Прямий поперечний згин сопромат. Плоский вигин прямих стрижнів

Загальні концепції.

Деформація вигинуполягає у викривленні осі прямого стрижня або зміні початкової кривизни прямого стрижня(Рис. 6.1) . Ознайомимося з основними поняттями, що використовуються під час розгляду деформації вигину.

Стрижні, що працюють на вигин, називаютьбалками.

Чистим називається вигин, при якому згинальний момент є єдиним внутрішнім силовим фактором, що виникає в поперечному перерізі балки.

Найчастіше, у поперечному перерізі стрижня поряд із згинальним моментом виникає також і поперечна сила. Такий вигин називають поперечним.

Плоським (прямим) називають вигин, коли площина дії згинального моменту в поперечному перерізі проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу.

При косому вигині площина дії згинального моменту перетинає поперечний переріз балки по лінії, що не збігається з жодною з головних центральних осей поперечного перерізу.

Вивчення деформації вигину почнемо з нагоди чистого плоского вигину.

Нормальні напруги та деформації при чистому згині.

Як уже було сказано, при чистому плоскому згині в поперечному перерізі з шести внутрішніх силових факторів не дорівнює нулю тільки згинальний момент (рис. 6.1, в):

; (6.1)

Досліди, поставлені на еластичних моделях, показують, що якщо на поверхню моделі нанести сітку ліній(Рис. 6.1, а) , то при чистому вигині вона деформується наступним чином(рис. 6.1, б):

а) поздовжні лінії викривляються по довжині кола;

б) контури поперечних перерізівзалишаються пласкими;

в) лінії контурів перерізів усюди перетинаються з поздовжніми волокнами під прямим кутом.

На підставі цього можна припустити, що при чистому згинанні поперечні перерізи балки залишаються плоскими і повертаються так, що залишаються нормальними до вигнутої осі балки (гіпотеза плоских перерізів при згинанні).

Рис. .

Вимірюючи довжину поздовжніх ліній (рис. 6.1 б), можна виявити, що верхні волокна при деформації вигину балки подовжуються, а нижні укорочуються. Очевидно, що можна знайти такі волокна, довжина яких залишається незмінною. Сукупність волокон, що не змінюють своєї довжини при згинанні балки, називаєтьсянейтральним шаром (н. с.). Нейтральний шар перетинає поперечний переріз балки по прямій, яка називаєтьсянейтральною лінією (н. л.) перерізу.

Для виведення формули, що визначає величину нормальних напруг, що виникають у поперечному перерізі, розглянемо ділянку балки в деформованому та не деформованому стані (рис. 6.2).

Рис. .

Двома нескінченно малими поперечними перерізами виділимо елемент завдовжки. До деформації перерізу, що обмежують елемент, були паралельні між собою (рис. 6.2 а), а після деформації вони дещо нахилилися, утворюючи кут. Довжина волокон, що лежать у нейтральному шарі, при згинанні не змінюється. Позначимо радіус кривизни сліду нейтрального шару на площині креслення літерою. Визначимо лінійну деформацію довільного волокна, що знаходиться на відстані від нейтрального шару.

Довжина цього волокна після деформації (довжина дуги) дорівнює. Враховуючи, що до деформації всі волокна мали однакову довжину, отримаємо, що абсолютне подовження волокна, що розглядається.

Його відносна деформація

Очевидно, що, оскільки довжина волокна, що лежить у нейтральному шарі, не змінилася. Тоді після підстановки отримаємо

(6.2)

Отже, відносна поздовжня деформаціяпропорційна відстані волокна від нейтральної осі.

Введемо припущення, що при згинанні поздовжні волокна не натискають один на одного. При такому припущенні кожне волокно деформується ізольовано, відчуваючи простий розтяг або стиск, при якому. З урахуванням (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальні напруги прямо пропорційні відстаням розглянутих точок перерізу від нейтральної осі.

Підставимо залежність (6.3) у вираз згинального моменту в поперечному перерізі (6.1)

Пригадаємо, що інтеграл є моментом інерції перерізу щодо осі.

Або

(6.4)

Залежність (6.4) являє собою закон Гука при згинанні, оскільки вона пов'язує деформацію (кривизну нейтрального шару) з моментом, що діє в перерізі. Твір носить назву жорсткості перерізу при згинанні, Н·м2.

Підставимо (6.4) у (6.3)

(6.5)

Це і шукана формула для визначення нормальних напруг при чистому згині балки в будь-якій точці її перерізу.

