Схема Горнера та її застосування. Схема горнера, речова версія, послідовний варіант

Обчислення значення многочлена у точці є одним із найпростіших класичних завдань програмування.
Під час проведення різноманітних обчислень часто доводиться визначати значення многочленов при заданих значеннях аргументів. Часто наближене обчислення функцій зводиться до обчислення апроксимуючих багаточленів.
Рядового читача Хабрахабр не можна назвати недосвідченим у застосуванні усіляких збочень. Кожен другий скаже, що багаточлен треба обчислювати за правилом Горнера. Але чи завжди є маленьке «але», чи завжди схема Горнера є найефективнішою?


Я не ставлю за мету точно описати алгоритми для обчислення багаточленів, а лише показати, що в деяких випадках можна (потрібно) застосовувати схеми відмінних правил Горнера. Для тих, кого зацікавить матеріал, наприкінці статті наведено список літератури, з якою можна ознайомитись для більш детального вивчення питання.
Крім того, іноді стає прикро, що прізвища наших російських математиків залишаються маловідомими. До того ж, мені просто приємно розповісти про роботи наших математиків.

Схема Горнера

Винятки

А є ще щось, адже схема Горнера найекономічніша?

У деяких випадках для отримання значень поліномів доцільно використати двоетапні схеми. На першому етапі виконуються дії лише над коефіцієнтами многочлена, він перетворюється на спеціальному вигляду. На другому етапі обчислюють вже значення самого многочлена при заданих значеннях аргументу. При цьому може виявитися, що кількість операцій, що виконуються на другому етапі, буде меншою, ніж при обчисленнях за схемою Горнера.

Знову зауважу, що такі методи обчислень доцільні при обчисленні значень багаточлена для великої кількостізначень x. Виграш виходить за рахунок того, що перший етап для багаточлена виконується лише один раз. Прикладом може бути обчислення елементарних функцій, де наближаючий многочлен готуватися заздалегідь.

У подальших міркуваннях, говорячи про кількість операцій для обчислення, я матиму на увазі складність другого етапу обчислень.

Схема Дж. Тодта для багаточленів 6 ступеня

Коефіцієнти визначаються методом невизначених коефіцієнтів виходячи з умови. З останньої умови складаємо систему рівнянь, прирівнюючи коефіцієнти за рівних ступенів багаточленів.

Саму систему, тут наводити не буду. Але легко вирішується методом підстановок, у своїй доводиться вирішувати квадратні рівняння. p align="justify"> Коефіцієнти можуть вийти комплексними, але якщо коефіцієнти виявляються дійсними, то обчислення вимагають трьох множень і семи додавань замість п'яти множень і шести додавань за схемою Горнера.

Говорити про універсальність цієї схеми годі й говорити, зате читач наочно може оцінити зменшення кількості операцій проти схемою Горнера.

Схема Ю.Л. Кєткова

Ю.Л. Кетков дав загальне уявлення многочлена n-го ступеня для n>5, що завжди призводить до дійсних виразів і вимагає для обчислення многочлена n-го ступеня виконання [(n+1)/2]+ множень і n+1 додавань.

Наприклад, при n=2k схема Кеткова зводиться до знаходження багаточленів:

Усі невідомі коефіцієнти перебувають з рівності. У роботах Кеткова на вирішення виходять систем дається метод, дає завжди дійсні коефіцієнти .

Схеми В.Я. Пана

В.Я. Пан займався питаннями оптимального обчислення багаточленів. Зокрема, їм запропоновано кілька схем для обчислення дійсних багаточленів, які дуже близько підібрали оцінки Е. Белаги. Наведу деякі схеми Пана для дійсних багаточленів.
1. Схема для обчислення багаточленів четвертого ступеня.
Розглядається багаточлен.

Представимо у вигляді:

Для обчислення значення багаточлена використовуємо вирази:

Ця схема на другому етапі вимагає множення та додавання.

Особливістю даної схеми є те, що коефіцієнти завжди існують при дійсних коефіцієнтах вихідного многочлена.

У В.Я. Пана існують інші схеми для обчислення многочленів, зокрема й у комплексних.

Висновок

Однак, якщо кількість значень полінома, які потрібно обчислити велике, а продуктивність дуже важлива, то є сенс розглянути застосування спеціальних методів обчислення багаточленів.

Деякі читачі скажуть, що вовтузитися із застосуванням схем, відмінних від схеми Горнера, складно, нудно і не варто з цим зв'язуватися. Однак у реального життязустрічаються завдання, в яких потрібно обчислювати просто величезну кількість значень багаточленів з великими ступенями (наприклад, на їх обчислення можуть йти місяці), і зменшення числа множень вдвічі дасть істотний виграш у часі, навіть якщо вам доведеться витратити пару днів на реалізацію конкретної схеми для обчислення багаточленів.

Література

1. Кєтков Ю.Л. Про один спосіб обчислення поліномів на математичних машинах. // Вісті ВНЗ "ів. Радіофізика, т.1., № 4, 1958
2. В. Я. Пан, "Обчислення многочленів за схемами з попередньою обробкою коефіцієнтів та програма автоматичного знаходження параметрів", Ж. обчисл. матем. та матем. фіз., 2:1 (1962), 133-140
3. В. Я. Пан, “Про способи обчислення значень багаточленів”, УМН, 21:1(127) (1966), 103–134
4. В. Я. Пан, "Про обчислення багаточленів п'ятого та сьомого ступеня з речовими коефіцієнтами", Ж. обчисл. матем. та матем. фіз., 5:1 (1965), 116-118
5. Пан В. Я. Деякі схеми обчислення значень поліномів з речовими коефіцієнтами. Проблеми кібернетики. Вип. 5. М.: Наука, 1961, 17-29.
6. Белага Е. Г. Про обчислення значень багаточлена від одного змінного з попередньою обробкою коефіцієнтів. Проблеми кібернетики. Вип. 5. М.: Фізматгіз, 1961, 7-15.

