперечним . Строго кажучи, до простим видамопору належить лише чистий вигин; поперечний вигин відносять до простих видів опору умовно, так як у більшості випадків (для досить довгих балок) дією поперечної сили при розрахунках на міцність можна знехтувати.
22.Плоский поперечний згин. Диференціальні залежності між внутрішніми зусиллями та зовнішнім навантаженням.Між згинальним моментом, поперечною силою та інтенсивністю розподіленого навантаження існують диференціальні залежності, засновані на теоремі Журавського, названої на ім'я російського інженера-мостобудівника Д. І. Журавського (1821-1891 р.р.).
Ця теорема формулюється так:
Поперечна сила дорівнює першій похідній від згинального моменту по абсцисі перерізу балки.
23. Плоский поперечний згин. Посторіння епюр поперечних сил та згинальних моментів. Визначення поперечних сил та згинальних моментів - переріз 1
Відкинемо праву частину балки і замінимо її дію на ліву частину поперечною силою та згинальним моментом. Для зручності обчислення закриємо праву частину балки, що відкидається, листком паперу, поєднуючи лівий край листка з аналізованим перетином 1.
Поперечна сила в перерізі 1 балки дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил, які бачимо після закриття
Бачимо лише реакцію опори, спрямовану вниз. Таким чином, поперечна сила дорівнює:
кн.
Знак «мінус» нами взято тому, що сила обертає видиму нами частину балки щодо першого перерізу проти ходу годинникової стрілки (або тому, що однаково спрямована із напрямком поперечної сили за правилом знаків)
Згинальний момент у перерізі 1 балки, дорівнює сумі алгебри моментів всіх зусиль, які ми бачимо після закриття відкинутої частини балки, щодо аналізованого перерізу 1.
Бачимо два зусилля: реакцію опори і момент M. Однак у сили плече практично дорівнює нулю. Тому згинальний момент дорівнює: 
кН·м.
Тут знак «плюс» нами взято тому, що зовнішній момент M вигинає видиму частину балки опуклістю вниз. (або тому, що протилежно направлений напрямку згинального моменту за правилом знаків)
Визначення поперечних сил та згинальних моментів - переріз 2
На відміну від першого перерізу, у сили реакції з'явилося плече, що дорівнює а.
поперечна сила:
кН;
згинальний момент:
Визначення поперечних сил і згинальних моментів - перетин 3
поперечна сила:
згинальний момент:
Визначення поперечних сил та згинальних моментів - перетин 4
Тепер зручніше закривати листком ліву частину балки.
поперечна сила:
згинальний момент:
Визначення поперечних сил та згинальних моментів - перетин 5
поперечна сила:
згинальний момент:
Визначення поперечних сил та згинальних моментів - переріз 1
поперечна сила та згинальний момент:
.
За знайденими значеннями виробляємо побудову епюри поперечних сил (рис. 7.7, б) і згинальних моментів (рис. 7.7, в).
КОНТРОЛЬ ПРАВИЛЬНОСТІ ПОБУДУВАННЯ ЕПЮР
Переконаємося у правильності побудови епюр за зовнішніми ознаками, користуючись правилами побудови епюр.
Перевірка епюри поперечних сил
Переконуємося: під незавантаженими ділянками епюра поперечних сил йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q – нахиленою вниз прямою. На епюрі поздовжньої сили три стрибки: під реакцією вниз на 15 кН, під силою P вниз на 20 кН і під реакцією вгору на 75 кН.
Перевірка епюри згинальних моментів
На епюрі згинальних моментів бачимо злами під зосередженою силою P і під опорними реакціями. Кути зламів спрямовані назустріч цим силам. Під розподіленим навантаженням q епюра згинальних моментів змінюється за квадратичною параболою, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню. У перерізі 6 на епюрі згинального моменту – екстремум, оскільки епюра поперечної сили в цьому місці проходить через нульове значення.
Прямий вигин- Це вид деформації, при якому в поперечних перерізах стрижня виникають два внутрішніх силових фактори: згинальний момент і поперечна сила.
Чистий вигин- це окремий випадок прямого вигину, при якому в поперечних перерізах стрижня виникає тільки згинальний момент, а поперечна сила дорівнює нулю.
Приклад чистого вигину – ділянка CDна стрижні AB. Згинальний момент– це величина Paпари зовнішніх сил, що викликає вигин. З рівноваги частини стрижня ліворуч від поперечного перерізу mnслід, що внутрішні зусилля, розподілені за цим перерізом, статично еквівалентні моменту M, рівному і протилежно спрямованому згинальний момент Pa.
Щоб знайти розподіл цих внутрішніх зусиль з поперечного перерізу, необхідно розглянути деформацію стрижня.
У найпростішому випадку стрижень має поздовжню площину симетрії і піддається дії зовнішніх згинальних пар сил, що знаходяться в цій площині. Тоді вигин відбуватиметься у тій самій площині.