Для того, щоб встановити, де в поперечному перерізі знаходиться нейтральна лінія підставимо значення нормальних напруг у вираз поздовжньої сили та згинального моменту

Оскільки,

то

(6.6)

(6.7)

Рівність (6.6) вказує, що вісь нейтральна вісь перерізу проходить через центр тяжкості поперечного перерізу.

Рівність (6.7) показує, що і - головні центральні осі перерізу.

Згідно з (6.5) найбільшої величини напруги досягають у волокнах найбільш віддалених від нейтральної лінії

Відношення є осьовим моментом опору перерізу щодо його центральної осі, значить

Значення для найпростіших поперечних перерізів таке:

Для прямокутного поперечного перерізу

, (6.8)

де - сторона перерізу перпендикулярна до осі;

Сторона перерізу паралельна осі;

Для круглого поперечного перерізу

, (6.9)

де - Діаметр круглого поперечного перерізу.

Умову міцності за нормальними напругами при згині можна записати у вигляді

(6.10)

Всі отримані формули отримані для чистого вигину прямого стрижня. Дія поперечної сили призводить до того, що гіпотези, покладені в основу висновків, втрачають свою силу. Однак практика розрахунків показує, що і при поперечному вигину балок і рам, коли в перерізі крім згинального моменту діє ще поздовжня сила і поперечна сила, можна користуватися формулами, наведеними для чистого вигину. Похибка при цьому виходить незначною.

Визначення поперечних сил та згинальних моментів.

Як було зазначено, при плоскому поперечному згині в поперечному перерізі балки виникають два внутрішніх силових чинника і.

Перед визначенням і визначають реакції опор балки (рис. 6.3 а), складаючи рівняння рівноваги статики.

Для визначення та застосуємо метод перерізів. У місці, що цікавить нас, зробимо уявний розріз балки, наприклад, на відстані від лівої опори. Відкинемо одну з частин балки, наприклад праву, та розглянемо рівновагу лівої частини (рис. 6.3, б). Взаємодія частин балки замінимо внутрішніми зусиллями та.

Встановимо такі правила знаків для:

• Поперечна сила в перерізі позитивна, якщо її вектори прагнуть обертати перетин, що розглядається, за годинниковою стрілкою;
• Згинальний момент у перерізі позитивний, якщо він викликає стиск верхніх волокон.

Рис. .

Для визначення цих зусиль використовуємо два рівняння рівноваги:

1. ; ; .

2. ;

Таким чином,

а) поперечна сила в поперечному перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри проекцій на поперечну вісь перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по один бік від перерізу;

б) згинальний момент у поперечному перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри моментів (обчислених щодо центру тяжкості перерізу) зовнішніх сил, що діють по одну сторону від даного перерізу.

При практичному обчисленні керуються зазвичай таким:

1. Якщо зовнішнє навантаження прагне повернути балку щодо розглянутого перерізу за годинниковою стрілкою, (рис. 6.4, б) то у виразі вона дає позитивний доданок.
2. Якщо зовнішнє навантаження створює щодо розглянутого перерізу момент, що викликає стиснення верхніх волокон балки (рис. 6.4, а), то у вираженні для цього перерізу вона дає позитивний доданок.

Рис. .

Побудова епюр та у балках.

Розглянемо двоопорну балку(Рис. 6.5, а) . На балку діє у точці зосереджений момент, у точці - зосереджена сила і дільниці - рівномірно розподілена навантаження інтенсивністю.

Визначимо опорні реакціїі(Рис. 6.5, б) . Рівнодія розподіленого навантаження дорівнює, а лінія дії її проходить через центр ділянки. Складемо рівняння моментів щодо точок і.

Визначимо поперечну силу і згинальний момент у довільному перерізі, розташованому на ділянці на відстані від точки А(Рис. 6.5, в) .

(Рис. 6.5, г). Відстань може змінюватись у межах ().

Значення поперечної сили залежить від координати перерізу, отже, переважають у всіх перерізах ділянки поперечні сили однакові і епюра має вигляд прямокутника. Згинальний момент

Згинальний момент змінюється за лінійним законом. Визначимо ординати епюри для меж ділянки.

Визначимо поперечну силу і згинальний момент у довільному перерізі, розташованому на ділянці на відстані від точки(Рис. 6.5, д). Відстань може змінюватись у межах ().

Поперечна сила змінюється за лінійним законом. Визначимо для меж ділянки.

Згинальний момент

Епюра згинальних моментів на цій ділянці буде параболічною.

Щоб визначити екстремальне значення згинального моменту, прирівнюємо до нуля похідну від згинального моменту за абсцисом перерізу:

Звідси

Для перерізу з координатою значення згинального моменту становитиме

В результаті отримуємо епюри поперечних сил(рис. 6.5, е) та згинальних моментів (рис. 6.5, ж).