Опис алгоритму

Заданий багаточлен:

Нехай потрібно обчислити значення даного багаточлена при фіксованому значенні. Представимо багаточлен у такому вигляді:

Визначимо таку послідовність:

Шукане значення. Покажемо, що так.

В отриману форму запису підставимо і обчислюватимемо значення виразу, починаючи з внутрішніх дужок. Для цього будемо замінювати вирази через:

Використання схеми Горнера для поділу багаточлена на бином

При розподілі багаточлена на виходить багаточлен із залишком.

При цьому коефіцієнти результуючого багаточлена задовольняють рекурентним співвідношенням:

Так само можна визначити кратність коренів (використовувати схему Горнера для нового полінома). Також схему можна використовуватиме знаходження коефіцієнтів при розкладанні полінома за ступенями:

Примітки

Див. також

Література

• Ананій В. Левітін Глава 6. Метод перетворення: Схема Горнера та зведення у ступінь// Алгоритми: введення в розробку та аналіз = Introduction to The Design and Analysis of Aigorithms. – М.: «Вільямс», 2006. – С. 284-291. - ISBN 0-201-74395-7
• Волков Є. А.§ 2. Обчислення значень багаточлена. Схема Горнера// Чисельні методи. - Навч. посібник для вузів. - 2-ге вид., Випр. – М.: Наука, 1987. – 248 с.
• С. Б. Гашков§14. Схема Горнера та переведення з однієї позиційної системи в іншу // Системи числення та їх застосування. – М.: МЦНМО, 2004. – С. 37-39. - (Бібліотека «Математичне просвітництво»). - ISBN 5-94057-146-8

Посилання

• Обчислення багатовимірних поліномів - узагальнення схеми Горнера у разі полінома від кількох змінних.

Wikimedia Foundation. 2010 .

• Хлорхінальдол
• Штільмарк, Олександр Робертович

Дивитись що таке "Схема Горнера" ​​в інших словниках:

ГІРНЕРА СХЕМУ- прийом для знаходження неповного приватного та залишку при розподілі багаточлена на двочлен, де всі коефіцієнти лежать у певному полі, напр., у полі комплексних чисел. Кожен багаточлен єдиним способом представимо у вигляді де є неповне приватне, … Математична енциклопедія

Метод Горнера- схема Горнера (або правило Горнера, метод Горнера) алгоритм обчислення значення багаточлена, записаного у вигляді суми мономів, при заданому значенні змінної. Метод Горнера дозволяє знайти коріння багаточлена, а також обчислити похідні.

Корінь багаточлена- Цей термін має й інші значення, див. Корінь (значення). Корінь багаточлена (не рівного тотожному нулю) над полем k елемент, такий що виконуються дві наступні рівносильні умови: даний многочлен ділиться на многочлен;

Поділ багаточленів стовпчиком- В алгебрі поділ багаточленів стовпчиком алгоритм поділу багаточлена на багаточлен, ступінь якого менший або дорівнює ступеню багаточлена. Алгоритм є узагальненою формою поділу чисел стовпчиком, що легко реалізується вручну. Для… … Вікіпедія

Хорнер, Вільям Джордж- Вільям Джордж Хорнер (1786, Брістоль 22 вересня 1837) британський математик. Народився 1786 року в місті Брістоль в Англії. Здобув освіту в Кінгствудській школі Брістоля. У віці 14 років він став помічником директора у ... Вікіпедія

Плечове сплетення- I Плечове сплетення (plexus brachialis) сплетення нервових волокон передніх гілок 4 8 шийних і 1 2 грудних спинномозкових нервів у кілька стовбурів та пучків, в результаті подальшого поділу яких формуються короткі та довгі нерви… Медична енциклопедія

РАДИКУЛІТИ- (Від лат. radix корінь), захворювання корінців спинномозкових нервів, термін, що утвердився на початку 20 ст. завдяки роботам Дежеріна та його школи. В основі Р. лежить запально дегенеративний процес у корінцях [див. окрему таблицю (ст. 255… …

ЩИТОВИДНА ЗАЛОЗА- (gl. thyreoidea, син. corpus thyreoideum), одна з найважливіших залоз внутрішньої секреції хребетних тварин. В ембріональному розвитку Щ. ж. виникає з епітелію нижньої стінки зябрової частини кишечника; у личинок круглоротих риб вона має ще вигляд. Велика медична енциклопедія

Радикуліт- I Радикуліт (radiculitis; лат. radicula корінець + itis) запальне та компресійне ураження корінців спинномозкових нервів. Поєднане ураження переднього та заднього корінців на рівні їх з'єднання в загальний канатик (рис.) раніше позначали… Медична енциклопедія

Спинальний кровообіг- (Синонім спинномозковий кровообіг) Встановлено, що кілька верхніх шийних сегментів спинного мозку постачають кров'ю передня і задня спинальні артерії, що відходять від хребетних артерій. Сегменти, розташовані нижче сегментів CIII CIV, … Медична енциклопедія

1.1 Загальний опис алгоритму

1.1.1 Розв'язуване завдання

Перша оцінка виконується на основі характеристики daps, яка оцінює кількість виконаних звернень (читань та записів) на згадку в секунду. Ця характеристикає аналогом оцінки flops стосовно роботи з пам'яттю і є більшою мірою оцінкою продуктивності взаємодії з пам'яттю, ніж оцінкою локальності. Однак вона служить гарним джереломінформації, в тому числі для порівняння з результатами наступної характеристики cvg.