Вісь стрижня nn 1- Це лінія, що проходить через центри тяжкості його поперечних перерізів.
Нехай поперечний переріз стрижня прямокутник. Нанесемо на його межі дві вертикальні лінії mmі pp. При згинанні ці лінії залишаються прямолінійними і повертаються так, що залишаються перпендикулярними поздовжнім волокнам стрижня.
Подальша теорія вигину ґрунтується на припущенні, що не тільки лінії mmі ppале весь плоский поперечний переріз стрижня залишається після вигину плоским і нормальним до поздовжніх волокон стрижня. Отже, при згинанні поперечні перерізи mmі ppповертаються відносно один одного навколо осей, перпендикулярних до площини вигину (площини креслення). При цьому поздовжні волокна на опуклій стороні зазнають розтягування, а волокна на увігнутій стороні – стиск.
Нейтральна поверхня- Це поверхня, що не відчуває деформації при згинанні. (Зараз вона розташована перпендикулярно до креслення, деформована вісь стрижня nn 1належить цій поверхні).
Нейтральна вісь перерізу- це перетин нейтральної поверхні з будь-яким з будь-яким поперечним перерізом (зараз теж розташована перпендикулярно кресленню).
Нехай довільне волокно знаходиться на відстані yвід нейтральної поверхні. ρ
- Радіус кривизни вигнутої осі. Крапка O- Центр кривизни. Проведемо лінію n 1 s 1паралельно mm.ss 1- Абсолютне подовження волокна.
Відносне подовження ε xволокна
З цього виходить що деформації поздовжніх волоконпропорційні відстані yвід нейтральної поверхні і обернено пропорційні радіусу кривизни ρ .
Поздовжнє подовження волокон опуклої сторони стрижня супроводжується бічним звуженням, а поздовжнє укорочення увігнутої сторони – бічним розширенням, як у разі простого розтягування та стиснення. Через це вигляд усіх поперечних перерізів змінюється, вертикальні сторони прямокутника стають похилими. Деформація у бічному напрямку z:
μ - коефіцієнт Пуассона.
Внаслідок такого спотворення всі прямі лінії поперечного перерізу, паралельні осі z, викривляються те щоб залишитися нормальними до бічним сторонам перерізу. Радіус кривизни цієї кривої Rбуде більше, ніж ρ у такому ж відношенні, в якому ε x за абсолютною величиною більше ніж ε z , і ми отримаємо
Цим деформаціям поздовжніх волокон відповідають напруги.
Напруга в будь-якому волокні пропорційна його відстані від нейтральної осі n 1 n 2. Положення нейтральної осі та радіус кривизни ρ
– дві невідомі у рівнянні для σ
x – можна визначити з умови, що зусилля, розподілені за будь-яким поперечним перерізом, утворюють пару сил, що врівноважує зовнішній момент M.
Все вищесказане також справедливо, якщо стрижень не має поздовжню площину симетрії, в якій діє згинальний момент, аби тільки згинальний момент діяв в осьовій площині, яка містить одну з двох головних осейпоперечного перерізу. Ці площини називаються головними площинами вигину.
Коли є площина симетрії і момент, що згинає, діє в цій площині, прогин відбувається саме в ній. Моменти внутрішніх зусиль щодо осі zврівноважують зовнішній момент M. Моменти зусиль щодо осі yвзаємно знищуються.
При прямому чистому згині в поперечному перерізі стрижня виникає тільки один силовий фактор - згинальний момент М х(Рис. 1). Так як Q y = dM x / dz = 0,то M x=const і чистий прямий згин може бути реалізований при завантаженні стрижня парами сил, прикладеними в торцевих перерізах стрижня. Оскільки згинальний момент M хза визначенням дорівнює сумімоментів внутрішніх сил щодо осі Охз нормальними напруженнями його пов'язує рівняння статики, що викає з цього визначення
Сформулюємо причини теорії чистого прямого вигину призматичного стрижня. Для цього проаналізуємо деформації моделі стрижня з низькомодульного матеріалу, на бічній поверхні якого нанесена сітка поздовжніх та поперечних рисок (рис. 2). Оскільки поперечні ризики при згинанні стрижня парами сил, прикладеними в торцевих перерізах, залишаються прямими і перпендикулярними до викривлених поздовжніх ризиків, це дозволяє зробити висновок про виконання гіпотези плоских перерізів,яка, як показує вирішення цього завдання методами теорії пружності, перестає бути гіпотезою, стаючи точним фактом законом плоских перерізів.Вимірюючи зміну відстаней між поздовжніми ризиками, приходимо до висновку про справедливість гіпотези про ненатискання поздовжніх волокон.
Ортогональність поздовжніх та поперечних рисок до та після деформування (як відображення дії закону плоских перерізів) вказує також на відсутність зрушень, дотичних напруг у поперечних та поздовжніх перерізах стрижня.