Диференціальні залежності при згинанні.

(6.11)

(6.12)

(6.13)

Ці залежності дозволяють встановити деякі особливості епюр згинальних моментів та поперечних сил:

Н а ділянках, де немає розподіленого навантаження, епюри обмежені прямими, паралельними до нульової лінії епюри, а епюри в загальному випадкупохилими прямими.

Н а ділянках, де до балки прикладено рівномірно розподілене навантаження, епюра обмежена похилими прямими, а епюра - квадратичними параболамиз опуклістю, зверненою убік, протилежну напрямку дії навантаження.

У перерізах, де, що стосується епюри паралельна нульової лінії епюри.

Н а ділянках, де момент зростає; на ділянках, де момент убуває.

У перерізах, де до балки прикладені зосереджені сили, на епюрі будуть стрибки на величину прикладених сил, а на епюрі будуть переломи.

У перерізах, де до балки додані зосереджені моменти, на епюрі будуть стрибки на величину цих моментів.

Ординати епюри пропорційні тангенсу кута нахилу дотичної до епюрі.

При прямому чистому згині в поперечному перерізі стрижня виникає тільки один силовий фактор - згинальний момент М х(Рис. 1). Так як Q y = dM x / dz = 0,то M x=const і чистий прямий згин може бути реалізований при завантаженні стрижня парами сил, прикладеними в торцевих перерізах стрижня. Оскільки згинальний момент M хза визначенням дорівнює сумімоментів внутрішніх сил щодо осі Охз нормальними напруженнями його пов'язує рівняння статики, що викає з цього визначення

Сформулюємо причини теорії чистого прямого вигину призматичного стрижня. Для цього проаналізуємо деформації моделі стрижня з низькомодульного матеріалу, на бічній поверхні якого нанесена сітка поздовжніх та поперечних рисок (рис. 2). Оскільки поперечні ризики при згинанні стрижня парами сил, прикладеними в торцевих перерізах, залишаються прямими і перпендикулярними до викривлених поздовжніх ризиків, це дозволяє зробити висновок про виконання гіпотези плоских перерізів,яка, як показує вирішення цього завдання методами теорії пружності, перестає бути гіпотезою, стаючи точним фактом законом плоских перерізів.Вимірюючи зміну відстаней між поздовжніми ризиками, приходимо до висновку про справедливість гіпотези про ненатискання поздовжніх волокон.

Ортогональність поздовжніх та поперечних рисок до та після деформування (як відображення дії закону плоских перерізів) вказує також на відсутність зрушень, дотичних напруг у поперечних та поздовжніх перерізах стрижня.

Рис.1.Зв'язок внутрішнього зусилля та напруги

Рис.2.Модель чистого вигину

Таким чином, чистий прямий вигин призматичного стрижня зводиться до одновісного розтягування або стиснення поздовжніх волокон напругою. гнадалі опускаємо). При цьому частина волокон знаходиться в зоні розтягування (на рис. 2 це нижні волокна), а інша частина в зоні стиснення (верхні волокна). Ці зони розділені нейтральним шаром (пп),не змінює своєї довжини, напруги в якому рівні нулю. Враховуючи сформульовані вище передумови і вважаючи, що матеріал стрижня лінійно-пружний, тобто закон Гука в цьому випадку має вигляд: , виведемо формули для кривизни нейтрального шару (?радіус кривизни) і нормальних напруг. Попередньо зазначимо, що сталість поперечного перерізу призматичного стрижня та згинального моменту (M х = сonst),забезпечує сталість радіуса кривизни нейтрального шару по довжині стрижня (рис. 3, а), нейтральний шар (пп)описується дугою кола.

Розглянемо призматичний стрижень за умов прямого чистого вигину (рис. 3, а) з поперечним перерізом, симетричним щодо вертикальної осі Оу.Ця умова не позначиться на кінцевому результаті (щоб прямий вигин був можливий, необхідний збіг осі Оу зголовною віссю інерції поперечного перерізу, яка є віссю симетрії). Ось Oxпомістимо на нейтральному шарі, положення якогонаперед невідомо.

а) розрахункова схема, б) деформації та напруги

Розглянемо вирізаний із стрижня елемент завдовжки dz, який у масштабі зі спотвореними на користь наочності пропорціями зображений на рис. 3, б. Оскільки інтерес становлять деформації елемента, зумовлені відносним зміщенням його точок, одне з торцевих перерізів елемента вважатимуться нерухомим. Зважаючи на небагато, вважаємо, що точки поперечного перерізу при повороті на цей кут переміщаються не по дугах, а по відповідних дотичних.