На рис.4 наведено значення daps для реалізації поширених алгоритмів, відсортовані за зростанням (чим більше daps, тим у загальному випадкувище продуктивність). Згідно з цим малюнком, реалізація схеми Горнера показує низьку продуктивність роботи з пам'яттю. Може здатися дивним, що значення daps у цьому випадку значно менше, ніж для тестів STREAM, незважаючи на те, що профіль звернень у всіх випадках дуже схожий – кілька послідовних переборів масивів, що одночасно виконуються.

Причина такого поведінки пов'язані з особливостями будови підсистеми пам'яті. У реалізації схеми Горнера, як було зазначено вище, до елементів одного з масивів виконується по два звернення поспіль. Однак, якщо подивитися вихідний код реалізації, можна побачити, що насправді друге звернення виконується на наступній ітерації – це звернення до попереднього елемента:

for (int i = 1; i< size ; i ++ ) { c [ i ] = a [ i ] + c [ i - 1 ] * x ; }

В результаті через залежність ітерацій апаратний префетчер набагато гірше справляється з підтягуванням необхідних кеш-рядків, що призводить до помітного уповільнення виконання програми порівняно з іншими реалізаціями, що базуються на послідовному переборі (наприклад, тести STREAM).

Подібний приклад вкотре показує, наскільки складно потроєна підсистема пам'яті – зовсім невелика зміна будови тіла циклу призводить до несподіваного серйозного уповільнення програми.

Рисунок 4. Порівняння значень оцінки daps

Друга характеристика – cvg – варта отримання більш машинно-незалежної оцінки локальності. Вона визначає, як часто в програмі необхідно підтягувати дані в кеш-пам'ять. Відповідно, чим менше значення cvg, тим рідше це потрібно робити, тим краще локальність.

На рис.5 наведено значення cvg для того ж набору реалізацій, відсортовані за спаданням (чим менше cvg, тим у загальному випадку вища локальність). Можна побачити, що реалізація схема Горнера має дуже високу локальність згідно з оцінкою cvg.

Рисунок 5. Порівняння значень оцінки cvg

Як ми бачили раніше, це погано співвідноситься з реальною продуктивністю роботи з пам'яттю через особливості будови пам'яті. Однак тут необхідно зробити два зауваження. По перше, подібні випадкиКоли продуктивність роботи з пам'яттю настільки сильно залежить від специфічних апаратних особливостей будови підсистеми пам'яті, на практиці зустрічаються не так часто. По-друге, cvg призначена для отримання машинно-незалежної оцінки локальності; на даному рівні врахувати подібні апаратні особливості, принаймні без втрати частки машинно-незалежних властивостей, навряд чи є можливим.

2.3 Можливі способи та особливості паралельної реалізації алгоритму

Описуваний алгоритм передбачає паралельної реалізації.

2.4 Масштабованість алгоритму та його реалізації

Поняття масштабованості не застосовується, оскільки описуваний алгоритм передбачає паралельної реалізації. Проведемо дослідження масштабованості вширь реалізації алгоритму згідно з методикою. Дослідження проводилося на суперкомп'ютері "Ломоносів" Суперкомп'ютерного комплексу Московського університету. Набір та межі значень змінюваних параметрів запуску реалізації алгоритму:

• число процесорів 1;
• Розмір області з кроком 10240.

В результаті проведених експериментів було отримано наступний діапазон ефективності реалізації алгоритму:

• мінімальна ефективність реалізації 0.0324%;
• максимальна ефективність реалізації 0,0331%.

На наступних малюнках наведено графіки продуктивності та ефективності обраної реалізації алгоритму в залежності від параметрів запуску, що змінюються.

6. Реалізація алгоритму. Зміна продуктивності залежно від розміру вектора.

7. Реалізація алгоритму. Зміна ефективності, залежно від розміру вектора.

Мізерна ефективність, мабуть, пов'язана з надмірною локальністю, описаною в розділі .

2.5 Динамічні характеристики та ефективність реалізації алгоритму

У силу послідовності алгоритму та його надмірної локальності, дослідження його динамічних характеристик малоцінно.

Для проведення експериментів використовувалася реалізація алгоритму схеми Горнера, в реалізації доступної . Усі результати отримано на суперкомп'ютері "ГрафІТ!". Використовувалися процесори Intel Xeon X5570 з піковою продуктивністю 94 Гфлопс, а також компілятор Gnu 4.4.7. На малюнках показано ефективність реалізації алгоритму зустрічної прогонки.

Цілі уроку:

• навчити учнів розв'язувати рівняння вищих ступеніввикористовуючи схему Горнера;
• виховувати вміння працювати у парах;
• створити разом із основними розділами курсу базу у розвиток здібностей учнів;
• допомогти учневі оцінити свій потенціал, розвивати інтерес до математики, уміння мислити, висловлюватись на тему.

Обладнання:картки для роботи в групах, плакат із схемою Горнера.

Метод навчання:лекція, розповідь, пояснення, виконання тренувальних вправ.

Форма контролю:перевірка завдань самостійного рішення, самостійна робота.

