Рівняння руху вільної атмосфери. Сили, які у атмосфері

Сили, що діють в атмосфері у стані рівноваги

СТАТИКА АТМОСФЕРИ

Система перебуває у рівновазі (спокої), якщо результуюча всіх сил, що діють систему дорівнює нулю.

Сили поділяються на масові та поверхневі.

Масовими силами, що діють на атмосферу в цілому і на її частині, є сила тяжіння і сила, що відхиляє обертання Землі (коріолісова сила).

Поверхневі сили, що діють в атмосфері, - це сила тиску та тертя.

Однак коріолісова сила і сила тертя з'являються лише під час руху атмосфери щодо Землі чи одних її частин щодо інших. Тому силами, що діють в атмосфері у стані спокою, є сила тяжіння та сила тиску.

Нехай атмосфера перебуває у стані спокою стосовно земної поверхні. Тоді горизонтальна складова градієнта тиску повинна обертатися в нуль (інакше повітря почне рухатися). Для цього необхідно і достатньо, щоб ізобаричні поверхні збігалися з рівними.

Виділимо в атмосфері дві ізобаричні поверхні, розташовані на висотах z та z + dz (рис.). Між ізобаричними поверхнями p p + dp виділимо об'єм повітря з горизонтальними основами 1 м 2 . На нижню основу діє сила тиску p, спрямоване знизу нагору; на верхнє – сила тиску p+dp, спрямована зверху донизу. Сили тиску, що діють на бічні грані виділеного об'єму, взаємно врівноважуються.

Рис. До висновку рівняння статики.

На цей обсяг діє сила тяжіння Р, спрямована по вертикалі вниз і рівна модулю

Спроектуємо усі сили на вісь z. Оскільки сума всіх сил дорівнює нулю, то сума цих проекцій дорівнює нулю:

Підставивши вираз сили тяжіння, отримаємо .

Розділивши на dz визначимо другий вид основного рівняння статики атмосфери:

Ліва частина є вертикальною складовою градієнта тиску, права - силу тяжкості, що діє на одиничний об'єм повітря. Таким чином, рівняння статики виражає рівновагу двох сил – градієнта тиску та сили тяжіння.

З рівняння статики можна зробити три важливі висновки:

1. Збільшенню висоти (dz>0) відповідає негативне збільшення тиску (dp>0), що означає зменшення тиску з висотою. Рівняння статики виконується з високою точністю у разі руху атмосфери.

2. Виділимо в атмосфері вертикальний стовп повітря з основою 1м2 та висотою від рівня z до верхньої межі атмосфери. Вага цього стовпа дорівнює. Проінтегрувавши обидві частини () в межах від z , де тиск р до , тиск дорівнює 0 (за визначенням верхньої межі), отримаємо: , або .

Таким чином, приходимо до другого визначення поняття тиску. Атмосферний тиск на кожному рівні дорівнює вазі стовпа повітря одиничного поперечного перерізуі висотою від рівня до верхньої межі атмосфери. Звідси зрозумілий фізичний сенс зменшення тиску з висотою.

3. Рівняння статики дозволяють зробити висновок про швидкість зменшення тиску з висотою. Зменшення тиску тим більше, чим більша щільність повітря та прискорення вільного падіння. Основну роль відіграє густина. Щільність повітря із збільшенням висоти падає. Чим вище розташований рівень, тим менше зменшення тиску.

Якщо точки розташовані на одній і тій же ізобаричній поверхні, то густина повітря залежатиме лише від температури в цих точках. У точці з нижчою температурою щільність вища. Це означає, що при підйомі на ту саму висоту зниження тиску в точці з вищою температурою менше, ніж у точці з нижчою температурою.

У холодній повітряній масі тиск з висотою зменшується швидше, ніж у теплій. Підтвердженням цього висновку є той факт, що на висотах (у середній та верхній тропосфері) у холодних повітряних масах переважає низький тиск, а у теплих – високий.

Оцінимо значення вертикального градієнта. За нормальних умов поблизу рівня моря r=1.29 кг/м3, g=9.81 м/с2. Підставивши ці значення (), знайдемо: G=12ю5 гПа/100м.

Сили, що діють в атмосфері поділяються на масові та поверхневі:

Масові чи об'ємні сили.

До масових сил відносяться ті сили, які діють на кожен елементарний об'єм повітря, і зазвичай розраховуються на одиницю маси. До них відносяться:

Сила тяжіння

Є векторною сумою двох сил: сили земного тяжіння, спрямованої до центру Землі, і відцентрової сили, що виникає через обертання Землі навколо своєї осі і спрямована по радіусу кола широти, що проходить через точку, що розглядається.

Сила Коріоліса

(відхиляюча сила обертання землі) пов'язана з обертанням Землі навколо своєї осі і діє на частинки повітря, що рухаються щодо Землі (на повітряні течії атмосфери). Сила Коріоліса виникає в результаті переносного обертального руху Землі та одночасного руху частинок повітря щодо земної поверхні.

Або .

де ω – кутова швидкістьобертання Землі.

Застосовуючи формули векторного аналізу, отримаємо складові сили Коріоліса по осях координат.

Поверхневі сили.

До поверхневих сил відносяться ті сили, які діють на поверхні шару повітря, що стикаються.

Сила тиску

(Сила баричного градієнта) виникає за рахунок нерівномірного розподілу тиску. Вектор сили баричного градієнта визначається співвідношенням

а його складові, віднесені до одиниці маси, по осях координат мають такий вигляд:

Сила тертя

Виникає під час руху повітря, коли різні його обсяги мають різну швидкістьруху. Якщо розглядати рух повітря, як рух в'язкої рідини, то при русі двох сусідніх шарів рідини з різними швидкостями, між ними розвиваються дотичні сили внутрішнього тертя (дотик), або сили в'язкості. Складові цієї сили по осях координат.