Обчислимо відносну деформацію поздовжнього волокна АВ,віддаленого від нейтрального шару на у:

З подоби трикутників С00 1і 0 1 ВР 1випливає, що

Поздовжня деформація виявилася лінійною функцієювідстані від нейтрального шару, що є прямим наслідком закону плоских перерізів

Ця формула не придатна для практичного використання, оскільки містить дві невідомі: кривизну нейтрального шару та положення нейтральної осі Ох, від якої відраховується координата у.Для визначення цих невідомих скористаємось рівняннями рівноваги статики. Перше висловлює вимогу рівності нулю поздовжньої сили

Підставляючи в це рівняння вираз (2)

і враховуючи, що , отримуємо, що

Інтеграл у лівій частині цього рівняння являє собою статичний момент поперечного перерізу стрижня щодо нейтральної осі Ох,який може дорівнювати нулю тільки щодо центральної осі. Тому нейтральна вісь Охпроходить через центр тяжіння поперечного перерізу.

Другим рівнянням рівноваги статики є, що зв'язує нормальну напругу з згинальним моментом (який легко може бути виражений через зовнішні сили і тому вважається заданою величиною). Підставляючи рівняння зв'язки вираз для. напруг, отримаємо:

та враховуючи, що де J xГоловний центральний момент інерції щодо осі | Ох,для кривизни нейтрального шару одержуємо формулу

Рис.4.Розподіл нормальних напруг

яка була вперше отримана Ш. Кулоном у 1773 році. Для узгодження знаків згинального моменту М хі нормальних напруг у правій частині формули (5) ставиться знак мінус, оскільки при M х >0нормальні напруги при y>0 виявляються стискаючими. Однак у практичних розрахунках зручніше, не дотримуючись формального правила знаків, визначати напругу за модулем, а знак ставити за змістом. Нормальна напруга при чистому згині призматичного стрижня є лінійною функцією координати. уі досягають найбільших значеньу волокнах, найбільш віддалених від нейтральної осі (рис. 4), тобто.

Тут введено геометричну характеристику , що має розмірність м 3 і отримала назву моменту опору при згинанні.Оскільки при заданому M хнапруги max?тим менше, чим більше W x ,момент опору є геометричною характеристикою міцності поперечного перерізу вигину.Наведемо приклади обчислення моментів опору найпростіших форм поперечних перерізів. Для прямокутного поперечного перерізу (рис. 5, а) маємо J х = bh 3 / 12, y max = h/2і W x = J x / y max = bh 2/6.Аналогічно для кола (рис. 5 ,a J x =d 4 /64, y max =d/2) отримуємо W x =d 3/32 для кругового кільцевого перерізу (рис. 5, в),у якого

Прямий вигин- Це вид деформації, при якому в поперечних перерізах стрижня виникають два внутрішніх силових фактори: згинальний момент і поперечна сила.

Чистий вигин- це окремий випадок прямого вигину, при якому в поперечних перерізах стрижня виникає тільки згинальний момент, а поперечна сила дорівнює нулю.

Приклад чистого вигину – ділянка CDна стрижні AB. Згинальний момент– це величина Paпари зовнішніх сил, що викликає вигин. З рівноваги частини стрижня ліворуч від поперечного перерізу mnслід, що внутрішні зусилля, розподілені за цим перерізом, статично еквівалентні моменту M, рівному і протилежно спрямованому згинальний момент Pa.

Щоб знайти розподіл цих внутрішніх зусиль з поперечного перерізу, необхідно розглянути деформацію стрижня.

У найпростішому випадку стрижень має поздовжню площину симетрії і піддається дії зовнішніх згинальних пар сил, що знаходяться в цій площині. Тоді вигин відбуватиметься у тій самій площині.

Вісь стрижня nn 1- Це лінія, що проходить через центри тяжкості його поперечних перерізів.

Нехай поперечний переріз стрижня прямокутник. Нанесемо на його межі дві вертикальні лінії mmі pp. При згинанні ці лінії залишаються прямолінійними і повертаються так, що залишаються перпендикулярними поздовжнім волокнам стрижня.

Подальша теорія вигину ґрунтується на припущенні, що не тільки лінії mmі ppале весь плоский поперечний переріз стрижня залишається після вигину плоским і нормальним до поздовжніх волокон стрижня. Отже, при згинанні поперечні перерізи mmі ppповертаються відносно один одного навколо осей, перпендикулярних до площини вигину (площини креслення). При цьому поздовжні волокна на опуклій стороні зазнають розтягування, а волокна на увігнутій стороні – стиск.