Хід уроку

1. Організаційний момент

2. Актуалізація знань учнів

Яка теорема дозволяє визначити, чи є число коренем цього рівняння (сформулювати теорему)?

Теорема Безу. Залишок від поділу многочлена Р(х) на двочлен х-сдорівнює Р(с), число з називають коренем багаточлена Р(х), якщо Р(с)=0. Теорема дозволяє, не виконуючи операцію поділу, визначити, чи це число коренем многочлена.

Які твердження полегшують пошук коренів?

а) Якщо старший коефіцієнт багаточлена дорівнює одиниці, то коріння багаточлена слід шукати серед дільників вільного члена.

б) Якщо сума коефіцієнтів многочлена дорівнює 0, один із коренів дорівнює 1.

в) Якщо сума коефіцієнтів що стоять на парних місцях, дорівнює сумі коефіцієнтів, які стоять на непарних місцях, то один із коренів дорівнює -1.

г) Якщо всі коефіцієнти позитивні, то корінням багаточлена є негативні числа.

д) Багаточлен непарного ступеня має хоча б один дійсний корінь.

3. Вивчення нового матеріалу

При вирішенні цілих рівнянь алгебри доводиться знаходити значення коренів многочленів. Цю операцію можна спростити, якщо проводити обчислення за спеціальним алгоритмом, який називається схемою Горнера. Цю схему названо на честь англійського вченого Вільяма Джорджа Горнера. Схема Горнера це алгоритм для обчислення частки та залишку від розподілу многочлена Р(х) на х-с. Стисло, як він влаштований.

Нехай дано довільний багаточлен Р(х) = а 0 х n + а 1 х n-1 + … + а n-1 х + а n. Розподіл цього многочлена на х-с – це його у вигляді Р(х)=(х-с)g(х) + r(х). Приватне g(х)=в 0 х n-1 + n х n-2 +…+в n-2 х + n-1 , де 0 =а 0 , n =св n-1 +а n , n = 1,2,3, ... n-1. Залишок r(х) = св n-1 + а n. Цей метод обчислення називається схемою Горнера. Слово «схема» у назві алгоритму пов'язана з тим, що зазвичай його виконання оформлюють в такий спосіб. Спочатку малюють таблицю 2(n+2). У лівій нижній клітині записують число, а у верхньому рядку коефіцієнти многочлена Р(х). У цьому ліву верхню клітину залишають порожній.

Число, яке після виконання алгоритму виявляється записаним у правій нижній клітині, є залишок від поділу многочлена Р(х) на х-с. Інші числа в 0, в 1, в 2, нижнього рядка є коефіцієнтами приватного.

Наприклад: Розділити багаточлен Р(х) = х3-2х +3 на х-2.

Виходить, що х 3 -2х+3=(х-2) (х 2 +2х+2) + 7.

4. Закріплення вивченого матеріалу

Приклад 1:Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами многочлен Р(х) = 2х4-7х3-3х2 +5х-1.

Шукаємо ціле коріння серед дільників вільного члена -1:1; -1. Складемо таблицю:

X = -1 - корінь

Р(х)=(х+1) (2х3-9х2+6х-1)

Перевіримо 1/2.

Отже, багаточлен Р(х) можна подати у вигляді

Р(х)=(х+1) (х-1/2) (х 2 -8х +2) = (х+1) (2х -1) (х 2 - 4х +1)

Приклад 2:Розв'язати рівняння 2х 4 – 5х 3 + 5х 2 – 2 = 0

Так як сума коефіцієнтів многочлена, записаного в лівій частині рівняння, дорівнює нулю, то один із коренів 1. Скористаємося схемою Горнера:

Отримуємо Р(х)=(х-1) (2х3-3х2=2х+2). Шукатимемо коріння серед дільників вільного члена 2.

З'ясували, що цілого коріння більше немає. Перевіримо 1/2; -1/2.

Відповідь: 1; -1/2.

Приклад 3:Розв'язати рівняння 5х4 – 3х3 – 4х2-3х+5 = 0.

Коріння цього рівняння будемо шукати серед дільників вільного члена 5: 1; -1; 5; -5. х=1 - корінь рівняння, оскільки сума коефіцієнтів дорівнює нулю. Скористайтеся схемою Горнера:

рівняння представимо як твори трьох множників: (х-1) (х-1) (5х 2 -7х + 5)=0. Вирішуючи квадратне рівняння 5х2-7х+5=0, отримали Д=49-100=-51, коріння немає.

Картка 1

1. Розкладіть на множники многочлен: х 4+3х3-5х2-6х-8
2. Розв'яжіть рівняння: 27х 3 -15х 2 +5х-1=0

Картка 2

1. Розкладіть на множники багаточленів: х 4 -х 3 -7х 2 +13х-6
2. Розв'яжіть рівняння: х 4 +2х 3 -13х 2 -38х-24=0

Картка 3

1. Розкладіть на множники: 2х3-21х2+37х+24
2. Розв'яжіть рівняння: х 3 -2х 2 +4х-8=0

Картка 4

1. Розкладіть на множники: 5х3-46х2+79х-14
2. Розв'яжіть рівняння: х 4 +5х 3 +5х 2 -5х-6=0

5. Підбиття підсумків

Перевірка знань при вирішенні у парах здійснюється на уроці шляхом впізнавання способу дії та назви відповіді.