Рис.1.Зв'язок внутрішнього зусилля та напруги 
Рис.2.Модель чистого вигину
Таким чином, чистий прямий вигин призматичного стрижня зводиться до одновісного розтягування або стиснення поздовжніх волокон напругою. гнадалі опускаємо). При цьому частина волокон знаходиться в зоні розтягування (на рис. 2 це нижні волокна), а інша частина в зоні стиснення (верхні волокна). Ці зони розділені нейтральним шаром (пп),не змінює своєї довжини, напруги в якому рівні нулю. Враховуючи сформульовані вище передумови і вважаючи, що матеріал стрижня лінійно-пружний, тобто закон Гука в цьому випадку має вигляд: , виведемо формули для кривизни нейтрального шару (?радіус кривизни) і нормальних напруг. Попередньо зазначимо, що сталість поперечного перерізу призматичного стрижня та згинального моменту (M х = сonst),забезпечує сталість радіуса кривизни нейтрального шару по довжині стрижня (рис. 3, а), нейтральний шар (пп)описується дугою кола.
Розглянемо призматичний стрижень за умов прямого чистого вигину (рис. 3, а) з поперечним перерізом, симетричним щодо вертикальної осі Оу.Ця умова не позначиться на кінцевому результаті (щоб прямий вигин був можливий, необхідний збіг осі Оу зголовною віссю інерції поперечного перерізу, яка є віссю симетрії). Ось Oxпомістимо на нейтральному шарі, положення якогонаперед невідомо.
а) розрахункова схема, б) деформації та напруги
Рис.3.Фрагмент чистого вигину брусаРозглянемо вирізаний із стрижня елемент завдовжки dz, який у масштабі зі спотвореними на користь наочності пропорціями зображений на рис. 3, б. Оскільки інтерес становлять деформації елемента, зумовлені відносним зміщенням його точок, одне з торцевих перерізів елемента вважатимуться нерухомим. Зважаючи на небагато, вважаємо, що точки поперечного перерізу при повороті на цей кут переміщаються не по дугах, а по відповідних дотичних.
Обчислимо відносну деформацію поздовжнього волокна АВ,віддаленого від нейтрального шару на у:
З подоби трикутників С00 1і 0 1 ВР 1випливає, що
Поздовжня деформація виявилася лінійною функцієювідстані від нейтрального шару, що є прямим наслідком закону плоских перерізів
Ця формула не придатна для практичного використання, оскільки містить дві невідомі: кривизну нейтрального шару та положення нейтральної осі Ох, від якої відраховується координата у.Для визначення цих невідомих скористаємось рівняннями рівноваги статики. Перше висловлює вимогу рівності нулю поздовжньої сили
Підставляючи в це рівняння вираз (2)
і враховуючи, що , отримуємо, що
Інтеграл у лівій частині цього рівняння являє собою статичний момент поперечного перерізу стрижня щодо нейтральної осі Ох,який може дорівнювати нулю тільки щодо центральної осі. Тому нейтральна вісь Охпроходить через центр тяжіння поперечного перерізу.
Другим рівнянням рівноваги статики є, що зв'язує нормальну напругу з згинальним моментом (який легко може бути виражений через зовнішні сили і тому вважається заданою величиною). Підставляючи рівняння зв'язки вираз для. напруг, отримаємо:
та враховуючи, що 
де J xГоловний центральний момент інерції щодо осі | Ох,для кривизни нейтрального шару одержуємо формулу
Рис.4.Розподіл нормальних напруг
яка була вперше отримана Ш. Кулоном у 1773 році. Для узгодження знаків згинального моменту М хі нормальних напруг у правій частині формули (5) ставиться знак мінус, оскільки при M х >0нормальні напруги при y>0 виявляються стискаючими. Однак у практичних розрахунках зручніше, не дотримуючись формального правила знаків, визначати напругу за модулем, а знак ставити за змістом. Нормальна напруга при чистому згині призматичного стрижня є лінійною функцією координати. уі досягають найбільших значеньу волокнах, найбільш віддалених від нейтральної осі (рис. 4), тобто.
Тут введено геометричну характеристику , що має розмірність м 3 і отримала назву моменту опору при згинанні.Оскільки при заданому M хнапруги max?тим менше, чим більше W x ,момент опору є геометричною характеристикою міцності поперечного перерізу вигину.Наведемо приклади обчислення моментів опору найпростіших форм поперечних перерізів. Для прямокутного поперечного перерізу (рис. 5, а) маємо J х = bh 3 / 12, y max = h/2і W x = J x / y max = bh 2/6.Аналогічно для кола (рис. 5 ,a J x =d 4 /64, y max =d/2) отримуємо W x =d 3/32 для кругового кільцевого перерізу (рис. 5, в),у якого