Нейтральна поверхня- Це поверхня, що не відчуває деформації при згинанні. (Зараз вона розташована перпендикулярно до креслення, деформована вісь стрижня nn 1належить цій поверхні).

Нейтральна вісь перерізу- це перетин нейтральної поверхні з будь-яким з будь-яким поперечним перерізом (зараз теж розташована перпендикулярно кресленню).

Нехай довільне волокно знаходиться на відстані yвід нейтральної поверхні. ρ - Радіус кривизни вигнутої осі. Крапка O- Центр кривизни. Проведемо лінію n 1 s 1паралельно mm.ss 1- Абсолютне подовження волокна.

Відносне подовження ε xволокна

З цього виходить що деформації поздовжніх волоконпропорційні відстані yвід нейтральної поверхні і обернено пропорційні радіусу кривизни ρ .

Поздовжнє подовження волокон опуклої сторони стрижня супроводжується бічним звуженням, а поздовжнє укорочення увігнутої сторони – бічним розширенням, як у разі простого розтягування та стиснення. Через це вигляд усіх поперечних перерізів змінюється, вертикальні сторони прямокутника стають похилими. Деформація у бічному напрямку z:

μ - коефіцієнт Пуассона.

Внаслідок такого спотворення всі прямі лінії поперечного перерізу, паралельні осі z, викривляються те щоб залишитися нормальними до бічним сторонам перерізу. Радіус кривизни цієї кривої Rбуде більше, ніж ρ у такому ж відношенні, в якому ε x за абсолютною величиною більше ніж ε z , і ми отримаємо

Цим деформаціям поздовжніх волокон відповідають напруги.

Напруга в будь-якому волокні пропорційна його відстані від нейтральної осі n 1 n 2. Положення нейтральної осі та радіус кривизни ρ – дві невідомі у рівнянні для σ x – можна визначити з умови, що зусилля, розподілені за будь-яким поперечним перерізом, утворюють пару сил, що врівноважує зовнішній момент M.

Все вищесказане також справедливо, якщо стрижень не має поздовжню площину симетрії, в якій діє згинальний момент, аби тільки згинальний момент діяв в осьовій площині, яка містить одну з двох головних осейпоперечного перерізу. Ці площини називаються головними площинами вигину.

Коли є площина симетрії і момент, що згинає, діє в цій площині, прогин відбувається саме в ній. Моменти внутрішніх зусиль щодо осі zврівноважують зовнішній момент M. Моменти зусиль щодо осі yвзаємно знищуються.

Чистим вигиномназивається такий вид вигину, при якому має місце дія тільки згинального моменту(Рис. 3.5, а).Подумки проведемо площину перерізу I-I перпендикулярно до поздовжньої осі балки на відстані * від вільного кінця балки, до якого доданий зовнішній момент m z.Здійснимо дії, аналогічні тим, які були виконані нами при визначенні напружень та деформацій під час кручення, а саме:

• 1) складемо рівняння рівноваги подумки відсіченої частини деталі;
• 2) визначимо деформацію матеріалу деталі виходячи з умов сумісності деформацій елементарних обсягів цього перерізу;
• 3) вирішимо рівняння рівноваги та спільності деформацій.

З умови рівноваги відсіченої ділянки балки (рис. 3.5, б)

отримаємо, що момент внутрішніх сил M zдорівнює моменту зовнішніх сил т: М = т.

Рис. 3.5.

Момент внутрішніх сил створюється нормальними напругами o v , спрямованими вздовж осі х. При чистому згині немає зовнішніх сил, тому сума проекцій внутрішніх сил будь-яку координатну вісь дорівнює нулю. На цій підставі запишемо умови рівноваги у вигляді рівностей

де А- Площа поперечного перерізу балки (стрижня).

При чистому вигині зовнішні сили F x , F, F vа також моменти зовнішніх сил т х, т урівні нулю. Тому решта рівнянь рівноваги тотожно дорівнює нулю.

З умови рівноваги при о^О випливає, що

нормальна напруга з ху поперечному перерізі приймають як позитивні, так і від'ємні значення. (Досвід показує, що при згинанні матеріал нижньої сторони бруса на рис. 3.5, арозтягнутий, а верхній - стиснутий.) Отже, у поперечному перерізі при згині є такі елементарні об'єми (перехідного шару від стиснення до розтягування), у яких подовження або стиснення відсутнє. Це - нейтральний шар.Лінія перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу називається нейтральною лінією.

Умови сумісності деформацій елементарних обсягів при згинанні формується на основі гіпотези плоских перерізів: плоскі до вигину поперечні перерізи балки (див. рис. 3.5, б)залишаться плоскими та після вигину (рис. 3.6).