Домашнє завдання:

Розв'яжіть рівняння:

а) х 4 -3х 3+4х2-3х+1=0

б) 5х4-36х3+62х2-36х+5=0

в) х 4 + х 3 + х + 1 = 4х 2

г) х 4+2х3-х-2=0

Література

1. Н.Я. Віленкін та ін., Алгебра та початки аналізу 10 клас (поглиблене вивчення математики): Просвітництво, 2005.
2. У.І. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Рішення рівнянь найвищих ступенів: Волгоград, 2007.
3. С.Б. Гашков, Системи числення та їх застосування.

І т.д. носить загальноосвітній характер та має велике значеннядля вивчення ВСЬОГО курсу вищої математики. Сьогодні ми повторимо «шкільні» рівняння, але не просто «шкільні» – а ті з них, які повсюдно зустрічаються у різних завданнях вышмата. Як завжди, розповідь піде у прикладному ключі, тобто. я не загострюватиму увагу на визначеннях, класифікаціях, а поділюся з вами саме особистим досвідомрішення. Інформація призначена насамперед для початківців, але й більш підготовлені читачі теж знайдуть для себе чимало цікавих моментів. І, звичайно ж, буде новий матеріал, що виходить за рамки середньої школи.

Отже, рівняння…. Багато хто зі здриганням згадує це слово. Чого тільки стоять «наворочені» рівняння з корінням... …забудьте про нього! Тому що далі вам зустрічатимуться найнешкідливіші «представники» цього виду. Або занудні тригонометричні рівнянняіз десятками методів рішення. Якщо чесно, я і сам їх не дуже любив. Без паніки! - Далі на вас чекають переважно «кульбаби» з очевидним рішенням в 1-2 кроки. Хоча і «реп'ях», безумовно, чіпляється – тут треба бути об'єктивним.

Як не дивно, у вищій математиці набагато частіше доводиться мати справу з примітивними рівняннями на кшталт лінійногорівняння.

Що означає розв'язати це рівняння? Це означає знайти ТАКЕ значення «ікс» (корінь), яке звертає його в правильну рівність. Перекинемо «трійку» направо зі зміною знака:

і скинемо «двійку» у праву частину (або, те саме – помножимо обидві частини на) :

Для перевірки підставимо завойований трофей у вихідне рівняння:

Отримано правильну рівність, отже, знайдене значення справді є коренем даного рівняння. Або, як ще кажуть, задовольняє це рівняння.

Зверніть увагу, що корінь можна записати і у вигляді десяткового дробу:
І постарайтеся не дотримуватись цього поганого стилю! Причину я повторював неодноразово, зокрема, на першому ж уроці з вищій алгебрі.

До речі, рівняння можна вирішити і «арабською»:

І що найцікавіше – цей запис повністю легальний! Але якщо Ви не викладач, то так краще не робити, бо оригінальність тут карається =)

А тепер трохи про

графічний метод вирішення

Рівняння має вигляд та його корінь – є «іксова» координата точки перетину графіка лінійної функціїз графіком лінійної функції (віссю абсцис):

Здавалося б, приклад настільки елементарний, що розбирати тут більше нічого, проте з нього можна «вичавити» ще один несподіваний нюанс: представимо те саме рівняння у вигляді і побудуємо графіки функцій :

При цьому, будь ласка, не плутайте два поняття: рівняння - це рівняння, а функція– це функція! Функції лише допомагаютьзнайти коріння рівняння. Яких може бути два, три, чотири і навіть дуже багато. Найближчим прикладом у цьому сенсі є всім відомо квадратне рівняння, алгоритм вирішення якого удостоївся окремого пункту «гарячих» шкільних формул. І це невипадково! Якщо ви вмієте вирішувати квадратне рівняння та знаєте теорему Піфагора, то, можна сказати, «підлога вищої математики вже в кишені» =) Перебільшено, звичайно, але й не так далеко від істини!

А тому не полінимо і вирішуємо якесь квадратне рівняння по стандартного алгоритму:

, отже, рівняння має два різні дійснихкореня:

Легко переконатися, що обидва знайдені значення справді задовольняють даному рівнянню:

Що робити, якщо ви раптом забули алгоритм рішення, і під рукою немає коштів/рук допомоги? Така ситуація може виникнути, наприклад, на заліку чи іспиті. Використовуємо графічний метод! І тут є два шляхи: можна поточково побудуватипараболу , з'ясувавши тим, де вона перетинає вісь (якщо перетинає взагалі). Але краще вчинити хитріше: уявімо рівняння у вигляді, накреслимо графіки більш простих функцій - і «іксові» координатиїх точок перетину, як на долоні!


Якщо виявиться, що пряма стосується параболи, то рівняння має два збіглися (кратні) корені. Якщо виявиться, що пряма не перетинає параболу, значить, дійсних коренів немає.

Для цього, звичайно, треба вміти будувати графіки елементарних функцій, але з іншого боку ці вміння під силу навіть школяру.

І знову – рівняння – це рівняння, а функції – це функції, які лише допомогливирішити рівняння!

І тут, до речі, доречно згадатиме ще одну річ: якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на ненульове число, його коріння не зміняться.

Так, наприклад, рівняння має те ж саме коріння. Як найпростіший «доказ» винесу константу за дужки:
і безболісно її приберу (Поділю обидві частини на «мінус два»):

АЛЕ!Якщо ми розглядаємо функцію , то тут вже позбавлятися константи не можна! Допустимо хіба що винесення множника за дужки: .

Багато хто недооцінює графічний метод рішення, вважаючи його чимось «несолідним», а деякі взагалі забувають про таку можливість. І це дуже помилково, оскільки побудова графіків іноді просто рятує ситуацію!

Ще один приклад: припустимо, ви не пам'ятаєте коріння найпростішого тригонометричного рівняння: . Загальна формула є в шкільних підручниках, у всіх довідниках елементарної математикиале вони вам недоступні. Однак вирішити рівняння критично важливо (інакше «двійка»). Вихід є! - Будуємо графіки функцій:


потім спокійно записуємо «іксові» координати їх точок перетину:

Коренів нескінченно багато і в алгебрі прийнято їх згорнутий запис:
, де ( – безліч цілих чисел) .

І, не «відходячи від каси», кілька слів про графічний спосіб вирішення нерівностей з однією змінною. Принцип такий самий. Приміром, рішенням нерівності є будь-яке «ікс», т.к. синусоїда майже повністю лежить під прямою. Рішенням нерівності є безліч проміжків, на яких шматки синусоїди лежать строго вище прямої (осі абсцис):

або, якщо коротше:

А ось безліч розв'язків нерівності – порожньооскільки жодна точка синусоїди не лежить вище прямої.

Щось не зрозуміло? Терміново вивчати уроки про множинахі графіки функцій!

Розминаємось:

Завдання 1

Розв'язати графічно такі тригонометричні рівняння:

Відповіді наприкінці уроку

Як бачите, для вивчення точних наук зовсім не обов'язково зубрити формули та довідники! Більше того, це принципово порочний підхід.

Як я вже обнадіяв вас на початку уроку, складні тригонометричні рівняння в стандартному курсі вищої математики доводиться вирішувати вкрай рідко. Вся складність, як правило, закінчується рівняннями на кшталт , рішенням якого є дві групи коренів, що походять від найпростіших рівнянь і . З рішенням останнього сильно не парьтеся - подивіться в книжці або знайдіть в Інтернеті =)

Графічний спосіб рішення може допомогти і в менш очевидних випадках. Розглянемо, наприклад, наступне «різношерсте» рівняння:

Перспективи його вирішення виглядають ... взагалі ніяк не виглядають, проте варто тільки уявити рівняння у вигляді , побудувати графіки функційі все виявиться неймовірно просто. Креслення є в середині статті про нескінченно малих функціях (відкриється на сусідній вкладці).

Тим же графічним методомможна з'ясувати, що рівняння має вже два корені, причому один із них дорівнює нулю, а інший, судячи з усього, ірраціональнийі належить відрізку. Цей корінь можна обчислити приблизно, наприклад, методом дотичних. До речі, в деяких завданнях, буває, потрібно не знайти коріння, а з'ясувати, чи є вони взагалі. І тут теж може допомогти креслення – якщо графіки не перетинаються, то коріння немає.

Раціональне коріння багаточленів із цілими коефіцієнтами.
Схема Горнера

А тепер я пропоную вам обернути свій погляд у середні віки та відчути неповторну атмосферу класичної алгебри. Для кращого розуміння матеріалу рекомендую хоч трохи ознайомитись з комплексними числами.

Вони самі. Багаточлени.

Об'єктом нашого інтересу будуть найбільш поширені багаточлени виду з цілимикоефіцієнтами. Натуральне числоназивають ступенем багаточлена, число - коефіцієнтом при старшому ступені (або просто старшим коефіцієнтом), А коефіцієнт - вільним членом.

Цей многочлен я буду згорнуто позначати через .

Корінням багаточленаназивають коріння рівняння

Люблю залізну логіку =)

За прикладами сходимо на початок статті:

Зі знаходженням коренів багаточленів 1-го та 2-го ступенів немає жодних проблем, але в міру збільшення це завдання стає все важчим і важчим. Хоча з іншого боку – все цікавіше! І саме цьому буде присвячена друга частина уроку.

Спочатку буквально стать екрану теорії:

1) Відповідно до слідства основний теореми алгебрибагаточлен ступеня має рівно комплекснихкоріння. Деякі коріння (або навіть усі) можуть бути зокрема дійсними. При цьому серед дійсних коренів можуть зустрітися однакові (кратні) корені (мінімум два, максимум штук).

Якщо деяке комплексне число є коренем багаточлена, то й пов'язанейому число - теж обов'язково корінь цього багаточлена (сполучене комплексне коріння мають вигляд).

Найпростіший приклад– квадратне рівняння, яке вперше зустрілося у 8 (начебто)класі, і яке ми остаточно «добили» у темі комплексних чисел. Нагадую: квадратне рівняння має або два різних дійсних кореня, або кратне коріння, або сполучене комплексне коріння.

2) З теореми Безуслід, якщо число є коренем рівняння , то відповідний многочлен можна розкласти на множники:
, де - багаточлен ступеня.

І знову ж таки, наш старий приклад: оскільки - корінь рівняння, то. Після чого неважко отримати добре знайоме «шкільне» розкладання.

Наслідок теореми Безу має велику практичну цінність: якщо ми знаємо корінь рівняння 3-го ступеня, то можемо уявити його у вигляді і із квадратного рівняннялегко дізнатися решту коріння. Якщо нам відомий корінь рівняння 4-го ступеня, то є можливість розкласти ліву частину до твір і т.д.