Особливості вияву сили тяжіння в атмосфері.

Сила тяжіння. Однією з масових сил є сила тяжіння, що діє на будь-яку як нерухому, так і на частинку повітря, що рухається щодо Землі.

Сила тяжіння g являє собою векторну суму двох сил: сили земного тяжіння g, спрямованої до центру Землі, і відцентрової сили з, що виникає від обертання Землі навколо своєї осі і спрямованої по радіусу широтного кола, що проходить через точку, що розглядається (рис). На малюнку неможливо витримати правильне співвідношення величин цих двох сил, оскільки відцентрова сила занадто мала тяжкості проти силою. Дійсно, величина відцентрового прискорення визначається: де - v 2 пер переносна швидкість, a rᵩ -відстань частки до земної осі.

Так як земля обертається навколо своєї осі з постійною кутовою швидкістю, де Т*- Добу, то на відстані rᵩвід осі переносна швидкість дорівнює w rᵩ,. Величина ж rᵩ, дорівнює rᵩ= r cosᵩ ( r- Відстань частки від центру землі). Враховуючи все це, формулу для відцентрового прискорення можемо написати так:

Де w 2 = 7297 10 -5 1/с - кутова швидкість обертання Землі; r- Відстань частки від центру землі, ᵩ - географічна широта.

Відцентрова сила здуже мала в порівнянні з силою земного тяжіння g, і з наближенням до полюса вона зменшується до нуля, а сила тяжкості g зі збільшенням широти збільшується.

Дія сили тяжіння визначає форму поверхні світового океану і великою мірою форму поверхні суші. Очевидно, що за відсутності морських течій поверхня моря має бути всюди перпендикулярна до напрямку сили тяжіння (інакше дотична складова сили тяжіння почне переміщати водні частки). Такі поверхні називається поверхнями рівня і приблизно являють собою еліпсоїди обертання, мала вісь яких збігається з віссю обертання землі.

Тензор пружної напруги. Зв'язок із в'язкістю.

Тензор напруг - тензор другого рангу, що складається з дев'яти величин, що становлять механічна напругау довільній точці навантаженого тіла. Ці дев'ять величин записуються як таблиці, у якій по головній діагоналі стоять нормальні напруженняу трьох взаємно перпендикулярних осях, а в інших позиціях - дотичні напруги, що діють на трьох взаємно перпендикулярних площинах.

Повний тензор механічного напруження елементарного об'єму тіла. Літерою σ позначено нормальну механічну напругу, а дотичну буквою τ.

Компоненти тензора напруги в декартовій системі координат (тобто ) вводять наступним чином. Розглядають нескінченно малий обсяг тіла (суцільного середовища) у вигляді прямокутного паралелепіпеда, грані якого ортогональні координатним осям і мають площі . На кожній грані паралелепіпеда діють поверхневі сили. Якщо позначити проекції цих сил на осі як , то компонентами тензора напруги називають ставлення проекцій сили до величини площі грані, на якій діє ця сила:

За індексом тут підсумовування немає. Компоненти , , , що позначаються також як , , - це нормальні напруги, вони є відношенням проекції сили на нормаль до розглянутої грані :

Компоненти , , , що позначаються також як , , - це дотичні напруги, вони є відношенням проекції сили на дотичні напрямки до грані :

В разі лінійної теоріїпружності тензор напруг симетричний (так званий закон парності дотичних напруг).

Ур-ня нерозривності.

Рівняння нерозривності, часто зване також рівнянням суцільності, є приватну форму загального закону збереження маси, встановленого Ломоносовим, спеціалізовану для випадку суцільного середовища.

Розглянемо елементарну масу рідини δm, що заповнює обсяг δτ . Якщо простежити рух частинок рідини, що становлять цей рідкий об'єм, то незмінність маси можна виразити співвідношенням
(1)

Так як
, то з (1) випливає, що
(2)

Підставляючи цей вираз (2) і скорочуючи на δτ, отримуємо рівняння нерозривності

Можна перекласти рівняння нерозривності також до іншої форми, зручнішою для подальших висновків. Для цього розкриємо вираз для індивідуальної похідної від щільності та для дивергенції швидкості

Ця форма рівняння нерозривності найчастіше використовується у метеорологічних дослідженнях.

Для несжимаемой рідини , і рівняння (4) набуває вигляду

У сповідливості цього співвідношення можна переконатися також безпосередньо, згадуючи фізичне значення дивергенції швидкості.

Наведемо ще вираз для рівняння нерозривності у сферичній системі координат (для виведення якого достатньо висловити у цих координатах)

13 Турбулентність у атмосфері. Зміни у рівняннях

Внаслідок нерівномірності розподілу тиску в атмосфері її повітряні маси переміщуються в горизонтальному напрямку, викликаючи вітер.

Швидкість вітру та його напрямок безперервно змінюються. Середні значення швидкості вітру становлять 5-10 м/с, але можуть сягати 50 м/с і більше. У верхніх шарах атмосфери у струменевих течіях швидкість вітру може перевищувати 100 м/с.