Внаслідок дії зовнішнього моменту брус згинається, а площині перерізів I-Iта II-II повертаються один щодо одного на кут dy(Рис. 3.6, б).При чистому вигині деформація всіх перерізів вздовж осі балки однакова, тому радіус р к кривизни нейтрального шару балки вздовж осі х один і той же. Так як dx= р K dip,то кривизна нейтрального шару дорівнює 1/р до = dip / dxта постійна по довжині балки.

Нейтральний шар не деформується, його довжина до та після деформації дорівнює dx.Нижче за цей шар матеріал розтягнутий, вище - стиснутий.

Рис. 3.6.

Значення подовження розтягнутого шару, що знаходиться на відстані від нейтрального, дорівнює ydq.Відносне подовження цього шару:

Таким чином, прийнятої моделі отримано лінійний розподіл деформацій залежно від відстані даного елементарного обсягу до нейтрального шару, тобто. по висоті перерізу балки. Вважаючи, що немає взаємного натискання паралельних шарів матеріалу один на одного (про у = 0, а = 0), запишемо закон Гука для лінійного розтягування:

Відповідно (3.13) нормальні напруги в поперечному перерізі балки розподілені за лінійним законом. Напруга елементарного обсягу матеріалу, найбільш віддаленого від нейтрального шару (рис. 3.6, в), максимально і одно

? Завдання 3.6

Визначити межу пружності сталевого клинка завтовшки / = 4 мм і довжиною / = 80 см, якщо його вигин у півколо не викликає залишкової деформації.

Рішення

Напруга при згинанні o v = Еу/ р к. Приймемо y max = t/ 2і р к = / / до.

Межа пружності має відповідати умові з уп > c v = 1/2 кЕt/1.

Відповідь: про = ] / 2 до 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 МПа; межа плинності цієї сталі а т > 1800 МПа, що перевищує а т самих міцних пружинних сталей. ?

? Завдання 3.7

Визначити мінімальний радіус барабана для намотування стрічки завтовшки / = 0,1 мм нагрівального елементаіз нікелевого сплаву, при якому матеріал стрічки пластично не деформується. Модуль Е= 1,6 10 5 МПа, межа пружності про уп = 200 МПа.

Відповідь:мінімальний радіус р = V 2 ?ir/a yM = У? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 м. ?

1. При спільному розв'язанні першого рівняння рівноваги (3.12) та рівняння спільності деформацій (3.13) отримаємо

Значення Е/ р до ф 0 і однаково всім елементів dAПлощі інтегрування. Отже, ця рівність задовольняється лише за умови

Цей інтеграл називають статичним моментом площі поперечного перерізу щодо осіz?Який фізичний зміст цього інтегралу?

Візьмемо платівку постійної товщини, але довільного профілю (рис. 3.7). Підвісимо цю платівку в точці Зтак, щоб вона знаходилась у горизонтальному положенні. Позначимо символом у м питома вагаматеріалу пластинки, тоді вага елементарного об'єму площею dAдорівнює dq= у JdA.Оскільки платівка перебуває у стані рівноваги, то з рівності нулю проекцій сил на вісь уотримаємо

де G= у M tA- Вага платівки.

Рис. 3.7.

Сума моментів сил усіх сил щодо осі z, що проходить у будь-якому перерізі пластинки, також дорівнює нулю:

Враховуючи що Y c = G,запишемо

Таким чином, якщо інтеграл виду J xdAпо площі Адорівнює

нулю, то х с = 0. Це означає, що точка З збігається з центром ваги платівки. Отже, з рівності S z = J ydA = 0 при з-

Згинає, що центр тяжіння поперечного перерізу балки знаходиться на нейтральній лінії.

Отже, значення у зпоперечного перерізу балки дорівнює нулю.

• 1. Нейтральна лінія при згинанні проходить через центр тяжіння поперечного перерізу балки.
• 2. Центр тяжкості поперечного перерізу є центром приведення моментів зовнішніх та внутрішніх сил.

Завдання 3.8

Завдання 3.9

2. При сумісному вирішенні другого рівняння рівноваги (3.12) та рівняння спільності деформацій (3.13) отримаємо

Інтеграл J z= J y 2 dAназивається моментом інерції поперечного

перерізу балки (стрижня) щодо осі z,проходить через центр тяжкості поперечного перерізу.

Таким чином, M z = Е J z /р к. Враховуючи, що з х = Її х = Еу/ р до і Е/ р до = а х / у,отримаємо залежність нормальних напруг о хпри вигині:

1. Напруга вигину в даній точці перерізу не залежить від модуля нормальної пружності Е,але залежить від геометричного параметра поперечного перерізу J zта відстані увід цієї точки до центру тяжкості поперечного перерізу.