І питання тут два:

Питання перше. Як знайти цей самий корінь? Насамперед, давайте визначимося з його природою: у багатьох завданнях вищої математики потрібно знайти раціональні, зокрема цілікоріння багаточленів, і в цьому зв'язку далі нас цікавитимуть переважно вони…. …вони такі гарні, такі пухнасті, що їх так і хочеться знайти! =)

Перше, що напрошується – метод підбору. Розглянемо, наприклад, рівняння . Загвоздка тут у вільному члені – ось якби він дорівнював нулю, то все було б в ажурі – виносимо «ікс» за дужки і коріння самі «вивалюються» на поверхню:

Але у нас вільний член дорівнює "трійці", і тому ми починаємо підставляти в рівняння різні числа, що претендують на звання "корінь". Насамперед, напрошується підстановка одиничних значень. Підставимо:

Отримано неправильнерівність, в такий спосіб, одиниця «не підійшла». Ну та гаразд, підставляємо:

Отримано вірнерівність! Тобто значення є коренем цього рівняння.

Для пошуку коренів многочлена 3-го ступеня існують аналітичний метод (Так звані формули Кардано)Але зараз нас цікавить дещо інше завдання.

Оскільки є корінь нашого багаточлена, то багаточлен можна уявити у вигляді і виникає Друге питання: Як знайти «молодшого побратима»?

Найпростіші міркування алгебри підказують, що для цього потрібно розділити на . Як поділити багаточлен на багаточлен? Тим же шкільним методом, Яким ділять звичайні числа - «стовпчиком»! Цей спосібя докладним чиномрозібрав у перших прикладах уроку Складні межі, і зараз ми розглянемо інший спосіб, який отримав назву схема Горнера.

Спочатку запишемо «старший» багаточлен з усіма , у тому числі нульовими коефіцієнтами:
, після чого занесемо ці коефіцієнти (строго по порядку) до верхній рядоктаблиці:

Зліва записуємо корінь:

Відразу зазначу, що схема Горнера працює і в тому випадку, якщо «червоне» число неє коренем багаточлена. Однак не поспішатимемо події.

Зносимо зверху старший коефіцієнт:

Процес заповнення нижніх осередків чимось нагадує вишивання, де мінус одиниця – це своєрідна голка, яка пронизує наступні кроки. «Знесене» число множимо на (–1) і додаємо до твору число з верхнього осередку:

Знайдене значення множимо на «червону голку» і до твору додаємо наступний коефіцієнт рівняння:

І, нарешті, отримане значення знову «обробляємо» «голкою» та верхнім коефіцієнтом:

Нуль в останньому осередку говорить нам про те, що багаточлен розділився на без залишку (як і має бути), при цьому коефіцієнти розкладання «знімаються» прямо з нижнього рядка таблиці:

Таким чином, від рівняння ми перейшли до рівносильного рівняння і з двома корінням, що залишилося, все ясно (в даному випадку виходить сполучене комплексне коріння).

Рівняння, до речі, можна вирішити і графічно: збудувати «блискавку» і побачити, що графік перетинає вісь абсцис () у точці. Або той же «хитрий» прийом – переписуємо рівняння у вигляді , креслимо елементарні графіки та детектуємо «іксову» координату їхньої точки перетину.

До речі, графік будь-якої функції-багаточлена 3-го ступеня перетинає вісь хоча б один раз, а отже, відповідне рівняння має щонайменшеодин дійснийкорінь. Даний факт справедливий для будь-якої функції-многочлена непарного ступеня.

І тут ще хочеться зупинитися на важливому моменті , Що стосується термінології: багаточлені функція-багаточлен – Це не одне і те ж! Але на практиці часто говорять, наприклад, про «графіку багаточлена», що, звичайно, недбалість.

Однак повернемося до схеми Горнера. Як я нещодавно згадав, ця схема працює і для інших чисел, але якщо число неє коренем рівняння , то нашій формулі з'являється ненульова добавка (залишок):

«Проженемо» за схемою Горнера «невдале» значення. При цьому зручно використовувати ту саму таблицю – записуємо зліва нову «голку», зносимо зверху старший коефіцієнт (ліва зелена стрілка) , І понеслося:

Для перевірки розкриємо дужки і наведемо такі складові:
, ОК.

Легко помітити, що залишок («шістка») – це точно значення многочлена при . І справді – що так:
, А ще приємніше - ось так:

З наведених викладок неважко зрозуміти, що схема Горнера дозволяє не тільки розкласти багаточлени на множники, але й здійснити «цивілізований» підбір кореня. Пропоную вам самостійно закріпити алгоритм обчислень невеликим завданням:

Завдання 2

Використовуючи схему Горнера, знайти цілий корінь рівняння та розкласти відповідний багаточлен на множники

Іншими словами, тут потрібно послідовно перевіряти числа 1, -1, 2, -2, ... - До тих пір, поки в останньому стовпці не «намалюється» нульовий залишок. Це означатиме, що «голка» даного рядка – корінь багаточлена

Обчислення зручно оформити у єдиній таблиці. Докладне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Спосіб підбору коренів хороший для відносно простих випадків, але якщо коефіцієнти та/або ступінь багаточлена великі, процес може затягнутися. А може бути якісь значення з того ж списку 1, -1, 2, -2 і розглядати сенсу немає? І, крім того, коріння може виявитися і дробовим, що призведе до зовсім не наукового тику.

На щастя, існують дві потужні теореми, які дозволяють значно скоротити перебір значень-«кандидатів» у раціональне коріння:

Теорема 1Розглянемо нескоротнудріб, де. Якщо число є коренем рівняння , то вільний член поділяється на , а старший коефіцієнт - на .

Зокрема, якщо старший коефіцієнт , цей раціональний корінь – цілий:

І ми починаємо експлуатувати теорему якраз із цієї смачної зокрема:

Повернімося до рівняння. Так як його старший коефіцієнт , то гіпотетичні раціональні коріння можуть бути виключно цілими, причому вільний член повинен обов'язково ділитися на це коріння без залишку. А «трійку» можна розділити лише на 1, –1, 3 та –3. Тобто у нас лише 4 «кандидати в корені». І, згідно Теоремі 1, інші раціональні числане можуть бути корінням цього рівняння в принципі.

У рівнянні «претендентів» трохи більше: вільний член ділиться на 1, –1, 2, – 2, 4 та –4.

Зауважте, що числа 1, –1 є «завсідниками» списку можливих коренів. (Очевидне наслідок теореми)і самим найкращим виборомдля першочергової перевірки.

Переходимо до більш змістовних прикладів:

Завдання 3

Рішення: оскільки старший коефіцієнт , то гіпотетичне раціональне коріння може бути тільки цілим, при цьому вони обов'язково повинні бути дільниками вільного члена. «Мінус сорок» ділиться на такі пари чисел:
- Разом 16 «кандидатів».

І тут відразу з'являється приваблива думка: а чи не можна відсіяти все негативне чи все позитивне коріння? У ряді випадків можна! Сформулюю дві ознаки:

1) Якщо всікоефіцієнти многочлена неотрицательны, він може мати позитивного коріння. На жаль, це не наш випадок (От якби нам було дано рівняння - тоді так, при підстановці будь-якого значення багаточлена строго позитивно, а значить, всі позитивні числа (Причому, і ірраціональні теж)не можуть бути корінням рівняння.

2) Якщо коефіцієнти при непарних ступенях невід'ємні, а за всіх парних ступенях (включаючи вільний член)– негативні, то многочлен не може мати негативного коріння. Це наш випадок! Трохи придивившись, можна помітити, що при підстановці рівняння будь-якого негативного «ікс» ліва частина буде суворо негативна, а значить, негативне коріння відпадає

Таким чином, для дослідження залишилося 8 чисел:

Послідовно заряджаємо їх за схемою Горнера. Сподіваюся, ви вже освоїли усні обчислення:

Успіх чекав нас при тестуванні «двійки». Таким чином – є корінь розглянутого рівняння, та

Залишилось досліджувати рівняння . Це легко зробити через дискримінант, але я проведу показову перевірку за тією самою схемою. По-перше, звернемо увагу, що вільний член дорівнює 20-ти, а отже, Теоремі 1зі списку можливих коренів випадають числа 8 і 40 і для дослідження залишаються значення (одиниця відсіялася за схемою Горнера).

Записуємо коефіцієнти тричлена у верхній рядок нової таблиці та починаємо перевірку з тієї ж «двійки». Чому? А тому що коріння може бути кратним, будь ласка: – це рівняння має 10 однакових коренів. Але не відволікаємось:

І тут, звичайно, я трохи злукавив, свідомо знаючи, що коріння раціональне. Адже якби вони були ірраціональними або комплексними, то мені світила б безуспішна перевірка всіх чисел, що залишилися. Тому на практиці керуйтесь дискримінантом.

Відповідь: раціональне коріння: 2, 4, 5

У розібраному завданні нам супроводжував успіх, тому що: а) відразу відвалилися від'ємні значенняі б) ми дуже швидко знайшли корінь (а теоретично могли перевірити і весь список).

Але насправді ситуація буває набагато гіршою. Запрошую вас до перегляду захоплюючої грипід назвою «Останній герой»:

Завдання 4

Знайти раціональне коріння рівняння

Рішення: по Теоремі 1чисельники гіпотетичних раціональних коренів повинні задовольняти умови (читаємо «дванадцять ділиться на ель»), А знаменники - умові. Виходячи з цього, отримуємо два списки:

"список ель":
та «список ем»: (Благо, тут числа натуральні).

Тепер складемо перелік усіх можливих коренів. Спочатку "список ель" ділимо на . Цілком зрозуміло, що вийдуть ті самі числа. Для зручності занесемо їх у таблицю:

Багато дробів скоротилися, внаслідок чого вийди значення, які вже є в «списку героїв». Додаємо тільки «новачків»:

Аналогічно - ділимо той же «список ель» на:

і, нарешті, на

Таким чином, команда учасників нашої гри укомплектована:


На жаль, багаточлен даної задачі не задовольняє «позитивну» або «негативну» ознаку, і тому ми не можемо відкинути верхній чи нижній рядок. Прийде працювати з усіма числами.

Як ваш настрій? Та гаразд, вище ніс – є ще одна теорема, яку можна образно назвати «теоремою-вбивцею». …«кандидатів», звичайно ж =)

Але спочатку потрібно прокрутити схему Горнера хоча б для одного цілогочисла. Традиційно візьмемо одиницю. У верхній рядок запишемо коефіцієнти многочлена і все як завжди:

Оскільки четвірка - це явно не нуль, то значення не є коренем багаточлена, що розглядається. Але вона нам дуже поможе.

Теорема 2Якщо за деякого ціломузначенні значення многочлена відмінно від нуля: , то його раціональне коріння (якщо вони є)задовольняють умові

У нашому випадку і тому все можливе коріння має задовольняти умові (назвемо його Умовою № 1). Ця четвірка і буде "кілером" багатьох "кандидатів". Як демонстрацію я розгляну кілька перевірок:

Перевіримо «кандидата». Для цього штучно представимо його у вигляді дробу, звідки добре видно, що . Обчислимо перевірочну різницю: . Чотири ділиться на «мінус два»: а отже, можливий корінь пройшов випробування.

Перевіримо значення. Тут і перевірна різниця становить: . Зрозуміло, і тому другий «випробуваний» теж залишається в списку.