Переміщення повітря в атмосфері має турбулентний характер. Сутність явища турбулентності у тому, що у масі повітря, що у русі, утворюються вихрові потоки. Ці вихори викликають хаотичні коливання показників рухомих мас повітря, тобто. їх швидкості, напряму, температури, тиску та щільності. Одним із джерел виникнення турбулентності є відмінність швидкостей вітру в суміжних шарах. Особливо велика турбулентність у нижніх шарах тропосфери: у приземному шарі висотою 50-100м і в шарі тертя, що тягнеться до висоти 1000-1500м. Турбулентність, що викликається різницею швидкостей у суміжних шарах, називається динамічною.

Крім горизонтальних переміщень повітряних мас, в атмосфері є і вертикальні переміщення. Швидкості вертикальних переміщень значно нижчі від горизонтальних. За звичайних умов вертикальні переміщення вимірюються в сантиметрах на секунду. Розвиток цих переміщень пов'язане з наявністю архімедової чи гідростатичної сили. Повітря, тепліше біля земної поверхні і, отже, менш щільне, ніж навколишнє середовище, переміщається вгору, а холодніше опускається на його місце.

Вертикальні рухи повітря називаються конвекцією. При слабкому розвитку конвекція має безладний турбулентний характер. При розвиненій конвекції, над окремими ділянками розігрітої земної поверхні виникають потужні висхідні та низхідні струми повітря, що досягають стратосфери. Східні потоки зазвичай менш інтенсивні, але охоплюють набагато більші площі.

Турбулентне перемішування в десятки та тисячі разів перевищує молекулярне перемішування або молекулярну дифузію.

Турбулентна дифузія призводить до поширення в атмосфері тепла та вологи у вертикальному напрямку. Наслідком турбулентності є перенесення кількості руху згори донизу, що призводить до деякого вирівнювання розподілу швидкості вітру по висоті. Кількість руху визначається виразом

Де m – маса повітря, v – швидкість руху цієї маси.

Оскільки у вищих шарах атмосфери швидкість вітру більша, ніж поблизу земної поверхні, то при перемішуванні маси повітря, що мають вищі швидкості, переміщуються на нижні рівні, в результаті чого виникає турбулентне тертя.

Крім основних компонентів у складі повітря входять змінні частини: водяна пара, двоокис вуглецю, озон, і навіть різні домішки, тобто. дрібні тверді та рідкі частинки, звані, аерозолями. Кількість будь-якої субстанції характеризується її питомим змістом s, тобто. масовою часткою субстанції.

У процесі турбулентного обміну повітря будь-яка субстанція поширюється у тому напрямі, де вона убуває. Зміна субстанції на одиницю відстані називається її градієнтом. В атмосфері спад субстанції зазвичай спостерігається в напрямку знизу вгору.

Кількісною характеристикою турбулентного обміну потік субстанції, тобто. кількість субстанції, яка переноситься через одиницю площі в одиницю часу.

Відповідно до теорії, переносима в процесі турбулентного обміну субстанція повинна задовольняти наступним умовам.

1.Кількість субстанції в індивідуальній частинці повітря в процесі її руху, доки вона не змішалася з навколишнім повітрям, повинна зберігатися незмінною.

2.При змішуванні двох мас повітря має зберігатися загальна кількість субстанції.

3.Субстанция має бути пасивною домішкою, тобто. не впливати на турбулентний рух.

За дотримання цих умов потік субстанції пропорційний градієнту масової часткисубстанції. У разі перенесення субстанції по вертикалі її потік може бути виражений формулою Sв= -А* dS/dZ , де Sв - вертикальне перенесення субстанції, -dS/dZ -вертикальний градієнт субстанції, А - коефіцієнт турбулентного обміну, що залежить від атмосферних умов і характеру підстилаючої поверхні.

Турбулентне перенесення тепла в атмосфері має більш складний характер. Внаслідок стисливості повітря і безперервно що відбуваються в його товщі адіабатичних змін його температури, про напрям перенесення тепла не можна судити за напрямом градієнта температури. При сухоадіабатичному процесі характеристикою теплового стану повітряної маси, що зберігається, є її потенційна температура.

14. Скалярні, векторні, тензорні величини

Скалярна величина(від латів. scalaris - ступінчастий) у фізиці - величина, кожне значення якої може бути виражене одним дійсним числом. Тобто скалярна величина визначається лише своїм значенням, на відміну від вектора, який, крім значення, має напрямок. До скалярних величин відносяться довжина, площа, час, температура тощо.

Векторна величина- величина називається вектором (векторної), якщо вона визначається двома елементами різної природи: алгебраїчним елементом - числом, що показує довжину вектора і є скаляром, і геометричним елементом, що вказує напрямок вектора.

Позначаються векторні величини відповідними літерами зі стрілкою вгорі або виділяються жирним шрифтом. Приклади векторних фізичних величин:

сила; швидкість; імпульс.

Вектори зображують спрямованими відрізками. Початком вектора називають ту точку, звідки починається спрямований відрізок (точка А на рис. 1), кінцем вектора – точку, у якій закінчується стрілка (точка B на рис. 1).

Тензорні величини- об'єкти лінійної алгебри, що лінійно перетворюють елементи одного лінійного просторуелементи іншого. Окремими випадками тензорів є скаляри, вектори, білінійні форми тощо. Термін "тензор" також часто служить скороченням для терміну "тензорне поле", вивченням яких займається тензорне обчислення. Багато тензорні величини, ранг тензора яких дорівнює 2 визначаються рівнянням виду, де - дві векторні фізичні величини, пов'язані перетворенням. Приклади: тензор інерції; тензор ефективної маси; тензор діелектричної проникності.

15. Теорія подоби. Масштаб.

Вчення про дослідження фізич. явищ, заснований на понятті про физич. подобі. Два фізичні. явища подібні, якщо але чисельним значенням характеристик одного явища можна отримати чисельні значення характеристик іншого явища простим перерахунком, який аналогічний переходу від однієї системи одиниць виміру до іншої. Для будь-якої сукупності подібних явищ усі відповідні безрозмірні характеристики (безрозмірні комбінації з розмірних величин) мають однакове чисельне значення. Зворотний висновок теж вірно, т. е. якщо всі відповідні безрозмірні характеристики для двох явищ однакові, ці явища фізично подібні.

Аналіз розмірностей та П. т. тісно пов'язані між собою та покладено в основу експериментів з моделями. У таких експериментах здійснюються заміни вивчення деякого явища в натурі вивченням аналогічного явища на моделі меншого або більшого масштабу (зазвичай у спеціальних лабораторних умовах).

Після встановлення системи параметрів, що визначають виділений клас явищ, встановлюються умови подібності до двох явищ. Саме, нехай явище визначається пнезалежними параметрами, деякі з яких можуть бути безрозмірними. Нехай, далі, розмірності визначальних змінних та фізичних. постійних виражені через розмірності kз цих параметрів з незалежними розмірностями (). Тоді з n величин можна скласти лише n-kнезалежних безрозмірних комбінацій. Усі шукані безрозмірні характеристики явища можна як функції від цих п-k незалежнихбезрозмірних комбінацій, складених із визначальних параметрів. Серед усіх безрозмірних величин, складених з визначальних характеристик явища, завжди можна вказати нек-ру базу, тобто систему безрозмірних величин, які визначають собою всі інші.

Визначений відповідною постановкою завдання клас явищ містить явища, які взагалі не подібні між собою. Виділення з нього підкласу подібних явищ здійснюється за допомогою наступної умови.

Для двох явищ необхідно і достатньо, щоб чисельні значення безрозмірних комбінацій, складених з повного переліку визначальних параметрів, що утворюють базу, в цих двох явищах були однакові. Умови про сталість бази абстрактних параметрів, складених із заданих величин, що визначають явище, зв. критеріями подоби. У гідродинаміці найважливішими критеріями подібності є Рейнольдса число, що характеризує співвідношення між інерційними силами і силами в'язкості, Маха число, що враховує стисливість газу, і Фруда число, що характеризує співвідношення між інерційними силами і силами тяжіння. Основними критеріями подібності процесів теплопередачі між рідиною (газом) і тілом, що обтікається, є: Прандтля число, що характеризує термодинамічні. стан середовища; Нуссельта число, що характеризує інтенсивність конвективного теплообміну між поверхнею тіла та потоком рідини (газу); Пекло число, що характеризує співвідношення між конвективним і молекулярним процесами перенесення тепла рідини; Стентона число, що характеризує інтенсивність дисипації енергії у потоці рідини чи газу. Для розподілу, тепла в твердому тілі критеріями подібності є Фур'є число, що характеризує швидкість зміни теплових умов навколишньому середовищіі швидкість перебудови поля температури всередині тіла, і число Біо, що визначає характер відповідності між температурними умовами середовища і розподілом температури всередині тіла. У процесах, що змінюються з часом, основними критеріями подібності, що характеризують однакову перебіг процесів у часі, є критерії гомохронності. У завданнях аерогідромеханіки цей критерій зв. Струхаля числом. Критерієм подібності механіч. руху є Ньютона число. При вивченні пружних деформацій критерієм подібності коефіцієнт Пуассона. Якщо умови подібності виконані, то для фактич. розрахунку всіх характеристик у натурі за даними про розмірні характеристики на моделі необхідно знати перехідні масштаби всім відповідних величин. Якщо явище визначається ппараметрами, з яких брало k мають незалежні розмірності, то для величин з незалежними розмірностями перехідні масштаби можуть бути довільними і їх потрібно задати з урахуванням умов завдання, а при експериментах - і з урахуванням умов досвіду. Перехідні масштаби для всіх інших розмірних величин виходять з формул, що виражають розмірності кожної розмірної величини через розмірності kвеличин з незалежними розмірностями, для яких масштаби підказані умовами досвіду і постановки завдання.

Напр., в задачі про обтікання тіла, що встановилося, несжимаемой в'язкою рідиною всі безрозмірні величини, що характеризують рух в цілому, визначаються трьома параметрами: кутами a, b (напрямок поступальної швидкості тіла щодо його поверхні) і числом Рейнольдса R. Умови физич. подоби - критерії подібності - видаються співвідношеннями:

Число гомохронності. Приклад застосування

Критерії подібності – безрозмірні числа, складені з розмірних фіз. величин, що визначають аналізоване фіз. явище. Будь-яка фіз. величина являє собою добуток чисельного значення на одиницю виміру і, тобто завжди залежить від вибору системи одиниць виміру. Значення критерію подібності від одиниць виміру не залежать. Рівність всіх однотипних критеріїв для двох фіз. явищ (процесів) або систем - необхідна та достатня умова фіз. подоби цих систем.

Число гомохронності характеризує нестаціонарність процесу руху та його використовують при вивченні теплообміну в нестаціонарних (наприклад, пульсуючих) потоках. Число Ейлера визначає подібність полів тиску. У деяких системах це число є однозначною функцією числа Рейнольдса.

VT/L=Але де V-характерна швидкість, Т-характерний час зміни процесу, L-характерний лінійний розмір.

Число Струхала- приватний виглядкритерію гомохронності, що застосовується в гідроаеромеханіці.

Число гомохронності Але й число Фур'є Fo є визначальними критеріями для нестаціонарних процесів. Число, або критерій Фур'є - один із критеріїв подібності нестаціонарних теплових процесів. Характеризує співвідношення між швидкістю зміни теплових умов у навколишньому середовищі і швидкістю перебудови поля температури всередині системи, що розглядається (тіла), який залежить від розмірів тіла та коефіцієнта його температуропровідності:

де а = l/rc - коефіцієнт температуропровідності, (l - коефіцієнт теплопровідності, r - густина, с - питома теплоємність), l - характерний лінійний розмір тіла, t0 - характерний час зміни зовнішніх умов.

Оскільки критерії, встановлюють зв'язок між швидкостями розвитку різних ефектів, називаються критеріями гомохронності, число Фур'є критерієм гомохронності теплових процесів, тобто. пов'язує часи різних ефектів.

Число Фруда. Приклад застосування

Число Фруда (), або критерій Фруда, - один з критеріїв подібності руху рідин і газів, є безрозмірною величиною. Застосовується у випадках, коли суттєво вплив зовнішніх сил. Введено Вільямом Фрудом у 1870 році.

Число Фруда в гідродинаміці

Число Фруда характеризує співвідношення між силою інерції та зовнішньою силою, в полі якої відбувається рух, що діють на елементарний об'єм рідини або газу:

де v-характерний масштаб швидкості, g-прискорення, що характеризує дію зовнішньої сили, L- характерний розмір області, в якій розглядається перебіг.

Наприклад, якщо розглядається перебіг рідини в трубі у полі сили тяжіння, то під величиною g розуміється прискорення вільного падіння, під величиною v - швидкість течії, а за L можна прийняти довжину труби або її діаметр.

У суднобудуванні використовується інша версія числа Фруда - корінь із зазначеного вище гідродинамічного числа Фруда.

Число Фруда дозволяє порівнювати умови хвилеутворення для судів різного розміру. Для великих водовиміщуючих суден число Фруда зазвичай дорівнює 0,2-0,3, а малих глиссирующих суден воно, зазвичай, перевищує 1, але зазвичай вибирається з діапазону 2-3.

Також Число Фруда застосовують при моделюванні течій води у відкритих руслах та випробуваннях моделей гідротехнічних споруд.

Число Фруда в теплопередачі

У теплопередачі критерій Фруда також характеризує співвідношення між силою інерції та силою тяжіння, але виражається інакше:

g - прискорення вільного падіння,

l-визначальний (характерний) розмір,

w- швидкість потоку рідини чи газу.

Чим більше число Frтим менше вплив сили тяжіння на властивості руху.

L(10 2 – 2·10 6 м) та швидкості V g v= 1,5*10 -5 м2/с, для критеріїв подібності отримуємо наступні значення верхньої та нижньої меж можливих значень числа Фруда:

Верхня межа 50 2 / 10 * 10 22 = 2,5

Нижня межа 10/2 * 7 * 10 -5 * 2 * 10 6 = 4 * 10 -2

Число відхилення від геострофічності. Приклад застосування

V-характерна швидкість, L-характерний розмір, ω-кутова швидкість

Чим більша кількість Deтим менше впливає на рух відхиляюча сила обертання

При великих значеннях числа Deна властивості руху великий впливнадають си-

ли інерції, що визначаються конвективним членом в рівняннях руху.

Враховуючи інтервали зміни довжини L(10 2 – 2·10 6 м) та швидкості V(10 - 50 м/с) та наближено приймаючи g≈ 10 м/с 2 , ω =7*10 -5 1/с v= 1,5*10 -5 м2/с, для критеріїв подібності отримуємо наступні значення верхньої та нижньої меж можливих значень:

Верхнього краю 50/2*7*10 -5 *10 2 =4*10 3

Нижнього краю 10 * 10 2 / 1,5 * 10 -5 = 7 * 10 7

Число Ейлера. Приклад застосування

Число Ейлера (Eu) - безрозмірний коефіцієнт, що має місце в рівняннях Навье - Стокса, що описує відношення між силами тиску на одиничний об'єм рідини (або газу) та інерційними силами.

де ρ- щільність, Δр-перепад тиску, що витрачається на подолання гідравлічного опору, v-швидкість.

Число Рейнольдса. Приклад застосування.

Число Рейнольдса– один із критеріїв подібності (безрозмірні величини, що характеризують співвідношення різних сил, що діють у рідині (газі).

Число Рейнольдса використовується в динаміці до звукових потоків (потоків зі скор. меншими скор. звуку) і визначається за ф-ле де U – швидкість потоку, L – характерний лінійний розмір теч. (в якості такого може виступати як верт. розмір Н, так і гориз. розмір L в залежності від специфіки течії, що розглядається, і необхідності поділу лінійних розмірівпо вертикалі та горизонталі), v m - кінематична в'язкість рідини (традиційно (при розгляді ламінарних течій) під цією величиною розуміють молекулярну в'язкість, але в метеорології, де вивчаються турбулізовані течії, під нею найчастіше мають на увазі «турбулентний» аналог ) . Число Рейнольдса (названо на честь англ. фізика Осборна Рейнольдса) характеризує відношення між силами інерції та силами тертя в потоці рідини. Дуже часто використовуються інші формулювання числа Рейнольдса, наприклад, де - різницю швидкості потоку на межах аналізованої області, - градієнт

швидкості в шарі рідини, що розглядається. Найчастіше число Рейнольдса використовується

щодо закономірностей руху рідин і газів у каналах без обертання.

Чим більше Re, тим менше впливає властивості руху сила в'язкості.

Значення числа Рейнольдса, за кіт. ламінарний потік змінюється турбулентним, називають критичним числом Рейнольдса. Якщо , то перебіг відбувається в ламінарному режимі, а якщо , то можливе виникнення турбулентності. Фізично це означає, що сили тертя при зростанні сил інерції не в змозі підтримувати динамічну рівновагу, властиву ламінарному потоку, і воно змінюється новою формою динамічної рівноваги при кіт. структура течій стає залежною від часу.

Число Re застосовується у гідравліці (напр., обчислення гідравлічного радіусу труб та каналів).

21. Визначальні та внутрішньо зумовлені критерії. приклади.

Критерії подібності поділяються на 2 групи:

а) Критерії подібності, що містять, що визначають параметри, тобто зовні зумовлені характерні величини та фізичні константи. Фізичними константами рідини є характерна щільність та кінематичний коефіцієнт в'язкості. Кутова швидкість обертання Землі та прискорення сили тяжіння також відносяться до визначальних параметрів.

Наявність цих критеріїв накладає додаткові умови зовні зумовлені величини. Дійсно, рухи будуть подібні лише тоді, коли зовні зумовлені величини задовольняють одночасно критеріям, утвореним із рівнянь руху та з крайових умов. Інакше висловлюючись, кожен такий критерій обмежує можливість здійснення подібності рухів і, таким чином, визначальним.

б) Критерії подібності, що містять хоча б одну із внутрішньо обумовлених величин, явл. невизначальними. Якщо здійснено всі ум. подібності, що випливають із визначальних критеріїв та крайових умов, то ці критерії обов'язково виконуються для всього класу подібних рухів.

Т. о., коли відповідне безрозмірне число визначено для якогось одного випадку, то невизначальний критерій є співвідношенням, що пов'язує характерні значення.

При обчисленні числа визначальних критеріїв необхідно дотримуватися одного важливе правило– критерії мають бути приведені до такої форми, щоб кожна внутрішньо обумовлена ​​величина зустрічалася лише одному з них. Очевидно, що це завжди може бути досягнуто шляхом перемноження або поділу критеріїв, утрим. ту саму внутрішньо обумовлену величину. Якщо це правило не дотримано, то жодних висновків про те, які критерії явл. визначальними, звісно, ​​зробити не можна.

Для пояснення визнач. та невизнач. критеріїв подібності розберемо деякі питання, пов'язані з моделюванням обтікання гірського масивуповітряним потоком, що встановився. Направимо вісь хза напрямом непорушного потоку, вісь zпо вертикалі, і нехай далеко від масиву u=u(z), v=0, w=0. Висоту перешкоди в пункті з координатами х, описуємо ур-ням z = h (x, y)при х>0.

Тоді умова «прилипання» запишеться у вигляді:

З цих крайових умов випливає, що при моделюванні руху необх. відтворити в деяких певних співвідношеннях профіль гірського масиву

і набігає на перешкоду потік, тобто. величини L і V дано. у разі явл. зовні зумовленими.

Звідси випливає, що з 5 безрозмірних критеріїв подібності визначальними будуть три збіг чисел Фруда, Рейнольдса і відхилення вітру від геострофічного.

Якщо, наприклад, задати певний характерний розмір моделі, співвідношення L 1 /L 2 з'явиться відомою величиною, то визначальними критеріями будуть ті самі три числа – Fr, Re, De. Збіг чисел Але буде виконуватися автоматично, тому що в разі руху період період дорівнює нескінченності, то ніяких нових висновків звідси зробити не можна.

Збіг же чисел Еu у цьому випадку призводить до дуже важливого результату. Якщо визначити з досвіду різницю тиску між двома якимись точками моделі, то різницю тиску у відповідних точках при природному обтіканні може бути знайдено зі співвідношення

Отже, невизначальний критерій пропонує правила перерахунку результатів досвіду на натуру. Необхідно відзначити, що таке співвідношення критеріїв, коли Fг, Rе, Dе явлю визначальними, а Але і Еu невизначальними критеріями, має місце в багатьох зад. гідромеханіки. Однак у ряді метеорологічних завдань величина L виявляється не зовні, а внутрішньо обумовленим розміром. Це призводить до корінної зміни визначальних критеріїв подібності.

Скалярський витвір векторів. Приклад у д. метеорології.

Скалярний твір- операція над двома векторами, результатом якої є число (скаляр), що не залежить від системи координат і характеризує довжини векторів-множників і кут між ними. Даної операції відповідає множення довжиниданого вектора ана проекціюіншого вектора bна даний вектор а.

Векторний витвір векторів. Приклад динама. Метеорології

Якщо визначення фіз величини. Крім чисельного значення, необхідно вказати напрямок у просторі, то такі величини називають векторами.

Векторним твором АхВ двох векторів називається вектор С = А*В (рис.), спрямований перпендикулярно до площини векторів-співмножників у той бік, звідки поворот від першого співмножника до другого на менший кут проти ходу годинникової стрілки і рівний за величиною площі паралелограма, побудованого на цих векторах, тобто. |C|=|A*B|=ABsin(A,B)

Векторний добуток векторів визначається такими умовами:

1). Модуль вектора | дорівнює ABsin(A,B), де (A,B) - кут між векторами A та B;

2). Вектор | C | перпендикулярний кожному з векторів A та B;

3). Напрямок вектора |З| відповідає «правилу правої руки». Це означає, що якщо вектори A, B і || наведено до спільному початку, то вектор | З | повинен бути спрямований так, як спрямований середній палець правої руки, великий палець якої направлений по першому співмножнику (тобто вектор A), а вказівний - по другому (тобто вектор B).

Векторний твір залежить від порядку співмножників, а саме: .

Необхідна та достатня умова паралельності векторів має вигляд: А * В = 0.

Якщо система координатних осей права та вектори А та В задані в цій системі своїми координатами:

, ,

то векторний добуток вектора А на вектор визначається формулою

Або С=А*В=(A 1 i 1 +A 2 i 2 +A 3 i 3)*(B 1 i 1 +B 2 i 2 +B 3 i 3)=i 1 (A 2 B 3 -A 3 B 2)+i 2 (A 3 B 1 -A 1 B 3)+i 3 (A 1 B 2 -A 2 B 1)

Приклад у динамічній метеорології:

Такі вектори, напрям яких встановлюється угодою і які змінюють свій напрям при заміні правої системи координат на ліву, називаються аксіальними, наприклад, момент сили і кутова швидкість. Вектори, напрямок яких визначається фізичним змістом і які не змінюють свого напрямку при зміні системи координат, називають полярними, наприклад, сила і швидкість.

24. Концепція тензора. Приклад динама. Метеорології

Те́нзор(Від лат. tensus, «Напружений») - об'єкт лінійної алгебри, що лінійно перетворює елементи одного лінійного простору в елементи іншого. Окремими випадками тензорів є скаляри, вектори, білінійні форми тощо.

Скаляр або тензор нульового рангу фізична величина, що повністю визначається в будь-якій координатній системі одним числом (або функцією), яке не змінюється при зміні просторової системи координат. Скаляр має одну компоненту.

Таким чином, якщо ф - значення скаляра в одній системі координат, а ф - в іншій, то ф = ф.

Сили, які у атмосфері, можна розглядати із двох позицій. По-перше, можна розглядати сили, під впливом яких виникає в атмосфері рух (рушійні), та сили, супутні руху.

До рушійним силамвідноситься сила тяжіння та сила баричного градієнта. Супроводжують руху відхиляюча сила обертання Землі (сила Коріоліса), сила тертя, а при криволінійних траєкторіях - відцентрова.

По-друге, сили, що діють в атмосфері, можна поділити на масові та поверхневі. Масові сили діють на кожен елемент маси об'єму повітря, що розглядається. До масових відносяться сила тяжіння, що відхиляє сила обертання Землі та відцентрова. До поверхневих сил - сила баричного градієнта та сила тертя.

Сила тертя в будь-якій рідині або газі характеризується в'язкістю, або внутрішнім тертям, відрізняючись за своєю сутністю від сил тертя, що виникають між двома твердими тілами, де вони є в прямому значенні поверхневими.

В атмосфері, як у будь-якому газовому середовищі, що має в'язкість, сила молекулярного і турбулентного тертя охоплює деякий кінцевий шар повітряної маси, що переміщається по вертикалі терміка, а при горизонтальних рухах - окремі елементи газового середовища, що рухаються з різними швидкостями.

Земна поверхня з позицій гідроаеродинаміки може розглядатися як нерухома стінка, у якої відповідно до класичних уявлень швидкість повинна звертатися в нуль (умова прилипання). Структура приземного та планетарного прикордонного шару в атмосфері формується під домінуючим впливом в'язких сил тертя. Оскільки планетарний прикордонний шар в атмосфері тягнеться від земної поверхні до висоти близько кілометра, зрозумілою є певна умовність віднесення сили тертя в атмосфері до поверхневих. Хоча порівняно з усією атмосферою товщина планетарного прикордонного шару на три порядки менша.

Розглянемо сили, що діють в атмосфері.

Сила тяжіння - це різниця нормальних складових сили гравітаційного тяжіння до центру Землі Е і відцентрової сили З, спрямованої по радіусу-вектору обертання Землі. Сила тяжіння збігається з напрямком схилу в будь-якій точці земної поверхні.

Земля є складним геометричним тілом. Крім того, в її структурі зустрічаються неоднорідності щільності речовини, що утворює Земну кулю.[ ...]

Прискорення сили тяжіння змінюється під впливом сплющеності Землі та різної лінійної швидкості обертання точок поверхні на різних географічних широтах. Прискорення сили тяжіння є функцією географічної широти і збільшується від екватора до полюса. Різниця значень прискорення на полюсі та на екваторі становить близько 0,52% від його середнього значення на широті 45°. Крім того, сила тяжіння залежить від відстані точки до центру Землі, яку можна характеризувати висотою над рівнем моря. Стосовно вирішення багатьох завдань метеорології цими змінами можна знехтувати. Так, при віддаленні від рівня моря до висоти 30 км. прискорення сили тяжіння зменшується в межах 1%.

Питання №21. Геострофічний вітер. Баричний закон вітруВітер-рух повітря щодо земної поверхні. Градієнтний вітер-установився рух повітря за відсутності сили тертя (на висотах більше 1000-1500м). прямолінійним. Геострофічний вітер - градієнтний вітер, що дме вздовж прямолінійних ізобар. Швидкість геостр. Зі збільшенням широти при незмінному градієнті і щільності повітря швидкість геостр. вітру зменшується. На екваторі поняття "геостр. вітер" втрачає сенс,т. Зростає з висотою. Градієнтний вітер, що дме вздовж кругових ізобар, називається геоциклострофічним.

Запитання №22. Сила тертя у атмосфері. Шар тертя. Швидкість та напрямок вітру у шарі тертя. Сила тертягальмує рух повітря. Вона складається з сили зовнішнього тертя, пов'язаної з дією земної поверхні, що гальмує, і з сили внутрішнього тертя, пов'язаного з молекулярною і турбулентною в'язкістю повітря. Сила зовнішнього тертя гальмує рух, не змінюючи напряму. Вона спрямована у бік, протилежний руху, і пропорційна його швидкості. Сила внутрішнього тертя не збігається із напрямом сили зовнішнього тертя. Загальна сила тертя земної поверхні є векторна сума сил зовнішнього і внутрішнього тертя, відхилена вліво на деякий кут. Загальна сила тертя зменшується з висотою, оскільки посилюється турбулентність і вплив зовнішнього тертя.

Шар атмосфери, в якому помітно вплив тертя, називається шаром тертяа висота, до якої поширюється це явище- рівень тертя. На рівні тертя вітер близький до ізобари. Якщо напрям ізобар з висотою швидко змінюється, виявляється ліве обертання вітру у шарі тертя (або незмінність вітру з висотою). Швидкість вітру у шарі тертя зростає з висотою. Вимірювання швидкості та напрямки вітру з висотою можна представити кривою, що з'єднує кінці векторів, що зображують вітер на різних висотах і відкладені від однієї точки.

Vo-швидкість вітру, Vg - швидкість вітру на рівні тертя

Спіраль Екмана.

У шарі тертя виявляється добовий перебіг швидкості вітру. У земної поверхні над сушею спостерігається максимум швидкості вітру о 14 годині. Вночі та вранці – мінімум.

Питання № 23. Відмінності в тепловому режимі ґрунтів та водойм: основні механізми теплообміну. Нагрівання та теплові особливостіповерхневих шарів ґрунту та верхніх шарів водних басейнів суттєво різні, оскільки у ґрунті тепло поширюється по вертикалі за допомогою механізму молекулярної теплопровідності, а у воді – шляхом турбулентного перемішування водних шарів, набагато більш ефективного. Радіація глибше проникає у воду порівняно з ґрунтом і теплоємність води значно більша, ніж ґрунту, і одне й те ж кількість тепла нагріває масу води до меншої температури, ніж таку ж масу ґрунту. Тому добові коливання темп-ри у питній воді поширюються на глибину порядку десятків метрів, а грунті - менше 1 м. Річні коливання темп-ры у питній воді поширюються на глибину сотень метрів, а грунті – лише з 10-20м.

Тепло, що приходить вдень і влітку на поверхню води, проникає до значної глибини та нагріває велику товщу води. Температура верхнього шару і самої поверхні води підвищується при цьому мало. У грунті тепло розподіляється в тонкому верхньому шарі, який сильно нагрівається.

Вночі та взимку вода втрачає тепло з поверхневого шару, але натомість його приходить накопичене тепло з нижчих шарів. Тому температура на поверхні води знижується повільно. На поверхні грунту температура при віддачі тепла падає швидко: тепло накопичено в тонкому верхньому шарі, швидко з нього йде без заповнення знизу. В результаті вдень і влітку температура на поверхні грунту вище температури на поверхні води. Це означає, що добові та річні коливання температури на поверхні ґрунту значно більше, ніж на поверхні води.

Внаслідок зазначених відмінностей у поширенні тепла водний басейн за теплу пору року накопичує у досить потужному шарі води велика кількістьтепла, яке віддає в атмосферу холодного сезону. Ґрунт протягом теплого сезону віддає ночами велику частинутого тепла, що отримує вдень, і мало накопичує його до зими. У результаті температура повітря над морем влітку нижче, а взимку вище, ніж над сушею.

основні механізми теплообміну

Земна поверхня, тобто поверхня ґрунту або води (а також і рослинного, сніжного, крижаного покриву), безперервно різними способамиотримує та втрачає тепло. Через земну поверхнютепло передається вгору - в атмосферу і вниз - у ґрунт чи воду.

1) на земну поверхню надходять сумарна радіація та зустрічне випромінювання атмосфери. Вони більшою чи меншою мірою поглинаються поверхнею, тобто йдуть на нагрівання верхніх шарів ґрунту та води. У той же час земна поверхня випромінює сама і при цьому втрачає тепло.

2) до земної поверхні приходить тепло згори, з атмосфери, шляхом теплопровідності. Тим самим способом тепло йде від земної поверхні в атмосферу. Шляхом теплопровідності тепло також йде від земної поверхні вниз, у ґрунт і воду, або приходить до земної поверхні із глибини ґрунту та води.

3) земна поверхня отримує тепло при конденсації на ній водяної пари з повітря або, навпаки, втрачає тепло при випаровуванні з неї води. У першому випадку виділяється приховане тепло, у другому тепло переходить у прихований стан.

У будь-який проміжок часу від земної поверхні йде вгору і вниз у сукупності таку ж кількість тепла, яку вона за цей час отримує зверху та знизу. Якби було інакше, не виконувався б закон збереження енергії: слід би припустити, що на земній поверхні енергія виникає або зникає. Однак можливо, що, наприклад, вгору може йти більше тепла, ніж надійшло зверху; у такому разі надлишок віддачі тепла повинен покриватися приходом тепла до поверхні із глибини ґрунту або води. Отже, сума алгебри всіх приходів і витрат тепла на земній поверхні повинна бути рівною нулю. Це виражається рівнянням теплового балансу земної поверхні - В+P+G n +L*E u =0

В - радіаційний баланс, Р-прихід тепла з повітря або віддача його в повітря шляхом теплопровідності, G n - прихід або витрата тепла шляхом теплообміну з більш глибокими шарами ґрунту або води, L * E u - втрата тепла при випаровуванні або прихід при конденсації земну поверхню, L- питома теплотавипаровування, E u - маса води, що випарувалася або сконденсувалася.