2. Максимальна напруга при згинанні має місце в елементарних обсягах, найбільш віддалених від нейтральної лінії (див. рис. 3.6, в):

де W z- момент опору поперечного перерізу щодо осі Z-

Умова міцності при чистому вигині аналогічна умові міцності при лінійному розтягуванні:

де [а м | - Допустима напруга при згині.

Очевидно, що внутрішні обсяги матеріалу, особливо поблизу нейтральної осі, практично не навантажені (див. рис. 3.6, в).Це суперечить вимогам мінімізувати матеріаломісткість конструкції. Нижче будуть показані деякі способи подолання цієї суперечності.

10.1. Загальні поняттята визначення

Вигин- Це такий вид навантаження, при якому стрижень завантажений моментами в площинах, що проходять через поздовжню вісь стрижня.

Стрижень, що працює на вигин, називається балкою (або брусом). Надалі розглядатимемо прямолінійні балки, поперечний переріз яких має хоча б одну вісь симетрії.

У опорі матеріалів розрізняють вигин плоский, косий та складний.

Плоский вигин- Вигин, при якому всі зусилля, що згинають балку, лежать в одній з площин симетрії балки (в одній з головних площин).

Головними площинами інерції балки називають площини, що проходять через головні осі поперечних перерізів та геометричну вісь балки (вісь x).

Косий вигин- Вигин, при якому навантаження діють в одній площині, що не збігається з головними площинами інерції.

Складний вигин- Вигин, при якому навантаження діють у різних (довільних) площинах.

10.2. Визначення внутрішніх зусиль при згинанні

Розглянемо два характерні випадки вигину: у першому – консольна балка згинається зосередженим моментом Mo; у другому – зосередженою силою F.

Використовуючи метод уявних перерізів та становлячи рівняння рівноваги для відсічених частин балки, визначимо внутрішні зусилля в тому й іншому випадку:

Інші рівняння рівноваги, очевидно, тотожно дорівнюють нулю.

Таким чином, у загальному випадку плоского вигину в перерізі балки із шести внутрішніх зусиль виникає два – згинальний моментМz та поперечна сила Qy (або при згині щодо іншої головної осі – момент, що згинає Мy і поперечна сила Qz).

При цьому, відповідно до двох розглянутих випадків навантаження, плоский вигин можна поділити на чистий і поперечний.

Чистий вигин- Плоский вигин, при якому в перерізах стрижня з шести внутрішніх зусиль виникає тільки одне - згинальний момент (див. перший випадок).

Поперечний вигин- Вигин, при якому в перерізах стрижня крім внутрішнього згинального моменту виникає і поперечна сила (див. другий випадок).

Строго кажучи, до простим видамопору належить лише чистий вигин; поперечний вигинвідносять до простих видів опору умовно, тому що в більшості випадків (для досить довгих балок) дією поперечної сили при розрахунках на міцність можна знехтувати.

При визначенні внутрішніх зусиль дотримуватимемося наступного правила знаків:

1) поперечна сила Qy вважається позитивною, якщо вона прагне повернути аналізований елемент балки за годинниковою стрілкою;

2) згинальний момент Мz вважається позитивним, якщо при згинанні елемента балки верхні волокна елемента виявляються стиснутими, а нижні - розтягнутими (правило парасольки).

Таким чином, розв'язання задачі щодо визначення внутрішніх зусиль при вигині будемо вибудовувати за наступним планом: 1) на першому етапі, розглядаючи умови рівноваги конструкції в цілому, визначаємо, якщо це необхідно, невідомі реакції опор (зазначимо, що для консольної балки реакції в закладенні можна і не шукати, якщо розглядати балку з вільного кінця); 2) на другому етапі виділяємо характерні ділянки балки, приймаючи за межі ділянок точки застосування сил, точки зміни форми або розмірів балки, точки закріплення балки; 3) третьому етапі визначаємо внутрішні зусилля в перерізах балки, розглядаючи умови рівноваги елементів балки кожному з ділянок.

10.3. Диференціальні залежності при згинанні

Встановимо деякі взаємозв'язки між внутрішніми зусиллями та зовнішніми навантаженнями при згинанні, а також характерні особливостіепюр Q і M, знання яких полегшить побудову епюр і дозволить контролювати їхню правильність. Для зручності запису позначатимемо: M≡Mz, Q≡Qy.

Виділимо на ділянці балки з довільним навантаженням у місці, де немає зосереджених сил та моментів, малий елемент dx. Так як вся балка знаходиться в рівновазі, то і елемент dx перебуватиме в рівновазі під дією прикладених до нього поперечних сил, згинальних моментів і зовнішнього навантаження. Оскільки Q і M у загальному випадку змінюються вздовж

осі балки, то в перерізах елемента dx виникатимуть поперечні сили Q і Q+dQ, а також моменти, що згинають M і M+dM. З умови рівноваги виділеного елемента отримаємо

Перше із двох записаних рівнянь дає умову

З другого рівняння, нехтуючи доданком q·dx·(dx/2) як нескінченно малою величиною другого порядку, знайдемо

Розглядаючи вирази (10.1) та (10.2) спільно можемо отримати

Співвідношення (10.1), (10.2) та (10.3) називають диференціальними залежностями Д. І. Журавського при згинанні.

Аналіз наведених вище диференціальних залежностей при згині дозволяє встановити деякі особливості (правила) побудови епюр згинальних моментів та поперечних сил: а – на ділянках, де немає розподіленого навантаження q, епюри Q обмежені прямими, паралельними базі, а епюри M – похилими прямими; б – на ділянках, де до балки прикладено розподілене навантаження q, епюри Q обмежені похилими прямими, а епюри M – квадратичними параболами.

При цьому якщо епюру М будуємо «на розтягнутому волокні», то опуклість параболи буде спрямована у напрямку дії q, а екстремум буде розташований в перерізі, де епюра Q перетинає базову лінію; в – у перерізах, де до балки прикладається зосереджена сила на епюрі Q будуть стрибки на величину та у напрямку даної сили, а на епюрі М – перегини, вістрям спрямовані у напрямку дії цієї сили; г – у перерізах, де до балки прикладається зосереджений момент на епюрі Q змін не буде, а на епюрі М – стрибки на величину цього моменту; д - на ділянках, де Q> 0, момент М зростає, а на ділянках, де Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормальна напруга при чистому згині прямого бруса

Розглянемо випадок чистого плоского вигину балки та виведемо формулу для визначення нормальних напруг для даного випадку.

Зазначимо, що в теорії пружності можна отримати точну залежність для нормальних напруг при чистому згині, якщо ж вирішувати це завдання методами опору матеріалів необхідно ввести деякі припущення.

Таких гіпотез при вигині три:

а – гіпотеза плоских перерізів (гіпотеза Бернуллі) – перерізи плоскі до деформації залишаються плоскими і після деформації, а лише повертаються щодо деякої лінії, яка називається нейтральною віссю перерізу балки. При цьому волокна балки, що лежать з одного боку від нейтральної осі розтягуватимуться, а з іншого – стискатимуться; волокна, що лежать на нейтральній осі своєї довжини не змінюють;

б – гіпотеза про сталість нормальних напруг – напруги, що діють однаковій відстані y від нейтральної осі, постійні по ширині бруса;

в - гіпотеза про відсутність бічних тисків - сусідні поздовжні волокна не тиснуть один на одного.

Статичний бік завдання

Щоб визначити напруги в поперечних перерізах балки, розглянемо, перш за все, статичну сторону завдання. Застосовуючи метод уявних перерізів та становлячи рівняння рівноваги для відсіченої частини балки, знайдемо внутрішні зусилля при згинанні. Як було показано раніше, єдиним внутрішнім зусиллям, що діє в перерізі бруса при чистому згині, є внутрішній згинальний момент, а отже тут виникнуть пов'язані з ним нормальні напруги.

Зв'язок між внутрішніми зусиллями і нормальними напругами в перерізі балки знайдемо з розгляду напруг на елементарному майданчику dA, виділеного в поперечному перерізі балки A в точці з координатами y і z (вісь y для зручності аналізу спрямована вниз):

Як бачимо, завдання є внутрішньо статично невизначеним, оскільки невідомий характер розподілу нормальних напруг по перерізу. Для розв'язання задачі розглянемо геометричну картину деформацій.

Геометрична сторона завдання

Розглянемо деформацію елемента балки довжиною dx, виділеного з стрижня, що згинається, в довільній точці з координатою x. Враховуючи прийняту раніше гіпотезу плоских перерізів, після вигину перерізу балки повернутись щодо нейтральної осі (н.о.) на кут dϕ, при цьому волокно ab, що віддаляється від нейтральної осі на відстань y, перетвориться на дугу кола a1b1, а його довжина зміниться на деяку величину. Тут нагадаємо, що довжина волокон, що лежать на нейтральній осі, не змінюється, тому дуга a0b0 (радіус кривизни якої позначимо ρ) має ту ж довжину, що і відрізок a0b0 до деформації a0b0=dx.

Знайдемо відносну лінійну деформацію εx волокна ab вигнутої балки: